Marc Gengler Marc.Gengler@esil.univ-mrs.fr Cours de graphes Marc Gengler Marc.Gengler@esil.univ-mrs.fr Alexandra Bac - Sébastien Fournier 12h de cours 12h de TD des devoirs … et un examen St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Bibliographie Tout ce qui contient - graphes, graphs. Internet - souvent, c’est trop simplifié ou trop dense, - et pas toujours correct. Mes choix - Introduction to Algorithms, Leiserson et al. - Algorithms, Sedgewick. - Fundamental Algorithms, Knuth. - Graphes, Berge. St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Les grandes lignes du cours Définitions de base Connexité Les plus courts chemins Dijkstra et Bellmann-Ford Arbres Arbres de recouvrement minimaux Problèmes de flots Coloriage de graphes Couplage Chemins d’Euler et de Hamilton Problèmes NP-complets St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- Il y a des sommets ! (vertex, vertices) Il y a des arêtes ! (edge) Il y a des arcs ! (arc) St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- Formellement : Il y a l’ensemble « V » des sommets. Il y en a « n », c’est-à-dire | V | . La complexité est fonction du nombre de sommets. Il y a l’ensemble « E » des arcs et arêtes. C’est une partie du produit cartésien V x V . « E » peut être réflexif, irréflexif ou ni l’un, ni l’autre. Tous des couples ( a , a ) ! Aucun couple ( a , a ) ! St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- Formellement : Il y a l’ensemble « V » des sommets. Il y en a « n », c’est-à-dire | V | . La complexité est fonction du nombre de sommets. Il y a l’ensemble « E » des arcs et arêtes. C’est une partie du produit cartésien V x V . « E » peut être réflexif, irréflexif ou ni l’un, ni l’autre. « E » peut être symétrique, anti-symétrique ou ni - ni. ( a , b ) ssi ( b , a ) ! Si ( a , b ) avec a = b alors pas ( b , a ) ! / St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- Formellement : Il y a l’ensemble « V » des sommets. Il y en a « n », c’est-à-dire | V | . La complexité est fonction du nombre de sommets. Il y a l’ensemble « E » des arcs et arêtes. C’est une partie du produit cartésien V x V . « E » peut être réflexif, irréflexif ou ni l’un, ni l’autre. « E » peut être symétrique, anti-symétrique ou ni - ni. Graphe non orienté ! Graphe orienté ! St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- Formellement : Il y a l’ensemble « V » des sommets. Il y en a « n », c’est-à-dire | V | . La complexité est fonction du nombre de sommets. Il y a l’ensemble « E » des arcs et arêtes. C’est une partie du produit cartésien V x V . « E » peut être réflexif, irréflexif ou ni l’un, ni l’autre. « E » peut être symétrique, anti-symétrique ou ni - ni. « E » peut être transitive, ou non-transitive. Si ( a , b ) et ( b , c ) alors (a , c ) ! St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- Formellement : G = ( V , E ) Un graphe est donné par les ensembles « V » et « E ». Il y a des multi-graphes qui sont correspondent au cas où « E » est un multi-ensemble (plusieurs arêtes et/ou arcs entre deux sommets). Il y a des graphes pondérés qui correspondent au fait l’on attache des poids aux arcs ou arêtes (entiers par exemple). 12 25 15 St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- Sous-graphe G’ d’un graphe G : Le graphe G’ = ( V’ , E’ ) est un sous-graphe du graphe G = ( V , E ) , si : V’ V les sommets de G’ sont parmi ceux de G E’ E V’ x V’ les arcs et arêtes de G’ sont parmi ceux et celles de G et se limitent aux sommets de G’. U U v St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- Représentation des données : Nous indexons (numérotons) les sommets. Nous représentons les arcs et les arêtes. Nous obtenons une matrice « M » de taille n x n qui comporte des valeurs binaires. M( a , b ) est vrai si et seulement si l’arc ( a , b ) existe ! St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- 1 2 3 4 5 6 1 2 L’existence ou non de l’arc ( 2 , 5 ) ! ! ! 3 4 5 4 6 1 6 2 3 5 St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- 1 2 3 4 5 6 La diagonale parle des couples ( u , u ) ! 1 2 3 4 5 6 F F F V F F F F F V F F Les arêtes ( 2 , 4 ) et ( 3 , 5 ) sont symétriques ! F F F F V F V V V F F F Les arcs ( 1 , 4 ) et ( 4 , 1 ) donnent aussi une symétrie ! F F V F F F 4 F F V F F V 1 Les arcs ( 4 , 3 ) et ( 6 , 3 ) n’ont pas leur pendant symétrique ! ! ! 6 2 Il faut n^2 bits ! 3 5 St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- 1 2 3 4 5 6 Pour des multi-graphes, nous remplaçons les booléens par des multiplicités ! 1 2 3 4 5 6 F F F V F F F F F V F F F F F F V F Pour des graphes pondérés, nous remplaçons les booléens par des poids ! V V V F F F F F V F F F 4 F F V F F V 1 6 2 3 5 St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- 1 2 3 4 5 6 4 1 2 3 4 5 6 F F F V F F F F F V F F 4 F F F F V F 5 V V V F F F 1 2 3 F F V F F F 3 F F V F F V 3 6 Parfois, le graphe est peu dense ! Nous mémorisons juste les indices des colonnes différentes de Faux ! Il faut ( | V | + | E | ) * log( | V | ) bits ! St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Si le graphe est symétrique : Définitions de base ----------------------------------------------------------------- 1 2 3 4 5 6 Les voisins d’un sommet « u » : Les voisins sortants : V+ ( u ) Les voisins entrants : V- ( u ) 1 2 3 4 5 6 F F F V F F F F F V F F F F F F V F V V V F F F F F V F F F V+ ( 4 ) = { 1 , 2 , 3 } F F V F F V V- ( 3 ) = { 4 , 5 , 6 } Si le graphe est symétrique : V ( u ) = V+ ( u ) = V- ( u ) V+ ( u ) = { v  V | ( u , v )  E } V- ( u ) = { v  V | ( v , u )  E } St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Si le graphe est symétrique : Définitions de base ----------------------------------------------------------------- 1 2 3 4 5 6 Le degré d’un sommet « u » : Le degré sortant : D+ ( u ) Le degré entrant : D- ( u ) 1 2 3 4 5 6 F F F V F F F F F V F F F F F F V F V V V F F F F F V F F F Le degré d’un graphe G = ( V , E ) : D( G ) = max { D ( u ) } F F V F F V u  V Si le graphe est symétrique : D ( u ) = D+ ( u ) = D- ( u ) D+ ( u ) = | V+ ( u ) | D- ( u ) = | V- ( u ) | St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Si le graphe est symétrique : Définitions de base ----------------------------------------------------------------- 1 2 3 4 5 6 Le degré d’un sommet « u » : Le degré sortant : D+ ( u ) Le degré entrant : D- ( u ) 1 2 3 4 5 6 F F F V F F F F F V F F Le degré d'un graphe est souvent caractéristique de la complexité d'un problème ! ! ! F F F F V F V V V F F F F F V F F F Le degré d’un graphe G = ( V , E ) : D( G ) = max { D ( u ) } F F V F F V u  V Si le graphe est symétrique : D ( u ) = D+ ( u ) = D- ( u ) D+ ( u ) = | V+ ( u ) | D- ( u ) = | V- ( u ) | St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- Les chemins : Un chemin, de longueur « n », du sommet « u » au sommet « v » est : ( w , . . . , w ) telle que u = w et v = w ( w , w ) est une arête ou un arc du graphe. Le chemin est orienté s’il comporte des arcs, non orienté s’il est fait d’arêtes uniquement. 1 n+1 1 n+1 i i+1 St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- Notations et propriétés sur les chemins : Nous noterons ( c’est non standard ) : ( u , v ) l’arête ou l’arc, c’est-à-dire le chemin de longueur 1 . ( u ; v ) le chemin de longueur quelconque. Pour tout chemin non orienté ( u ; v ) du graphe G, nous pouvons construire le chemin ( v ; u ) dans G. Dans un graphe G, l’existence du chemin orienté ( u ; v ) n’implique pas l’existence d’un chemin de retour ( v ; u ) . St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- Cycles et circuits : Un chemin non orienté ( u ; v ) pour lequel « u » coïncide avec « v » est un cycle. Un chemin orienté ( w ; t ) pour lequel « w » coïncide avec « t » est un circuit. u = v w = t St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- Chemins simples : Un chemin ( u ; v ) , où « u » est différent de « v », est simple si et seulement si aucun sommet n’est répété dans la séquence : ( u , . . . , v ) Chemin simple ( u ; v ) u w v Chemin non simple ( w ; t ) t St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- Lemme de König : De tout chemin non simple ( u ; v ) , nous pouvons extraire un chemin de « u » vers « v » qui est simple et plus court que le chemin initial. ( u , . . . , w , . . . , w , t , . . . , v ) t u De tout cycle ou circuit nous pouvons extraire un cycle ou circuit élémentaire ! w v St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Je parlerai souvent de "chemin" et je sous-entendrai "simple" ! ! ! Définitions de base ----------------------------------------------------------------- Lemme de König : De tout chemin non simple ( u ; v ) , nous pouvons extraire un chemin de « u » vers « v » qui est simple et plus court que le chemin initial. ( u , . . . , w , . . . , w , t , . . . , v ) Je parlerai souvent de "chemin" et je sous-entendrai "simple" ! ! ! t u De tout cycle ou circuit nous pouvons extraire un cycle ou circuit élémentaire ! w v St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Si G est symétrique : C ( u ) = C+ ( u ) = C- ( u ) Définitions de base ----------------------------------------------------------------- 1 2 3 4 5 6 La composante connexe de « u » : La composante sortante : C+ ( u ) La composante entrante : C- ( u ) 1 2 3 4 5 6 F F F V F F F F F V F F F F F F V F V V V F F F C+ ( 4 ) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } F F V F F F C- ( 4 ) = { 1 , 2 , 4 } 4 F F V F F V 1 C+ ( u ) = { v  V | ( u ; v ) existe } C- ( u ) = { v  V | ( v ; u ) existe } 6 2 Si G est symétrique : C ( u ) = C+ ( u ) = C- ( u ) 3 5 St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- Pour un graphe non orienté : La composante connexe de « u » est : réflexive, vous pouvez rester où vous êtes ! symétrique, les chemins de retour existent ! transitive, vous pouvez concaténer des chemins ! Une composante connexe est une classe d’équivalence ! Un graphe non orienté est partitionné en ses classes d’équivalence ! St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- 1 2 3 4 5 6 Nous partons d’une relation symétrique ! 1 2 3 4 5 6 F F F V F F F F F V F F Nous fermons réflexivement ! F F F F V F V V F F F F F F V F F F 4 F F F F F V 1 6 La fermeture réflexive d’une relation « R » est la plus petite relation réflexive qui contienne « R ». 2 3 5 St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- 1 2 3 4 5 6 Nous partons d’une relation symétrique ! 1 2 3 4 5 6 V F F V F F F V F V F F Nous fermons réflexivement ! F F V F V F V V F V F F F F V F V F 4 F F F F F V 1 6 La fermeture réflexive d’une relation « R » est la plus petite relation réflexive qui contienne « R ». 2 3 5 St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- 1 2 3 4 5 6 Nous partons d’une relation symétrique ! 1 2 3 4 5 6 V F F V F F F V F V F F Nous fermons réflexivement ! F F V F V F Nous fermons transitivement ! V V F V F F F F V F V F 4 F F F F F V 1 6 La fermeture transitive d’une relation « R » est la plus petite relation transitive qui contienne « R ». 2 3 5 St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- 1 2 3 4 5 6 Nous partons d’une relation symétrique ! 1 2 3 4 5 6 V V F V F F V V F V F F Nous fermons réflexivement ! F F V F V F Nous fermons transitivement ! V V F V F F F F V F V F 4 F F F F F V 1 6 La fermeture transitive d’une relation « R » est la plus petite relation transitive qui contienne « R ». 2 3 5 St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- 1 2 3 4 5 6 Nous partons d’une relation symétrique ! 1 2 3 4 5 6 V V F V F F V V F V F F Nous fermons réflexivement ! F F V F V F Nous fermons transitivement ! V V F V F F F F V F V F 4 F F F F F V 1 6 2 { 1 , 2 , 4 } est une composante connexe ! 3 5 St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- 1 2 3 4 5 6 Nous partons d’une relation symétrique ! 1 2 3 4 5 6 V V F V F F V V F V F F Nous fermons réflexivement ! F F V F V F Nous fermons transitivement ! V V F V F F F F V F V F 4 F F F F F V 1 6 2 { 3 , 5 } est une composante connexe ! 3 5 St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- 1 2 3 4 5 6 Nous partons d’une relation symétrique ! 1 2 3 4 5 6 V V F V F F V V F V F F Nous fermons réflexivement ! F F V F V F Nous fermons transitivement ! V V F V F F F F V F V F 4 F F F F F V 1 6 2 { 6 } est une composante connexe ! 3 5 St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- 1 2 3 4 5 6 Nous partons d’une relation symétrique ! 1 2 3 4 5 6 V V V F F F V V V F F F Nous fermons réflexivement ! V V V F F F Nous fermons transitivement ! F F F V V F F F F V V F 3 F F F F F V 1 6 Si nous renumérotons ! 2 4 5 St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- Principe de décomposition : Souvent, le traitement appliqué à un graphe non connexe consiste à appliquer ce même traitement indépendamment sur chacune des composantes connexes ! Dans ce cas, on ne perd rien à supposer G connexe ! ! ! St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- Pour un graphe orienté : Un sous-ensemble « X » des sommets d’un graphe orienté est fortement connexe si nous pouvons aller de n’importe quel sommet vers n’importe quel autre sommet. Proposition : Une composante est fortement connexe si et seulement si chaque sommet se trouve sur un circuit. Preuve : => : Si ( u ; v ) existe, alors ( v ; u ) existe et donc ( u ; v ; u ) . <= : Soit ( u ; v ) de la forme ( u ; w ; v ). Pour « w » bien choisi, le circuit ( w ; v ; w ) existe ! Nous recommençons le raisonnement pour ( u ; w ) . u w v St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- Pour un graphe orienté : Un graphe orienté est quasi-fortement connexe s’il existe un sommet depuis lequel nous pouvons atteindre tous les autres sommets. Un tel sommet sera appelé « racine ». St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- Distances et diamètre : La distance « d ( u , v ) » entre un sommet « u » et un sommet « v » est : la longueur du plus court chemin (forcément simple) de « u » vers « v », si celui-ci existe, infini, sinon. Le diamètre d’un graphe connexe est la distance entre ses sommets les plus éloignés :  ( G ) = max { d ( u , v ) } u , v  V St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base -----------------------------------------------------------------  ( G ) = 4 u v Chemin simple de longueur 4 ! Le plus court chemin est de longueur 3 : d ( u , v ) = 3 St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- Ecarts, centre et diamètre : L’écart « e ( u ) » d’un sommet « u » d’un graphe connexe est : la distance vers le sommet « v » le plus loin de « u » : e ( u ) = max { d ( u , v ) } Un sommet « u » est au centre de G si e ( u ) = min { e ( v ) }  ( G ) = max { e ( v ) } v  V v  V v  V St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base -----------------------------------------------------------------  ( G ) = e ( w ) = 4 v w u e ( u ) = 3 « v » est au centre car e ( v ) = 2 est minimal ! St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- Lemme des plus courts chemins (De la Palisse) : Si le plus court chemin de « u » vers « v » passe par « w », alors la partie préfixe de « u » vers « w » est aussi le plus court chemin de « u » vers « w ». Le plus court chemin de « u » à « v » ! u w v Le plus court chemin de « u » à « w » ! St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Définitions de base ----------------------------------------------------------------- Poids d’un chemin : Dans un graphe pondéré, le poids d’un chemin est la somme des poids de ses arcs et arêtes. Nous pouvons alors, de manière évidente, définir le chemin le plus léger de « u » vers « v ». Le chemin le plus léger (poids) ne coïncide pas forcément avec le chemin le plus court (nombre d’arcs et arêtes). Les poids ne vérifient pas forcément l’inégalité triangulaire ! 25 12 10 St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Si tous les poids sont unitaires, les plus courts chemins coïncident avec les chemins les plus légers ! Définitions de base ----------------------------------------------------------------- Poids d’un chemin : Dans un graphe pondéré, le poids d’un chemin est la somme des poids de ses arcs et arêtes. Nous pouvons alors, de manière évidente, définir le chemin le plus léger de « u » vers « v ». Le chemin le plus léger (poids) ne coïncide pas forcément avec le chemin le plus court (nombre d’arcs et arêtes). Les poids ne vérifient pas forcément l’inégalité triangulaire ! Souvent, on parle de plus court chemin alors qu'on pense au chemin le plus léger ! 25 12 10 St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Connexité – plus courts chemins ----------------------------------------------------------------- Sur un graphe non orienté, nous allons calculer : les composantes connexes ! Sur une composante connexe, nous allons calculer : les plus courts chemins ! Nous rajoutons une pondération strictement positive et nous allons calculer : les chemins les plus légers ! St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Connexité – plus courts chemins ----------------------------------------------------------------- Nous utilisons trois algorithmes : un algorithme par « vague », c’est un parcours en largeur, un algorithme par « multiplication de matrices », l’algorithme de programmation dynamique « Floyd-Warshall » ! Pour chacun d’entre eux, il s’agit de savoir si : il arrive à résoudre le problème en question, quelle est la complexité du calcul ? St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Connexité – plus courts chemins ----------------------------------------------------------------- La vague Multiplication Floyd-Warshall OUI ou NON ? ? ? Quelle complexité ? ? ? Connexité Plus courts Plus légers St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

C'est un parcours en largeur ! Connexité – plus courts chemins ----------------------------------------------------------------- L’algorithme par vague : Nous choisissons un sommet sec et le mouillons, nous mouillons ses voisins, nous mouillons les voisins des voisins , . . . Attention, dans un graphe il peut y avoir des cycles ! ! ! Il faut éviter de tourner en rond ! Ici, nous ne faisons rien pour un sommet déjà mouillé ! Complexité :  ( | E | ) = O( | V |^2 ) = O ( n^2 ) Chaque arête est visitée une et une seule fois ! C'est un parcours en largeur ! St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Connexité – plus courts chemins ----------------------------------------------------------------- La vague Multiplication Floyd-Warshall  ( | E | ) = O ( | V |^2 ) Connexité Plus courts Plus légers St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Connexité – plus courts chemins ----------------------------------------------------------------- La multiplication de matrices : Nous prenons une matrice avec des « 0 » et des « 1 », nous la fermons réflexivement (des « 1 » sur la diagonale), nous effectuons le calcul suivant : M * M’ ( i , j ) = max M ( i , k ) * M’ ( k , j ) Nous calculons : M -> M^2 -> M^4 -> . . . Propriété : M^( 2 * i ) = M^i * M^i contient tous les chemins de longueur au plus 2 * i . Il suffit de calculer M^k avec k >= | V |-1 = n-1 (le plus long chemin possible; et donc tous les chemins) ! Il suffit de O ( log( | V | ) ) élévations au carré ! k St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Connexité – plus courts chemins ----------------------------------------------------------------- Preuve de la propriété : La matrice M fermée réflexivement contient tous les chemins de longueur 0 ou 1. Hypothèse d’induction : M^i contient tous les chemins de longueur au plus i . M^( 2 * i ) ( u , v ) = 1  max_k M^i ( u , k ) * M^i ( k , v ) = 1   w tel que M^i ( u , w ) * M^i ( w , v ) = 1  M^i ( u , w ) = 1 et M^i ( w , v ) = 1  ( u ; w ) et ( w ; v ) sont de longueur au plus i  ( u ; w ; v ) est de longueur au plus 2 * i . On obtient bien-sûr tous les chemins ! St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Connexité – plus courts chemins ----------------------------------------------------------------- La vague Multiplication Floyd-Warshall  ( | E | ) = O ( | V |^2 )  ( | V |^3 * log( | V | ) ) Connexité Plus courts Plus légers St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Connexité – plus courts chemins ----------------------------------------------------------------- Floyd-Warshall : La multiplication recalcule de façon répétée les chemins courts. Si M^i ( u , v ) = 1 : M^( 2 * i ) ( u , v ) = max_k M^i ( u , k ) * M^i ( k , v ) = M^i ( u , u ) * M^i ( u , v ) = M^i ( u , v ) = 1 La DP numérote les sommets de « 1 » à « n » et : à l’étape (1), ne calcule que les chemins dont les intermédiaires sont dans l’ensemble { 1 }, à l’étape (2), ne calcule que les chemins dont les intermédiaires sont dans l’ensemble { 1 , 2 }, . . . St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Connexité – plus courts chemins ----------------------------------------------------------------- Petit à petit, les uns . . . (0) Initialement : M 2 (1) 1 Etape 1 : M (2) Etape 2 : M (3) Etape 3 : M 3 Nous n’avons pas dessiné les boucles de la fermeture réflexive ! St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Connexité – plus courts chemins ----------------------------------------------------------------- Petit à petit, les autres . . . (0) Initialement : M 2 (1) 1 Etape 1 : M (2) Etape 2 : M (3) Etape 3 : M 3 Nous n’avons pas dessiné les boucles de la fermeture réflexive ! St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Connexité – plus courts chemins ----------------------------------------------------------------- Petit à petit, finalement . . . (0) Initialement : M 2 (1) 1 Etape 1 : M (2) Etape 2 : M (3) Etape 3 : M 3 etc . . . Nous n’avons pas dessiné les boucles de la fermeture réflexive ! St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Connexité – plus courts chemins ----------------------------------------------------------------- (k-1) M est donnée, elle comporte tous les chemins avec des intermédiaires parmi { 1 , . . . , k-1 } . M ( u , v ) est un chemin de « u » vers « v » avec des intermédiaires parmi { 1 , . . . , k } . Soit le sommet « k » figure dans ce chemin, soit il ne le fait pas. u - . . . - k - . . . - v M ( u , k ) M ( k , v ) (k) (k) (k-1) M ( u , v ) = M ( u , v ) } }  / k  / k (k-1) (k-1) St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Connexité – plus courts chemins ----------------------------------------------------------------- (0) M est la matrice d’adjacence, fermée réflexivement. Elle comporte des « 0 » et des « 1 ». M ( u , v ) = max ( , ) M est la matrice recherchée ! (k) (k-1) M ( u , v ) (k-1) (k-1) M ( u , k ) * M ( k , v ) (n) Pour k de 1 a | V | Pour u de 1 a | V | Pour v de 1 a | V | M_k ( u , v ) <- . . . St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

La suite la semaine prochaine ! Connexité – plus courts chemins ----------------------------------------------------------------- La vague Multiplication Floyd-Warshall  ( | E | ) = O ( | V |^2 )  ( | V |^3 * log( | V | ) )  ( | V |^3 ) Connexité Plus courts La suite la semaine prochaine ! Plus légers St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet

Cours de graphes 1 - Intranet Synthèse ----------------------------------------------------------------- Définitions de base Connexité : à l’aide de la vague, à l’aide de la multiplication, à l’aide de Floyd-Warshall. St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet