PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C

Interpolation de fonctions Introduction Méthode de Gregory-Newton Méthode de Lagrange Travail pratique 3 a) Affichage de 2 courbes avec xgraph

Introduction Dans plusieurs problèmes nous avons en main un ensemble de mesures discrètes Nous voulons souvent connaître le comportement du phénomène mesuré entre chaque mesure discrète Nous devons alors interpoler les intervalles de valeurs entre chaque mesure discrète à l’aide de fonctions de degré quelconque

Introduction Si nous avons un polynôme d’interpolation f(x) de degré n: Les coefficients du polynôme sont déduits à partir des points de contrôle (mesures)

Introduction Interpolation linéaire Deux points de contrôle (mesures) sont nécessaires pour déduire les coefficients inconnus

Introduction Interpolation linéaire

Introduction Interpolation linéaire Par la loi des triangles semblables nous savons: Si f(x) est mis en évidence: DÉVIATION PAR RAPPORT à xi PENTE

Introduction Interpolation linéaire Ce type d’interpolation peut causer des erreurs importantes lorsque le polynôme réel est d’ordre supérieur au polynôme d’interpolation (Voir l’intervalle [2,3]) Pour améliorer la précision de l’interpolation nous devons utiliser des polynômes de degrés supérieurs

Introduction Interpolation non linéaire Prenons par exemple un polynôme de degré 2 Nous devons alors utiliser 3 points de contrôle pour dé- duire les valeurs des coefficients Si nous généralisons cette approche, nous pouvons alors utiliser un polynôme d’interpolation de degré n avec n+1 coefficients et qui requière n+1 points de con- trôle pour déduire les valeurs des coefficients

Méthode de Gregory-Newton Cette méthode permet de déduire un polynôme d’interpolation de degré n sans avoir à résoudre un système d’équations linéaires Le polynôme déduit par cette méthode est de la forme Les n valeurs de xi et f(xi) sont connues, les n+1 valeurs des coefficients ai sont inconnues et doivent être déduites

Méthode de Gregory-Newton Si les valeurs de x sont en ordre croissant nous pouvons alors déduire les coefficients ai par Nous répétons ces calculs pour les n+1 coefficients ai.

Méthode de Gregory-Newton Le polynôme de Gregory-Newton sous sa forme généralisée

Méthode de Gregory-Newton Le polynôme de Gregory-Newton sous sa forme généralisée (calcul des coefficients ai)

Méthode de Gregory-Newton Le polynôme de Gregory-Newton sous sa forme généralisée

Méthode de Gregory-Newton Le polynôme de Gregory-Newton sous sa forme généralisée (forme récursive)

Méthode de Lagrange Lorsque les intervalles en x sont inégaux il faut utiliser une autre forme de polynôme d’interpola-tion Le polynôme de Lagrange de degré n-1 est utilisée dans ces circonstances. Sa forme générale est donnée par

Méthode de Lagrange Les fonctions cardinales li(x) sont données par

Méthode de Lagrange Les fonctions cardinales li(x) sont données par (n = 3)

Méthode de Lagrange Les fonctions cardinales li(x1) sont données par (n = 3)

Méthode de Lagrange Les fonctions cardinales li(x1) sont données par (n = 3)

Méthode de Lagrange Algorithme Lire les xi Lire les yi Pour m valeurs de x dans l’intervalle [minx, maxx] FAIRE Calculer Écrire x et f(x) dans un fichier FIN POUR

Travail pratique 3 a) Recherche du chemin interpolant un ensemble de points (exemple du taxi)