PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C

Résolution de système d’équations non-linéaires (racines d’équations) Méthode de la bissection Analyse de la convergence de la méthode de bissection Travail pratique 2 a Recherche des zéros par la méthode de la bissection Recherche de plusieurs zéros

Méthodes de la bissection La méthode de la bissection permet la localisation d’une seule racine dans un intervalle donné Conditions requises La fonction f(x) est continue sur l’intervalle [a,b] SI f(a)f(b) < 0 => une racine dans l’intervalle Pour une précision équivalente, cette méthode est généralement plus rapide (convergence)

Méthodes de la bissection Étapes de la méthodes de bissection Pour un intervalle [a,b], calculer la position du cen-tre de l’intervalle par: c = 1/2(a+b) = a+(b-a)/2 Calculer f(a), f(b) et f(c) Calculer f(a)f(c) et f(c)f(b) Vérifier la convergence Si les critères de convergence sont satisfaits, afficher la valeur de la racine Sinon modifier les extrémités de l’intervalle, répéter les étapes précédentes

Méthodes de la bissection

Méthodes de la bissection La méthode de la bissection converge si une racine se trouve dans un intervalle donné et trouve une seule racine si le nombre de racines dans un inter-valle est impair

Méthodes de la bissection

Méthode de la bissection Algorithme de la bissection BISSEC(float a, float b, int nbiterMAX, float delta, float eps) u = f(a) v = f(b) e = b-a imprimer a,b,u,v SI u*v > 0 ALORS imprimer un message indiquant l’absence d’une racine SINON nbiter = 0 w = MAXFLOAT TANT QUE nbiter<nbiterMAX ET |e| > delta ET |w| > eps FAIRE e = e/2 c = a+e w = f(c) imprimer nbiter, c, w, e

Méthode de la bissection Algorithme de la bissection TANT QUE nbiter<nbiterMAX ET |e| > delta ET |w| > eps FAIRE e = e/2 c = a+e w = f(c) imprimer nbiter, c, w, e SI (u*w<0) FAIRE b=c v=w SINON a=c u=w FIN SI nbiter++ FIN TANTQUE

Méthode de la bissection Cas ou les critères de convergence sont déficients Racines multiples (échec du critère |b-a| < )

Méthode de la bissection Cas ou les critères de convergence sont déficients Discontinuité (échec du critère |f(c)| < )

Analyse de la convergence Le critère de convergence peut être exprimé en valeur absolue par a = ck+1 - ck k étant le nombre d’itérations Il peut aussi être exprimé en pourcentage de l’erreur relative La précision réelle de la solution est donnée

Analyse de la convergence Exemple de convergence avec la fonction f(x) = 20 - x2 = 0 Avec comme solution ct = 4.4721359 sur l’intervalle [0,6]

Analyse de la convergence Exemple de convergence

Travail pratique 2 a Utilisation de la méthode de bissection

Travail pratique 2 a Utilisation de la méthode de bissection

Travail pratique 2 a Recherche de plusieurs zéros (exemple) Cherchons les valeurs et les vecteurs propres associés à une matrice A (ex: matrice de coefficients de corré-lation ou matrice variance-covariance) Si nous avons une matrice A de n x n nous pouvons écrire Où x est un vecteur propre de A et  une valeur propre de A

Travail pratique 2 a Recherche de plusieurs zéros (exemple) Si nous avons une matrice A de n x n nous pouvons écrire Pour que  soit une valeur propre il faut que la solution de la dernière équation soit non nulle. Pour que x soit non nulle il faut que

Travail pratique 2 a Recherche de plusieurs zéros (exemple) Si nous considérons un cas d’ordre 3, nous obtenons Le déterminant donne

Travail pratique 2 a Recherche de plusieurs zéros (exemple) Lorsque nous avons les valeurs propres, nous les substituons une à une dans (A-I) x = 0 pour trouver les vecteurs propres x

Travail pratique 2 a Recherche de plusieurs zéros (exemple) Les vecteurs propres désignent chacun des axes orthogonaux de variance maximale des données De plus, les valeurs propres donnent une mesure de la variabilité des données selon chaque axe Les vecteurs propres nous permettent alors par une transformation linéaire de passer d’un domaine où les données sont corrélées à un autre non corrélé

Travail pratique 2 a Recherche de plusieurs zéros (exemple) * * * * *