Calcul des groupes d'homologie d’objets discrets Sylvie Alayrangues - Jacques-Olivier Lachaud AS géométrie discrète 09 juillet 2003

Plan Utilité des groupes d'homologie Définition Algorithme de calcul Pistes de recherche

Utilité des groupes d'homologie Invariant topologique Moins puissant que les groupes d'homotopie Calculables pour des structures discrètes Caractérisation d'objets Deux objets qui n’ont pas les mêmes groupes d’homologie ont des topologies différentes Mais deux objets avec les mêmes groupes d’homologie n’ont pas forcément la même topologie

Définition des groupes d'homologie (1) Plusieurs types d'homologie : Ici homologie simpliciale A un n-complexe simplicial sont associés (n+1) groupes d'homologie : Hk, k = 0..n k= rang de Hk (nombres de Betti) Intuitivement : Hk permet, entre autres, de compter les trous k-dimensionnels d'un objet, de définir des générateurs de ces trous… 0 : nb de composantes connexes

Définition des groupes d'homologie (2) Formellement : Complexe simplicial K : ensemble de simplexes tel que toute face d'un simplexe de K est dans K, et que l'intersection de deux simplexes de K est face de chacun d'eux Cp(K,G) : Ensemble des p-chaines de K à coefficients dans G (groupe abélien - ici le groupe des entiers) p : Cp(K,G)  Cp-1(K,G) : opérateur bord Zp(K,G)= Ker p et Bp-1(K,G)= Im p p  p+1 = 0 Hp(K,G) = Zp(K,G)/Bp(K,G)

Exemple C0(K) = (1,2,3,4) C1(K) = (12,13,14,23,24,34) 1(12)=2-1 1(12+23-13)=0 Matrice d’incidence  1 2 3 4 1 12 -1 1 0 0 13 -1 0 1 0 14 -1 0 0 1 23 0 -1 1 0 24 0 -1 0 1 34 0 0 -1 1

Principe du calcul (1) Hp(K,G) = ...Zb1Zb2... Zbqp = βp  Zb1Zb2... Zbqp b1,b2,...,bqp sont les facteurs invariants bi / bj pour tout i et j, tels que i < j bp est le nombre de betti associé Calcul de Hp(K,G) = calcul de βp, b1,b2,...,bqp

Exemple de torsion sur la bouteille de Klein w = [1,4]+[4,5]+[5,1] soit s2 la somme de tous les 2-simplexes  s2= 2 w  cycle w = élément de torsion on montre que c = 0  c = n ([1,2]+[2,3]+[3,1]) + mw avec n = 0 et m pair H1  Z  Z2 1 2 3 5 4 6 7 8 9 10

Principe du calcul (2) Obtenir la forme normale de Smith des matrices d'incidence  On peut montrer que : Smith(p) donne les coefficients de torsion de Hp-1(K) βp (K) = rank Cp(K) - rank dp (K) - rank dp+1 (K)

Principe du calcul (3) Problèmes : Sujet actif de recherche (algèbre) Réduction d'une matrice d'entiers À toutes les étapes, on manipule des entiers Les éléments des matrices intermédiaires peuvent devenir très grands Dépassements mémoire Complexité en temps élevée Sujet actif de recherche (algèbre)

Optimisations possibles Construction de la matrice d'incidence Prise en compte du caractère creux de la matrice (choix du stockage) Manipulation des matrices Suppression des lignes nulles au fur et à mesure Calculs les plus coûteux effectués sur des sous-matrices choisies de manière appropriée Utilisation d’un modulo pour effectuer les calculs (résultat de Storjohann)

Algorithme Construction d'une matrice d'incidence : di Calcul de la forme normale de Smith de di Triangularisation de la matrice avec un maximum de pivots de valeur 1 : di' Mémorisation du nombre de 1 Extraction de la sous-matrice di'' contenant toutes les lignes qui n'ont pas 1 pour pivot Obtention de la forme normale de Smith de di''

Construction de di Complexe simplicial défini par ses faces maximales Calcul de la liste de ses faces de dimension i Ordre lexicographique Matrice di obtenue par ligne : 1 ligne / i-simplexe, 1 colonne / (i-1)-simplexe À partir de chaque i-simplexe, on construit chacune de ses (i-1) faces en enlevant à chaque fois un sommet, on récupère l'indice de la face obtenue (i.e. le numéro de la colonne) dans la liste des (i-1) simplexes et on remplit la matrice en alternant les valeurs 1 et -1 Matrice bien ordonnée

Triangularisation de di' (1) 1ère étape : réalisée ligne par ligne : ri : index de la colonne de la première valeur non nulle de la ligne i Recherche d'un maximum de lignes avec des ri distincts et telles que di'[i,ri] = 1 Modifications de chaque ligne avec des opérations élémentaires (li = +/-li +/- k*lj) jusqu'à ce que : Ligne = vecteur nul ligne  retirée de la matrice Ligne dans la forme recherchée  ligne gardée telle quelle ri distinct de rj pour tous les j précédemment rencontrés mais Di'[i,ri]  1  traitement de la ligne différé

Triangularisation de di' (2) 2ème étape : traitement des lignes différées Lignes traitées comme précédemment mais utilisation d'opérations plus coûteuses (gcd) Obtention d'une matrice avec beaucoup de pivots valant 1 et éventuellement quelques pivots différents de 1 3ème étape : calcul des éventuelles torsions Extraction de la matrice telle que les pivots sont différents de 1 et calcul de la forme de smith de cette matrice (méthode décrite par Munkres).

Exemple : bouteille de Klein Triangulation possible : ((1,2,6)(1,4,6)(1,2,9)(1,5,9)(1,3,7)(1,5,7)(1,3,10)(1,4,10)(2,3,6)(2,9,10)(2,3,10)(3,6,7)(4,5,6)(4,5,10)(5,6,9)(5,7,10)(6,8,9)(6,7,8)(7,8,10)(8,9,10)) Nombres de Betti et torsions : [1 ()] [1 (2(1))] [0 ()] 1 2 3 5 4 6 7 8 9 10 2

Exemple : plan projectif Triangulation possible : ((1,2,7)(1,2,11)(1,6,7)(1,6,11)(2,3,7)(2,3,11)(3,4,8)(3,4,10)(3,7,8)(3,10,11)(4,5,8)(4,5,10)(5,6,7)(5,6,11)(5,7,10)(5,8,11)(7,8,9)(7,9,10)(8,9,11)(9,10,11)) Nombres de Betti et torsions : [1 ()] [0 (2 (1))] [0 ()] 4 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11

Pistes de recherche Utiliser ces calculs pour des objet définis à l'aide d'ordres, et de complexes cellulaires Pb : comment construire la matrice d’incidence “le mieux possible” ? Adapter pour calculer des groupes d’homologie locaux Algorithme défini pour un objet statique Algorithme incrémental pour des objets dont la topologie évolue ?