Performance des algorithmes à véracité garantie pour l'ordonnancement de tâches individualistes Fanny Pascual - Laboratoire d’Informatique de Grenoble (LIG) En collaboration avec : Georges Christodoulou (Max Planck Institute), Laurent Gourvès (LAMSADE, Univ. Dauphine)

Ordonnancement P||Cmax m machines identiques n tâches toute tâche i a - une longueur li - un numéro d’identification M1 M1 M2 M2 Objectif : minimiser le makespan (la plus grande date de fin) ROADEF - 22/02/2007

Algorithmes d’approximation SPT (Shortest Processing Time first) 2-1/m approché LPT (Largest Processing Time first) 4/3-1/(3m) approché Schéma d’approximation Exemple: tâches de longueur 1, 2, 2, 3, 4 M1 1 2 4 M2 2 3 ROADEF - 22/02/2007

Ordonnancement de tâches détenues par des agents individualistes Chaque tâche i est détenue par un agent qui seul connaît li (tâche ≡ agent) Les tâches communiquent leur longueur à un protocole qui doit les ordonnancer de sorte à minimiser le makespan ROADEF - 22/02/2007

Stratégies des agents L’algorithme d’ordonnancement est connu. Le but de chaque tâche est de minimiser sa date de fin d’exécution. Chaque tâche i déclare une valeur bi représentant sa longueur. Hyp : bi ≥ li (exécution incomplète si bi<li) bi ROADEF - 22/02/2007 li

Un exemple Le protocole utilise l’algorithme LPT 3 tâches de longueurs {2,1,1}, 2 machines La tâche rouge a intérêt à mentir sur sa longueur afin de minimiser sa date de fin d’exécution. ROADEF - 22/02/2007

Algorithmes à véracité garantie Algorithme à véracité garantie : algorithme avec lequel les tâches ne peuvent pas diminuer leur date de fin en mentant sur leur longueur. ROADEF - 22/02/2007

Retour sur l’exemple Le protocole utilise l’algorithme SPT C’est un algorithme déterministe, à véracité garantie et 2-1/m approché. [Christodoulou et al. ICALP’04] Existe–t’il un algorithme avec véracité garantie avec un meilleur rapport d’approximation ? ROADEF - 22/02/2007

Objectif Borner la performance d’un protocole (algorithme) à véracité garantie dans divers contextes Déterministe ou randomisé Modèle d’exécution fort ou souple ROADEF - 22/02/2007

Modèles d’exécution Modèle fort Modèle souple Une tâche i ayant déclaré bi obtiendra son résultat li unités de temps après le début de son exécution. Modèle souple Une tâche i ayant déclaré bi obtiendra son résultat bi unités de temps après le début de son exécution. li = 2 bi = 3 ROADEF - 22/02/2007

Bornes pour un système centralisé Déterministe Randomisé inf. sup. Fort 2-1/m * 2-(5/3+1/(3m))/(m+1)** Souple 1 *** * [Christodoulou, Nanavati, Koutsoupias, ICALP 2004] ** [Angel, Bampis, Pascual, TCS 2006] *** [Angel, Bampis, Pascual, Tchetgnia, 2006] ROADEF - 22/02/2007

Bornes pour un système centralisé Déterministe Randomisé inf. sup. Fort ? 2-1/m * 2-(5/3+1/(3m))/(m+1)** Souple 1 *** * [Christodoulou, Nanavati, Koutsoupias, ICALP 2004] ** [Angel, Bampis, Pascual, TCS 2006] *** [Angel, Bampis, Pascual, Tchetgnia, 2006] ROADEF - 22/02/2007

Modèle fort, algorithme déterministe, borne inférieure (1/2) Hyp : Algorithme déterministe et de rapport d’approximation < 2-1/m . m machines m(m-1)+1 tâches de longueur 1 1 M1 M2 M3 Au moins une tâche t se termine à la date m. ROADEF - 22/02/2007

Modèle fort, algorithme déterministe, borne inférieure (2/2) la tâche t déclare 1 : 1 fin(t) ≥ 3 La tâche t a intérêt à déclarer m plutôt que 1 : Ordonnancement optimal Ordonnancement (2-1/m-ε)-approché 3 3 1 Makespan < (2-1/m) OPT = 5 OPT = 3 début(t) < 2, fin(t) < 3 ROADEF - 22/02/2007

Bornes pour un système centralisé Déterministe Randomisé inf. sup. Fort 2–1/m 2-1/m 3/2-1/(2m) (pour m=2: 1,25) 2-(5/3+1/(3m))/(m+1) (pour m=2: 1,39) Souple 1 ROADEF - 22/02/2007

Bornes pour un système centralisé Déterministe Randomisé inf. sup. Fort 2–1/m 2-1/m 3/2-1/(2m) (pour m=2: 1,25) 2-(5/3+1/(3m))/(m+1) (pour m=2: 1,39) Souple ? 1 ROADEF - 22/02/2007

Un algorithme déterministe pour le modèle souple Idée : bénéficier de l’avantage de LPT (son rapport d’approx) mais pas de son inconvénient (les tâches mentent pour être exécutées en premier). Construire un ordonnancement LPT puis l’exécuter en sens opposé, i.e. du makespan (Cmax) à la date 0. ROADEF - 22/02/2007

LPT mirror LPT LPT mirror 8 1 4 6 5 LPT LPT mirror d(t) Cmax Toute tâche t se commençant en d(t) dans LPT se termine à la date Cmax - d(t) dans LPT mirror. Si t déclare une valeur plus grande que sa longueur réelle alors Cmax ne peut qu’augmenter tandis que d(t) ne peut que diminuer. LPT mirror est à véracité garantie et 4/3 – 1/(3m) approché. ROADEF - 22/02/2007

Bornes pour un système centralisé Déterministe Randomisé inf. sup. Fort 2–1/m 2-1/m 3/2-1/(2m) 2-(5/3+1/(3m))/(m+1) Souple m=2: ρ≥1.1 m≥3: 7/6 4/3-1/(3m) 1 ROADEF - 22/02/2007

Système distribué Les tâches décident sur quelle machine elles vont être exécutées. La stratégie de la tâche i est (bi,mi) Chaque machine j a un algorithme local d’ordonnancement. Cet algorithme ne dépend que des tâches ayant choisi j : mécanisme de coordination [Christodoulou et al. ICALP’04] ROADEF - 22/02/2007

Prix de l’anarchie Équilibre de Nash : Situation dans laquelle aucune tâche ne peut se terminer plus tôt en changeant unilatéralement de stratégie. Prix de l’Anarchie = max {MakÉq. Nash / MakOPT} Objectif : borner le prix de l’anarchie pour les mécanismes de coordination à véracité garantie. ROADEF - 22/02/2007

Bornes pour un système distribué Déterministe Randomisé inf. sup. Fort 2–1/m 2-1/m 3/2-1/(2m) Souple ROADEF - 22/02/2007

Bornes pour un système distribué Déterministe Randomisé inf. sup. Fort 2–1/m 2-1/m 3/2-1/(2m) Souple (1+√17)/4 > 1.28 1+(√13-3)/4>1.15 ROADEF - 22/02/2007

Perspectives Réduire les écarts entre bornes sup et inf Mécanisme de coordination avec véracité garantie Agents contrôlant plusieurs tâches Machines hétérogènes, cas online ROADEF - 22/02/2007

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Modèle souple, mécanisme de coordination déterministe, borne inf ρ < (2+ε)/2 et ρ ≥ 2/(1+ε) → ρ ≥(1+√17)/4 > 1.28 ROADEF - 22/02/2007

Modèle fort, algorithme randomisé, borne inférieure Hyp : Existence d’un algorithme à véracité garantie, randomisé et de rapport d’approximation 3/2 - 1/(2m) - ε m machines identiques xm(m-1)+m tâches de longueur 1 (x entier) Existence d’une tâche t telle que : E[C(t)] ≥(x(m-1))/2 + 1 ROADEF - 22/02/2007

Modèle fort, algorithme randomisé, borne inférieure Si x>1/(2εm)-1/(2εm²)-1/m alors la tâche t peut déclarer xm+1 plutôt que 1 et diminuer l’espérance de sa date de fin E[C(t)] + xm = E[C’(t)] ≤ (3/2 - 1/2m - ε)OPT’ E[C(t)] + xm ≤ (3/2 - 1/2m - ε)(xm + 1) E[C(t)] < (x(m-1))/2 + 1 ROADEF - 22/02/2007

Modèle souple, algorithme déterministe, borne inférieure (1) Hyp : algorithme à véracité garantie de rapport d’approximation 11/10 – ε 2 machines et 5 tâches de longueurs {5,4,3,3,3} ROADEF - 22/02/2007

Modèle souple, algorithme déterministe, borne inférieure (2) ROADEF - 22/02/2007

Modèle souple, algorithme déterministe, borne inférieure (3) ROADEF - 22/02/2007

Modèle fort, algorithme déterministe, borne inférieure C(t) + m - 1 = C’(t) ≤ (2-1/m-ε)OPT’ C(t) + m – 1 ≤ 2m – 1 - εm C(t) ≤ (1-ε)m < m ROADEF - 22/02/2007

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LPT mirror Toute tâche t se commençant en d(t) dans LPT se termine à la date Cmax - d(t) dans LPT mirror. Si t déclare une valeur plus grande que sa longueur réelle alors Cmax ne peut qu’augmenter tandis que d(t) ne peut que diminuer. LPT mirror est à véracité garantie et 4/3 – 1/(3m) approché. ROADEF - 22/02/2007