1 Propagation dépidémie la Rougeole à l'Unil-EPFL Superviseur : Micha Hersch Etudiants : Bruno Pais & Didier Languetin 29 mai 2009

2 Objectifs Etudier le modèle simple SIR Appliquer et Interprèter le modèle SIR sur un cas dépidémie actuel : Epidémie de la Rougeole à l'Unil-EPFL Adapter ce modèle à notre cas particulier afin dévaluer: - les risques encourus - efficacité de la campagne de vaccination

Lépidémie Lépidémie, quest-ce exactement? Une épidémie signifie une augmentation rapide de lincidence dune pathologie en un lieu et sur un moment donné. Nombre de jours Nombre de personnes infectées Nombre de personnes infectées présentes sur le campus à un temps donné

Intérêts du modèle SIR Le modèle SIR permet de : Visualiser graphiquement la propagation dune maladie au sein dun espace clos et son évolution. D'évaluer et prévoir les risques d'épidémie, sa durée ainsi que son pic d'activité.

Le modèle simple SIR Le système dynamique S(t): nombre de personnes saines susceptibles de contracter la maladie. I(t): nombres de personnes infectées. R(t): nombre de personnes immunisées ou décédées.

Le modèle simple SIR Le système dynamique: dS/dt = -r · S(t) · I(t) dI/dt = r · S(t) · I(t) - a · I(t) dR/dt = a · I(t) Les paramètres: r : taux de contagion (vitesse de transmission) a : taux de guérison

Perfectionnement du modèle Nous avons améliorer le modèle de manière à prendre en considération: le flux des personnes qui se déplacent entre les sites de UNIL-EPFL La campagne de vaccination (du lundi 23 mars au vendredi 11 avril soit 19 jours)

Le modèle amélioré

Le flux de personnes entre les 2 sites : s = flux de personnes qui transitent entre les 2 sites Le modèle amélioré

Le système dynamique (dans le cas où on se trouve à l'Unil) : dS/dt = -r · S(t) · I(t) + s · (S EPFL (t)-S(t)) – u · v · S(t) dI/dt = r · S(t) · I(t) - a · I(t) + s · (I EPFL (t)-I(t)) dR/dt = a · I(t) + s · (R EPFL (t)-R(t)) + u · v · S(t) Les paramètres: r : taux de contagion a : taux de mise en quarantaine s : flux de personnes qui transitent entre les 2 sites u : 95% d'efficacité du vaccin v : taux de personnes vaccinées par jour Le modèle amélioré

Données acquises Données fournies par le médecin cantonal

Méthodologie Choix : 1. Espace clos, divisé en 2 sites avec flux 2. Intervalle de temps = 7semaines 3. Une semaine = 7 jours de cours 4. Un dose suffit pour être vacciné 5. Période d'incubation nulle jours pour être mis en quarantaine 7. Uniquement les 10% initialement non vaccinées sont pris en compte dans notre modèle 8. s = Flux (Unil -> EPFL) = Flux (EPFL -> Unil) 9. Mise en quarantaine = guérison, donc : a = taux de guérison = taux de mise en quarantaine

Méthodologie Conditions initiales : 1. Durée de la campagne 19 jours à partir de la 3ème semaine 2. Nombre de personnes non-vaccinées S(t) : S(t=0) = 2500 dont :1400 (Unil) 1100 (EPFL) 3. Nombre de personnes infectées I(t) et immunisées R(t) : I(t=0) = 2 et R(t=0) = 0 4. Nombre total de personnes vaccinées = Nombre total d'infectés = 49

Optimisation des paramètres Calcul de a: Une personne contagieuse sera détectée et mise quarantaine en moyenne 5-6 jours après infection. Le taux de guérison a est donc de 2/11 (approximation) Recherche de r et s avec a fixé: On recherche les valeurs les plus proches de la réalité à laide de la formule suivante: ( n EPFL – 37) ² + ( n UNIL -12) ² soit le plus petit possible

Optimisation des paramètres Coût(s)(r) Coût(s)(r) Formule d'optimisation des paramètres :

Paramètres de la vaccination Les paramètres u et v de la vaccination: Soient à t = 18, S(0) = 2500 et S(18) = 1000, on a : dS/d(t) = - v · S(t) v = -log(S(t)/2500)/t tel que :v = et :u = efficacité du vaccin = 95%

Dynamique des populations Dynamique sans vaccinDynamique avec vaccin jours Nombre de personnes jours S(t) I(t) R(t) I(t) S(t) R(t)

Effet de la vaccination semaines Nombre de personnes infectées chaque jour Dynamique avec vaccinDynamique sans vaccin EPFL UNIL+EPFL UNIL UNIL+EPFL UNIL EPFL 12.3 Nombre de personnes infectées chaque jour

Conclusion Résultats : Nombre de personnes infectées selon nos données : 49 personnes Nombre de personnes infectées selon notre modèle : - avec campagne :48 ± 1 personnes - sans campagne :413 personnes (risques encourus) % de personnes épargnées :88.38% 365 personnes! Vaccination efficace et recommandée selon notre modèle

Conclusion Limites du modèles : Le nombre de personnes infectées chaque jour de notre modèle ne réflétent pas la réalité de nos données... Lors de la 3ème semaine par exemple, on a pic d'activité qui passe du simple au double... semaines Nombre de personnes infectées chaque jour UNIL+EPFL EPFL UNIL

Conclusion Limites du modèles : On ne peut estimer précisemment le nombre exact d'infectés un jour donnée... Néanmois, notre modèle suffit à prédire que ce pic d'activité se déroulera lors de la 3 semaine et à estimer la fin de l'épidémie.

Perspectives Présence des étudiants sur le site que 5 jours de la semaine sur les 7 Tenir compte des flux extérieurs à notre système Interpreter linfluence que le TSOL pourrait avoir comme lieu à hauts risques de contamination, en considérant le TSOL comme 3ème site

Annexe : codes du modèle function y=f(x,t) s= ; r= ; a=2/11; u=0.95; v= ; if(t>=14 & t<=32) # Site de l'Unil avec x(1),x(2),x(3): y(1)=-r*x(1)*x(2) + s*(-x(1)+x(4)) -u*v*x(1); y(2)=r*x(1)*x(2)-a*x(2) + s*(-x(2)+x(5)); y(3)=a*x(2) + s*(-x(3)+x(6)) + u*v*x(1); # Site EPFL : y(4) = -r*x(4)*x(5) + s*(x(1)-x(4)) - u*v*x(4); y(5) = r*x(4)*x(5)-a*x(5) + s*(x(2)-x(5)); y(6) = a*x(5) + s*(x(3)-x(6)) + u*v*x(4); else # Site de l'Unil avec x(1),x(2),x(3): y(1)=-r*x(1)*x(2) + s*(-x(1)+x(4)); y(2)=r*x(1)*x(2)-a*x(2) + s*(-x(2)+x(5)); y(3)=a*x(2) + s*(-x(3)+x(6)); # Site EPFL : y(4) = -r*x(4)*x(5) + s*(x(1)-x(4)); y(5) = r*x(4)*x(5)-a*x(5) + s*(x(2)-x(5)); y(6) = a*x(5) + s*(x(3)-x(6)); end endfunction