Les plans Factoriels Fractionnaires 2k-p

Approche fractionnaire Dans un plan factoriel complet, le nombre d’essais augmente de façon exponentielle avec le nombre de facteurs 4 facteurs : 24=16 essais 5 facteurs : 25=32 essais 7 facteurs : 27=128 essais Nombre de facteurs Nombre d’essais Les plans fractionnaires sont des plans optimaux orthogonaux qui se focalisent sur les effets les plus intéressant

Relation nombre d’essais et nombre de ddl Règle le nombre minimal d’essais à réalisé est égal au nombre de ddl du modèle étudié (nombre de coefficients du modèle) Exemple : 3 facteurs à 2 niveaux A,B,C et 2 interactions AB, AC ddlA+ddlB+ddlC+ddlAB+ddlAC+1=6 ddl de la moyenne

Plans Fractionnaires à 2 niveaux Objectif : Réduction du nombre d’essais Focalisation sur les effets les plus intéressants Hypothèse : Interactions d’ordre supérieur à 2 sont souvent négligeables : ABC, ABCD, ABCDE… Ex: 5 facteurs A,B,C,D,E  32 essais Les informations utiles : A,B,C,D,E : 5 Interaction d’ordre 1 : 10 Une table avec 16 essais (25-1) suffirait… Lorsque le nombre de facteurs augmente , le rapport du nombre d’informations utiles au nombre total d’essais diminue de façon alarmante !  Réduction de la taille des plans

Démarche pour le choix d’une table d’expérimentation Faire le bilan sur le nombre de facteurs (+ nombre de modalités) Le nombre d’interactions Le nombre de degrés de liberté (ddl) au total : donne le nombre d’essais minimal nécessaire. ddl(total)=somme des ddl des facteurs ddl(Facteur)=Nombre de modalité du facteur moins 1 Choisir la table en adéquation avec le nombre d’essais minimum Affecter les facteurs aux colonnes Le choix de colonnes se fait selon des contraintes de coût sur la fréquence de variation des niveaux des facteurs d’un essai à l’autre.

Démarche pour le choix d’une table d’expérimentation Tables orthogonales et tables des interactions associée A B C 1 2 3 4 5 6 7 -1 +1 _1 L8(23) 3 facteurs A,B,C + 3 interactions Sans confusion 1x2 1x4 2x4

Démarche pour le choix d’une table d’expérimentation Tables orthogonales et tables des interactions associée A B C D 1 2 3 4 5 6 7 -1 +1 _1 L8(23) 4 facteurs A,B,C, D + interactions Sans confusion 1x2 4x7 1x4 2x7 2x4 1x7

Plan 24-1 : Etude de 4 facteurs Plan complet : 24=16 essais Liste des facteurs et interactions : A,B,C,D : 4 AB,AC,AD,BC,BD,CD : 6 interactions ordre 1 ABC,ABD,ACD,BCD : 4 interactions ordre 2 ABCD : 1 interaction ordre 3 Total de 15 facteurs : nécessite 16 essais  15 colonnes Réduire le nombre d’essais Réaliser le plan fractionnaire 24-1 ( 8 essais) ?

Ajouter un facteur implique une confusion avec une colonne ??? Table à 16 essais (4 facteurs ABCD) L8(23) Ajouter un facteur implique une confusion avec une colonne ???

A quelle colonne affecter Le plan 24-1 Chaque facteur (A,B,C) et les interactions occupent une colonne. Pour tester le facteur D et les interactions avec (A,B,C,AB,AC,BC,AC,ABC) avec seulement 8 essais : il faut donc les affecter à des colonnes déjà occupées ABC interaction probablement négligeable D est affecté à la colonne ABC Conséquences :Niveaux de D et ABC suivent les mêmes changements de signes A quelle colonne affecter le facteur D ?

Affectation des Facteurs et interactions : Alias Essai A B C D Y 1 - Y1 2 + Y2 3 Y3 4 Y4 5 Y5 6 Y6 7 Y7 8 Y8 Comment déterminer tous les aliases ? D et ABC sont donc aliasés : D=ABC Les autres colonnes A, B, C, AB,.. vont être aliasés avec les interactions de D

Détermination des aliases Propriétés Commutativité : AB=BA Associativité : A(BC)=(AB)C=ABC Elément Neutre I (colonne de (+)): I.A=A.I=A A.A=I quel que soit A Conséquences L’égalité D=ABC peut s’écrire I=D.D=DABC=ABCD I=ABCD  appelé GENERATEUR D’ALIAS Détermination de tous les alias : I.A=ABCD.A=BCD  A=BCD I.B=ABCD.B=ACD B=ACD

Liste des alias Comment calculer les effets des facteurs et interactions à partir des colonnes aliasées ? On parle de Contrastes

Calcul des contrastes Colonne 1 : A et BCD Colonne 2 : B et ACD Etc.. Contraste : h1=A+BCD=1/8(-y1+y2-y3+y4-..+y8) Colonne 2 : B et ACD Contraste : h1=B+ACD=1/8(-y1-y2+y3+y4-..+y8) Etc.. Exemple : Etude de l’influence sur Y = allongement à la rupture d’un élastomère (en %) des facteurs : A : nature de l’élastomère B : taux d’additif ( autour de la valeur préconisée) C : Système de vulcanisation D : taux de kaolin

Exemple ( suite) Plan fractionnaire 24-1 Alias D=ABC Générateur d’alias I=ABCD Essai A B C D Y 1 - 275 2 + 325 3 210 4 220 5 290 6 370 7 260 8 270 Niveau (-1) 20 Niveau (+1) 10 40 Contrastes h1=+18.75 =A+BCD h2=-37.5 =B+ACD h3=+20.0 =C+ABD h4=-3.75 =D+ABC h5=-13.75 =AB+CD h6=+ 5.0 = BC+AD h7=+3.75 = AC+BD

Interprétation Conclusion Hypothèses Conséquences : Conditions de l’étude : les contrastes dont la valeur absolue est inférieur à 8 sont supposés négligeables Compte tenu de la nature des facteurs les interactions d’ordre 2 sont probablement négligeables Effet A et de C sont du même ordre de grandeur Effet de B important, D insignifiant.  On peut donc penser que dans h5 l’interaction AB et plus significative que CD AB=-13.75 Conclusion Conséquences : h1=+18.75 A h2= -37.50 B h3= +18.75 C h4=-3.75D  0 h5=AB+CD=-13.75 ? Quel est l’interaction la plus prépondérante ? H6 et h7 négligeables : interactions négligeables ou de signes opposés Interprétation physique : une interaction élastomère-additif (AB) est plus plausible qu’une interaction entre système de vulcanisation et kaolin (CD) (charge inerte)

Conclusion Facteurs significatifs : A (Elastomère), B (taux additif) C (Syst. Vulc), AB EA=+18.75 EB= -37.50 EC=+18.75 EAB=-13.75 Un excès d’additif diminue l’allongement à la rupture, surtout avec l’élastomère 2. L’élastomère 2 et préférable au 1. Système de vulcanisation 2 est meilleur Kaolin sans influence Bilan Nous avons pu conclure de façon satisfaisante avec 8=24-1 essais pour 4 facteurs. Nous avons effectué la moitié d’un plan complet 24

Remarques L’utilisation des plans fractionnaires est conseillée lorsque l’on a une connaissance minimum a priori sur les interactions. A l’issue de l’exploitation d’un plan fractionnaire, si l’information obtenue est jugée insuffisante, le plan peut être complété par une autre fraction du plan complet à condition qu’elle soit choisie de façon judicieuse.

Plan 25-2 (groupe d’alias) Cas d’un plan fractionnaire à 5 facteurs ABCDE plan complet 32 essais

Plan 25 plan complet

Plan 25-2 (groupe d’alias) Réduction du nombre d’essais de 32 à 8 essais A B AB C AC BC ABC -1 1 Affectation des facteurs D et E Choix des colonnes Détermination du groupe de générateurs d’alias - indépendants - dépendants Détermination des alias

Générateurs d’Alias D=ABC et E= AC. Il y a donc 3 générateurs d'alias : I=ABCD, I=ACE et I=BDE

Généralisation Plan fractionnaire 2k-p Choix d’un plan fractionnaire  pour un plan complet avec k facteurs à deux niveaux : 2k expériences on réduit ce plan en prenant 2k-p expériences avec k-p3 si k=4,5,6 et k-p=4 si k=7,..15. On a donc recours au plan 23 ou 24. Alias et générateurs d’aliases  Dans un plan 2k-p on dispose de p aliases indépendants dont on déduit des aliases dépendants par multiplication 2 à 2, 3 à 3 de tous les aliases indépendants, ce qui représente finalement 2p-1 générateurs d’alias. Exemples : 4 facteurs : p=1, 1 alias D=ABC, 1 générateur d’aliases I=ABCD 5 facteurs : p=2, 2 aliases D=ABC E=AB, 3 générateurs d’aliases I=ABCD, I=ABE, I=CDE 6 facteurs : p=3, 3 aliases et 7 générateurs d’aliases .

Essais par blocs

Réalisation d’essais par Blocs Quand ? Si l’on souhaite réaliser des essais décalés dans le temps Ex : pour des raisons de temps on ne peut réaliser tous les essais sur un même équipement Utiliser 2 machines par exemple Tester l’effet de 4 facteurs A,B,C,D Solution : partager la table. Comment ? On peut prendre les essais 1-4 sur le 1er équipement puis 5 à 8 sur le second équipement Table L8 Equipement 1 Effet de l’équipement Confondu avec l’effet de A Equipement 2

Réalisation d’essais par Blocs On ne pourra pas distinguer l’effet de A de celui de l’équipement Idée pour éviter la confusion avec A : Rechercher 2 blocs tel que l’effet de l’équipement ne soit pas confondu avec un facteur principal Création d’un facteur fictif : X (équipement) Choix d’une colonne d’affectation Par exemple : ABC, AC, BC Découpage des blocs : Bloc 1: 1,3,6,8 Bloc 2 : 2,4,5,7

Exemple Un plan factoriel 8 essai a été réalisé pour minimiser le fluage (% d’allongement après 24 heures) d’une pièce. Facteurs listés sont : A : la température B : la quantité de gomme C : la quantité d’additif Essai Température Gommes Additif Réponse(%) 1 - 27.4 2 + 31.1 3 26.6 4 32.4 5 31.4 6 16.5 7 27.5 8 15.5 Comment répartir les essais sur Les 2 mélangeurs ? Mélangeur 2 Mélangeur 1

Exemple Les essais sont répartis en 2 blocs de 4 : - essais : 1 4 6 7 Température Gommes Additif Réponse(%) 1 - 27.4 2 + 31.1 3 26.6 4 32.4 5 31.4 6 16.5 7 27.5 8 15.5 Mélangeur 1 Les essais sont répartis en 2 blocs de 4 : - essais : 1 4 6 7 - essais : 2 3 5 8 Mélangeur 2 Cela permet de ne pas Confondre l’effet « changement de mélangeur » Avec un facteur du plan Le facteur Type de mélangeur est affecté à la colonne 7 De la table L8(23)

Exemple Au travail ! Comment estimer l’effet bloc ? Mélangeur 1 Essai Température Gommes Additif Melangeur (C7) Réponse(%) 1 - 27.4 2 + 31.1 3 26.6 4 32.4 5 31.4 6 5.0 7 27.5 8 15.5 Mélangeur 1 Comment estimer l’effet bloc ? Mélangeur 2 Au travail !

Solution

Solution F0.95(1,3)=10.01 Alors le mélangeur a-t-il introduit un effet bloc ?

Plans screening Les plans screening (Plaket-Burman) sont utilisés pour tester les facteurs principaux Qui ? Ne concerne que les plans à 2 niveaux Quand ? Lorsque le nombre de facteurs est élevé Cela permet de filtrer ou de débroussailler des cas complexes Comment générer ces plans ? Algorithme de permutation circulaire

Plans screening Essayons ! On donne la séquence de signes de la première ligne On réalise une permutation circulaire à partir de la droite On complète la dernière ligne par -1 Essayons !

Plans screening Les premières lignes en fonction du nombre de facteurs principaux à analyser k inférieur ou égal à 3 (N=4): + + - k inférieur ou égal à 7 (N=8): + + + - + - - k inférieur ou égal à 11(N=12) : + + - + + + - - - + - k inférieur ou égal à 15 (N=16) : + + + + - + - + + - - + - - - k inférieur ou égal à 19 (N=20): + + - - + + + + - + - + - - - - + + -

Exemple : tenue de soudage de supports Un plan d’expérience de type SCREENING a permis de tester l’influence de 4 facteurs de réglage sur la tenue de soudage de 2 supports : Les réponses sont : Y1 : taux de microdéfauts souhaité < 20% Y2 : Dureté après soudure souhaité >70 HB Les facteurs sont : A : type de décapage -1 (mécanique) +1 (non mécanique) B : jeu de supports -1 (0.1 mm) +1 (0.5 mm) C : nature de soudure -1 (C10) +1 (C20) D : montée en température -1 ( 5 min) +1 ( 10 min) Générer le plan d’expérience « screening »!

Exemple 4 facteurs, k inférieur ou égal à 7 : + + + - + - - 8 essais Construire la table

Exemple A B C D Y1 Y2 1 + - 60 75 2 78 90 3 97 82 4 38 40 5 69 80 6 35 32 7 70 8 58

Analyse du plan Estimation des effets moyens Analyse de Variance Écriture du modèle et validation