Équations de fermeture des équations fluides dans les magnétoplasmas non-collisionels • Approche cinétique / Approche fluide • Équations fluides et le problème de leur fermeture • Différentes approches dans la littérature • Nos résultats (Chust & Belmont, PoP, sous presse 2005) Thomas Chust (CETP/CNRS-UVSQ/IPSL, Vélizy, France) Atelier « Comparaison des théories fluides et cinétique des ondes d'Alfvén à travers l'expérimentation numérique » 7-10 novembre 2005, CIAS, Observatoire de Meudon

APPROCHE CINÉTIQUE / APPROCHE FLUIDE du système couplé Vlasov-Maxwell Intégration/ w solution Équation de Vlasov Moments macroscopiques n[t, r, w] et v[t, r, w]  Équations de Maxwell f[t, r, w] Système fluide FLUIDE Deux approches différentes pour résoudre le même problème à partir de la même équation En principe équivalentes mais en pratique …

SOLUTION DE L’ÉQUATION DE VLASOV Équation de Vlasov pour une population (ions ou électrons) : Solution : trajectoire En pratique, des simplifications sont nécessaires : linéarisation, modèle 1- ou 2-D, évolution quasi-statique, nombre limité de particules … 1) Solution dépend de l’histoire spatio-temporelle des champs E et B 2) Forme quelconque de f Nombre infini de degrés de liberté

ÉQUATIONS FLUIDES Intégration de Vlasov / w Équations exactes En pratique, il faut tronquer le système : une équation de fermeture est nécessaire 1) Solution dépend de l’histoire spatio-temporelle des champs E et B 2) Système d’équations infini (moments) (généralement à l’ordre , ou ) Forme quelconque de f

CONDITIONS POUR UNE FERMETURE Collisionel : Non-collisionel : Forme maxwellienne de f justifiée par la dynamique locale des particules Pas de constrainte locale sur la forme de f (opérateur de collision dominant dans l’équation de Boltzmann) Relation fini entre les premiers moments de f est possible seulement si on se limite aux fluctuations qui en première approximation n’impliquent pas tous les degrés de liberté du plasma non-collisionel Nombre fini de degrés de liberté Relation locale entre n, et est possible Possibilité de prédominance de modes “fluides” (relations de dispersion) ( and )

PRINCIPALES CARACTÉRISTIQUES DES FERMETURES Hypothèses de symétrie (quelles composantes tensorielles garde-t-on libres?) Ordre de la fermeture (fermeture au niveau de , , , etc. ?) Nature de la fermeture (quel type d’approximation ?) Ces 3 différents aspects du problème sont généralement liés … Exemple: Fermeture « double-adiabatique » CGL : Symétrie gyrotropique Concerne l’ordre 3 Annulation du flux de chaleur

APPROCHE DE GRAD-MINTZER À N-MOMENTS Principe: Adoption d’une expression approchée pour la fonction de distribution en fonction des premiers moments macroscopiques avec fonction de distribution de base (“ordre 0”) en fonction des moments exacts d’ordre m ≤ p + q + r ≤ N-1 Maxwelliennne isotrope: Grad (1958), Schunk (1977) Quelconque: Mintzer (1965) Bi-Maxwellienne: Schunk, Barakat, Demars, Blelly … Flux de chaleur non nul : Leblanc & Hubert … 1) Choix ad hoc des symétries 2) Fermeture à l’ordre N 3) Approximation dépendant de f0

APPROCHES LINÉAIRES … Principe: Calculs exacts à partir d’une fonction de distribution d’ordre 0 et mise en relation des différents moments après approximation de la fonction de réponse du plasma … Modèles formellement fluides des modes miroir, d’interchange … : Belmont & Rezeau (1987), Belmont & Mazelle (1992) Quataerts et al. (2002), Ferrière & André (2002 et après …) Modèles « Landau-fluides » : Hammett, Snyder et co-auteurs (1990 et après …) Passot, Sulem et co-auteurs (2003 et après …)

CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (1) (1) Condition de gyrotropie Simplification au niveau de la forme de f A l'ordre 0, fonction f gyrotrope Hypothèses intuitives : Pas d'effets de fréquence fini: Pas d'effets de rayon de Larmor fini: Pas de résonance cyclotron:

CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (2) … … avec Condition “sls” de gyrotropie : Hypothèse de compacité :

CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (3) (2) Condition d’adiabaticité  Condition “sls” de gyrotropie Condition d’adiabaticité  :

CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (4) (3) Condition d’adiabaticité || Condition d’adiabaticité || : Fermeture « double-adiabatique » CGL (fermeture “gyrotropique-adiabatique”)

LES LOIS "DOUBLE-ADIABATIQUES" (CGL) Si (variations “temporelles”) Comme négligeable dans les conditions de gyrotropie et d’adiabaticité  Ce sont de vraies lois fluides …

LOIS “PHÉNOMÉNOLOGIQUES” Si (variations “spatiales” ou résonance Landau) Divergence du flux parallèle de chaleur n’est plus négligeable Pas de fermeture exacte: modèles “Landau-fluides”, à N-moments, lois isothermique, polytropiques, …

FERMETURE “GYROTROPIQUE-ADIABATIQUE ” (1) ( quelconque) Tout se joue dans la détermination des coefficients  … Équations fluides pour une espèce : avec

FERMETURE “GYROTROPIQUE-ADIABATIQUE ” (2) ( quelconque) Pour une fonction de distribution Maxwellienne : (fermeture normale) Directement comparable aux modèles à 16-moments de Barakat & Schunk (1982) Résultats équivalents à ceux de Ramos (2003) Coefficients  constants  approche de Grad-Mintzer à 8-moments Modèles “Landau-fluides”: approximation au plus près de la théorie cinétique linéaire

FERMETURE “GYROTROPIQUE-ADIABATIQUE ” (3) Si (variations “spatiales”) fonction de distribution Maxwellienne : (fermeture normale)

FERMETURE “GYROTROPIQUE" (1) (pas de restriction sur le flux de chaleur) with 1) Expression entière de (parties gyrotropique et non-gyrotropique) : 2) Partie non-gyrotopique de mise à zéro comme avant: 3) Partie gyrotropique de calculée comme avant :

FERMETURE “GYROTROPIQUE" (2) (pas de restriction sur le flux de chaleur) 4) Partie non-gyrotropique de : Résultat pas équivalent aux approches précédentes à l’ordre le plus bas car ici distinction entre gyrotropie et adiabaticité  …

UNE FERMETURE “NON-GYROTROPIQUE” ? (avec aucune restriction ?) Prend en compte les asymétries de f le long de n’importe quel axe (x, y ou z) ? • Les approches à N-moments (ex. Barakat & Schunk, 1982) font implicitement ce genre de fermeture • Récemment, Goswami, Passot et Sulem (2005) ont utilisé explicitement ce genre d’approximation pour tenir compte d’effets correctif dûs aux termes non-gyrotropiques dans les tenseurs de pression et de flux de chaleur. • Ramos (2005) également mais juste formellement Valable seulement pour une approche perturbative ?

Fermeture des équations fluides  approximation des coefficients  CONCLUSION Notion de relation de dispersion  existence de modes “fluides” (qualitatifs) En première approximation, la participation d’un nombre infini de modes cinétiques (solutions du système Vlasov-Mawell) doit pouvoir se ramener à un nombre fini de modes “fluides” (solutions du système fluide que l’on cherche) Fermeture des équations fluides  approximation des coefficients  Pas de coefficients universels même dans le cas quasi-statique ! Condition de gyrotropie  condition d’adiabaticité  (expansion à deux paramètres: distinguer clairement les échelles temporelles des échelles spatiales)