RÉSOLUTIONS d’équations et inéquations TRIGONOMÉTRIQUES Mathématiques SN RÉSOLUTIONS d’équations et inéquations TRIGONOMÉTRIQUES Réalisé par : Sébastien Lachance

Mathématiques SN - Résolutions TRIGONOMÉTRIQUES - Résolutions d’équations SINUSOÏDALES Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = 2 sin x – 3 0 = 2 sin x – 3 3 = 2 sin x 3 2 = sin x Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? sin-1 ( ) = x 3 2 3 2

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = 2 sin x – 3 0 = 2 sin x – 3 Période 3 = 2 sin x 2 | b | 2 | 1 | P = P = = 2 3 2 = sin x Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? sin-1 ( ) = x 3 2 Réponse : 3 2 x   + 2n , + 2n  où n    3 2 3 x1 =  3 et x2 = 2 3 Comme x1 et x2 sont les zéros à l’intérieur de 1 cycle seulement, il faut aussi nommer tous les autres ! – 1 P – 1 P – 1 P – 1 P + 1 P + 1 P + 1 P + 1 P  3 2 3

Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? Exemple #2 : Trouver les zéros de g(x) = - sin 3x + 0,5 0 = - sin 3x + 0,5 -1 2 = - sin 3x 1 2 = sin 3x Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? sin-1 ( ) = 3x 1 2 1 2

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? Exemple #2 : Trouver les zéros de g(x) = - sin 3x + 0,5 0 = - sin 3x + 0,5 -1 2 = - sin 3x 1 2 = sin 3x Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? sin-1 ( ) = 3x 1 2 1 2 3x =  6 et 3x = 5 6 Période 2 | b | 2 | 3 | 2 3 x1 =  18 x2 = 5 18 P = P = = Réponse : x   + n , + n  où n    18 2 3 5 18 2 3

Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ? Exemple #3 : Trouver les zéros de f(x) = 2 cos (x + ) – 1 0 = 2 cos (x + ) – 1 1 2 = cos (x + ) Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ? cos-1 ( ) = (x + ) 1 2 1 2

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ? Exemple #3 : Trouver les zéros de f(x) = 2 cos (x + ) – 1 0 = 2 cos (x + ) – 1 1 2 = cos (x + ) – 1 Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ? cos-1 ( ) = (x + ) 1 2 1 2 x +  =  3 5 3 et x +  = x1 = -2 3 x2 = 2 3 Période 2 | b | 2 | 1 | P = P = = 2 Réponse : x   + 2n , + 2n  où n   -2 3 2 3

Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? Exemple #4 : Trouver les zéros de h(x) = sin (x + 1) + 0,5 0 = sin (x + 1) + 0,5 -1 2 = sin (x + 1) Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? sin-1 ( ) = (x + 1) -1 2 -1 2

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? Exemple #4 : Trouver les zéros de h(x) = sin (x + 1) + 0,5 0 = sin (x + 1) + 0,5 -1 2 = sin (x + 1) Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? sin-1 ( ) = (x + 1) -1 2 -1 2 (x + 1) = 7 6 et (x + 1) = 11 6 x + 1 = 7 6 x + 1 = 11 6 Période x + 1 = 7 6 x + 1 = 11 6 2 | b | 2 |  | P = P = = 2 x1 = 1 6 x2 = 5 6 Réponse : x   + 2n , + 2n  où n   1 6 5 6

Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ? Exemple #5 : Trouver les zéros de f(x) = 2 cos x + 2 0 = 2 cos x + 2 - 2 2 = cos x Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ? cos-1 ( ) = x - 2 2 - 2 2

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ? Exemple #5 : Trouver les zéros de f(x) = 2 cos x + 2 0 = 2 cos x + 2 - 2 2 = cos x Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ? cos-1 ( ) = x - 2 2 - 2 2 x = 3 4 et x = 5 4 x = 3 4 x = 5 4 Période 3 4 5 4 2 | b | 2 |  | x1 = x2 = P = P = = 2 Réponse : x   + 2n , + 2n  où n   3 4 5 4

Trouver les zéros de j(x) = -45 sin (x – 0,25) + 15 Exemple #6 : Trouver les zéros de j(x) = -45 sin (x – 0,25) + 15 0 = -45 sin (x – 0,25) + 15 1 3 = sin (x – 0,25) Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! sin-1 ( ) = (x – 0,25) 1 3 1 3

2 =  – 1 1 1 -1 y x 1 3 P( 2 ) = ( , ) 1 3 P( 1 ) = ( , ) 1 3 2 2 =  – 1 1 3 P( 2 ) = ( , ) 1 3 P( 1 ) = ( , ) 1 3 2 1 1

Exemple #6 : Trouver les zéros de j(x) = -45 sin (x – 0,25) + 15 0 = -45 sin (x – 0,25) + 15 1 3 = sin (x – 0,25) Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! sin-1 ( ) = (x – 0,25) 1 3 1 3 0,34 = (x – 0,25) et  – 0,34 = (x – 0,25)

1 -1 y x 2 =  – 0,34 2 = 2,8 1 3 P( 2 ) = ( , ) 1 3 P( 1 ) = ( , ) 1 3 2 - 0,34 0,34 1 

Exemple #6 : Trouver les zéros de j(x) = -45 sin (x – 0,25) + 15 0 = -45 sin (x – 0,25) + 15 1 3 = sin (x – 0,25) Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! sin-1 ( ) = (x – 0,25) 1 3 1 3 0,34 = (x – 0,25) et  – 0,34 = (x – 0,25) 0,3582 = x1 2,8 = (x – 0,25) 1,1413 = x2 Période 2 | b | 2 |  | P = P = = 2 Réponse : x   0,3582 + 2n , 1,1413 + 2n  où n  

Exemple #7 : Résoudre 7 = 5 cos (0,5x – 2) + 5 Quel est l’angle dont la valeur en « x » est 0,4 ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! cos-1 ( 0,4 ) = 0,5x – 2

1 -1 y x P( 1 ) = ( 0,4 , ) 2 = 2 – 1 1 2 1 0,4 P( 2 ) = ( 0,4 , )

Exemple #7 : Résoudre 7 = 5 cos (0,5x – 2) + 5 Quel est l’angle dont la valeur en « x » est 0,4 ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! cos-1 ( 0,4 ) = 0,5x – 2 1,16 = 0,5x – 2 et 2 – 1,16 = 0,5x – 2

1 -1 y x 2 = 2 – 1,16 2 = 5,123 P( 1 ) = ( 0,4 , ) 1,16 2 1 0,4 2 - 1,16 P( 2 ) = ( 0,4 , )

Exemple #7 : Résoudre 7 = 5 cos (0,5x – 2) + 5 Quel est l’angle dont la valeur en « x » est 0,4 ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! cos-1 ( 0,4 ) = 0,5x – 2 1,16 = 0,5x – 2 et 2 – 1,16 = 0,5x – 2 6,32 = x1 5,123 = 0,5x – 2 14,25 = x2 Période 2 | b | 2 | 0,5 | P = P = = 4 Réponse : x   6,32 + 4n , 14,25 + 4n  où n  

Mathématiques SN - Résolutions TRIGONOMÉTRIQUES - Résolutions d’inéquations SINUSOÏDALES Exemple : Résoudre 2 sin 2 (x + ) ≥ 0 4 3 + 1 P + 1 P 2 1 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2  2  3 2 2 5 2 3 7 2

Quel est l’angle dont la valeur en « y » est 0 ? Exemple : Résoudre 2 sin 2 ( x +  ) ≥ 0 2 sin 2 (x + ) ≥ 0 sin 2 (x + ) ≥ 0 Quel est l’angle dont la valeur en « y » est 0 ? 2 (x + ) ≥ sin-1 ( 0 )

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

Quel est l’angle dont la valeur en « y » est 0 ? Exemple : Résoudre 2 sin 2 ( x +  ) ≥ 0 2 sin 2 (x + ) = 0 sin 2 (x + ) = 0 Quel est l’angle dont la valeur en « y » est 0 ? 2 (x + ) = sin-1 ( 0 ) 2 (x + ) = 0 et 2 (x + ) =  x1 = -  x2 = -  2 Période 2 | b | 2 | 2 |  P = P = = Réponse : x  [ -  + n , + n ] où n   -  2

Mathématiques SN - Résolutions TRIGONOMÉTRIQUES - Résolutions d’équations TANGENTES Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - tan 2 (x – ) + 1  4

RAPPEL  1 -1 y x On sait que : P() = ( , ) cos  sin  tan  = sin  Donc :  tan  = y x

Mathématiques SN - Résolutions TRIGONOMÉTRIQUES - Résolutions d’équations TANGENTES Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - tan 2 (x – ) + 1  4 0 = - tan 2 (x – ) + 1  4 -1 = - tan 2 (x – )  4 1 = tan 2 (x – )  4 Quel est l’angle dont la valeur est « 1 » lorsqu’on effectue « y / x » ? tan-1(1) = 2 (x – )  4

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

           2     2 Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - tan 2 (x – ) + 1  4 0 = - tan 2 (x – ) + 1  4 -1 = - tan 2 (x – )  4 1 = tan 2 (x – )  4 Quel est l’angle dont la valeur est « 1 » lorsqu’on effectue « y / x » ? tan-1(1) = 2 (x – )  4  4 = 2 (x – )  4 5 4 = 2 (x – )  4 et Période  | b |  | 2 |  2 P = P = =  8 = x –  4 5 8 = x –  4 3 8 = x1 7 8 = x2 Réponse : x   + n  où n   3 8  2 35

  4 4  + 2 1 REMARQUE… y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )  +  4  4 2 1

2 =  – 1 2 = 2 – 1 2 =  + 1 En RÉSUMÉ… Avec SIN : Avec COS : 2 =  – 1 Avec COS : 2 = 2 – 1 2 =  + 1 Avec TAN :

Quel est l’angle dont la valeur est « » lorsqu’on effectue « y / x » ? Exemple #2 : Trouver les zéros de f(x) = -3 tan (x – ) + 3 1 2 0 = -3 tan (x – ) + 3 1 2 3 = tan (x – ) 1 2 Quel est l’angle dont la valeur est «   » lorsqu’on effectue « y / x » ? tan-1 ( ) = (x – ) 3 1 2 3

1 2 3 2 1 2 2 3 1 3 ÷ = x = 3 y  x -1 1 EXPLICATION : Il faut rationnaliser ! 1 -1 y x P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) P( ) = ( 1 , 0 ) P( ) = ( 0 , 1 ) P( ) = ( - 1 , 0 ) P( ) = ( 0 , - 1 ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 ) 3

Quel est l’angle dont la valeur est « » lorsqu’on effectue « y / x » ? Exemple #2 : Trouver les zéros de f(x) = -3 tan (x – ) + 3 1 2 0 = -3 tan (x – ) + 3 1 2 3 = tan (x – ) 1 2 Quel est l’angle dont la valeur est «   » lorsqu’on effectue « y / x » ? 3 tan-1 ( ) = (x – ) 3 1 2  6 = (x – ) 1 2 7 6 = (x – ) 1 2 et 2 6 = x –  14 6 = x –  Période  | b |  | 1/2 | P = P = = 2 4 3 = x1 10 3 = x2 Réponse : x   + 2n  où n   4 3

Mathématiques SN - La fonction TANGENTE- Résolutions d’inéquations TANGENTES Exemple : Résoudre f(x) = - tan 2 (x + ) – 1 ≥ 1  8 5 y = 1 -3 2 - - 2  8  2  3 2 P = /2 - 5

Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! Exemple : Résoudre f(x) = - tan 2 (x + ) – 1 ≥ 1  8 1 ≤ - tan 2 (x + ) – 1  8 2 ≤ - tan 2 (x + )  8 -2 ≥ tan 2 (x + )  8 Quel est l’angle dont la valeur est « -2 » lorsqu’on effectue « y / x » ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! tan-1(-2) ≥ 2 (x + )  8 -1,1071 ≥ 2 (x + )  8  + -1,1071 ≥ 2 (x + )  8 et -0,55355 ≥ x +  8 2,0344 ≥ 2 (x + )  8 -0,94625 ≥ x1 1,01722 ≥ x +  8 0,6245 ≥ x2

     Période | b | | 2 | 2 P = P = = Réponse : 5 y = 1 -3 2 - - 2  8  2  3 2 -0,94625 - 5 Période  | b |  | 2 |  2 P = P = = Réponse : x  ] + n , -0,94625 + n ] où n   -3 8  2  2