Présentation du cours Théorie Pratique Bases de la théorie des sous-ensembles flous Pratique Utiliser la théorie (exercices) Applications FisPro

Bibliographie « La logique floue », B. Bouchon-Meunier, Que- sais-je? PUF, N° 2702. « Logique floue – exercices corrigés et exemples d'applications », B. Bouchon-Meunier, L. Foulloy et M. Ramdani, Cépaduès éd., 1998. « La logique floue et ses applications », B. Bouchon-Meunier, Addison Wesley éd., 1995 « Fuzzy sets, uncertainty and information », G. Klir and T. Folger, Prentice Hall ed., 1988.

Plan du cours Introduction Présentation du cours Définitions de base Sous-ensemble flou (sef) Caractéristiques de sef Opérations sur les sefs Quelques applications commerciales de la logique floue

Introduction L'imprécision du monde réel Le flou est partout Le flou est humain Le flou est plus souple Théorie des sous-ensembles flous « mesurer une gradation dans l'appartenance à un ensemble » Une théorie mathématique formelle pour la prise en compte de l'imprécision et des incertitudes Article fondateur: « Fuzzy Sets », L. A. Zadeh, in Information and Control, 1965.

Historique 1965 : Théorie des ensembles flou introduite par L.A. Zadeh (UC Berkeley) En 1973, le Pr. Zadeh publie un article (dans l'IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics) qui mentionne pour la première fois le terme de variables linguistiques (dont la valeur est un mot et non un nombre). En 1974, Mamdani (Université de Londres) réalise un contrôleur flou expérimental sur un moteur à vapeur. En 1980, F.L. Smidth & Co. A/S (au Danemark) met en application la théorie de la logique floue dans le contrôle de fours à ciment. C'est la première mise en oeuvre pratique de cette nouvelle théorie. Dans les années 80, plusieurs applications commencent à immerger (notamment au Japon). En 1987, « explosion du flou » au Japon (avec le contrôle du métro de Sendaï) et qui atteint son apogée en 1990 (fuzzymania). Aujourd'hui, une vaste gamme de nouveaux produits ont une étiquette « produit flou » (Fuzzy).

Gestion des imprécisions - Approche conventionnelle Dissoudre le flou puis traiter des données précises informations floues  informations précises  part importante d'arbitraire analyse de la sensibilité indispensable plusieurs jeux de données traités un par un comparaison des résultats

Gestion des imprécisions - Approche floue Traiter des données floues puis dissoudre le flou Garder le flou comme une information Reporter la dissolution du flou le plus tard possible et sur la décision uniquement Accroissement de la fiabilité et de la stabilité du système

Gestion des imprécisions Théorie des ensembles flous introduite par Lotfi Zadeh en 1965. Modèle mathématique pour représenter l'imprécision et l'incertitude. Idée des ensembles flous facile à comprendre : Freine dans 32m50 ou Freine bientôt La précision n'est pas toujours utile. Capable d'interpréter des informations imprécises et d'agir.

Ensembles classiques / Ensembles flous ensemble classique = ensemble des objets satisfaisant des propriétés précises Exemple : ensemble des nombres compris entre 6 et 8 fonction caractéristique : m : R  {0, 1} m(x) = 1 si 6  x  8 0 sinon. ensemble flou = ensemble des objets satisfaisant des propriétés imprécises Exemple : ensemble des nombres proches de 7 fonction d'appartenance : : X  [0, 1] (x) pas unique. différence majeure : unicité fonction caractéristique / infinité fonction d'appartenance

Théorie des sous-ensembles flous X ensemble de référence A sous-ensemble flou de X défini par une fonction d'appartenance  X  [0, 1] Caractéristiques Noyau : éléments appartenant de façon absolue Noy(A) = {x X / (x) = 1} Support : éléments appartenant au moins un peu Supp(A) = {x X / (x)  0}

Théorie des sous-ensembles flous Infinité de fonctions d'appartenance possibles flexibilité, ajustement maximal pour une situation donnée Ensemble flou = toujours et seulement des fonctions Toute fonction X  [0, 1] est un ensemble flou dans le sens mathématique. D'un point de vue sémantique, il faut qu'une telle fonction soit interprétable à l'aide de propriétés imprécises décrivant les éléments de X.

Probabilité / Flou ensembles flous = déguisement pour les statistiques ? NON B A  p(B) = 0.9 Quelle bouteille boirez-vous ?

2 philosophies différentes Probabilité / Flou A contient par exemple de l'eau vaseuse, pas de l'acide chlorydrique. A est proche d'un liquide tout à fait potable. Sur 100 bouteilles B, 90 sont potables, 10 sont dégoûtantes voire fatales. Il vaut mieux boire de l'eau vaseuse que de prendre le risque de mourir. 2 philosophies différentes

La théorie des sous-ensembles flous Une extension de la théorie des ensembles classiques Une théorie plus générale qui englobe la théorie des ensembles classiques La théorie des ensembles classiques est un cas particulier Des choix sont à faire pour conserver certaines des propriétés existantes dans la théorie des ensembles classiques Toutes les propriétés ne peuvent pas être conservées en même temps La logique floue : application de la théorie des sous- ensembles flous pour la modélisation du raisonnement Extension de la logique classique La commande floue : utilisation de la logique floue pour le contrôle de systèmes automatiques Cas particulier de la logique floue

Exemples de sous-ensembles flous X={moto,auto,train} (moyens de transport) A: sous-ensemble de X des moyens de transport rapides A= 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 / train X=[0, 130] (ensemble des âges) A: sous-ensemble de X des âges jeunes 1 Jeune X 15 20 30 35

Fonctions d’appartenance

Caractéristiques d'un sef Soit X un univers, et A un sous-ensemble flou de fonction d'appartenance fA. Noyau de A : Noy(A) = {x  X | fA(x)=1} Support de A : Supp(A) = {x  X | fA(x)>0} Hauteur de A : h(A) = supx  X fA(x) Cardinalité de A: |A| = x  X fA(x)

Support d’un sef

Noyau d’un sef

Opérations sur les sefs (1) Extension des opérations de la théorie des ensembles classiques: =, , , , complément Soient A et B deux sefs de X, de f.d'a. fA et fB. Égalité de sefs: A = B ssi x  X, fA (x) = fB(x) Inclusion de sefs: A  B ssi x  X, fA (x) < fB(x) Intersection de sefs: A  B: x  X, fA∩ B (x) = min(fA (x), fB(x)) Union de sefs: A  B: x  X, fA  B (x) = max(fA (x), fB(x))

Opérations sur les sefs (2) Certaines propriétés de la théorie des ensembles classiques sont vérifiées (à faire en exercice): A U∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, A U X = X, A ∩ X = A Associativité de ∩ et de U : (A U B) U C = A U(B U C) Commutativité de ∩ et de U : A∩B = B∩A Distributivité de ∩ par rapport à U : A∩(B U C) = (A∩B) U(A∩C) A U(B∩C) = (A U B)∩(A U C)

Opérations sur les sefs (3) Complément Ac d'un sous-ensemble flou x  X, fAc (x) = 1 – fA(x) Certaines propriétés de la théorie des ensembles classiques sont vérifiées (à faire en exercice): (Ac)c = A (A∩B)c = Ac U Bc (A U B)c = Ac ∩ Bc D'autres propriétés ne le sont pas (généralement): Ac ∩A ≠∅ (contradiction) Ac U A ≠ X (tiers exclu).

Opérations sur les sefs (4) Autres extensions des opérations de la théorie des ensembles classiques: ∩ et U Ces opérations sont en fait des fonctions mathématiques F:[0,1]×[0,1]  [0,1] telle que x, y, F(x,y)  [0,1]. L'intersection peut être réalisée en prenant comme opérateur une t-norme (opérateur ET) L'union peut être réalisée en prenant comme opérateur une t-conorme (opérateur OU)

Opérations sur les sefs (5) Justification des choix des opérateurs Les opérateurs min et max sont les seuls opérateurs qui soient commutatifs, associatifs, mutuellement distributifs, continus et doublement non décroissants D'autres opérateurs sont possibles : conjonction normes triangulaires (t-normes) disjonction conormes triangulaires (t-conormes) Propriétés communes : associativité, commutativité, monotonie, élément neutre.

Normes triangulaires (t-normes) Soit une fonction ⊤:[0,1]×[0,1]  [0,1] telle que x, y, z  [0,1]: ⊤(x,y) = ⊤(y,x) (commutativité) ⊤(x, ⊤(y,z)) = ⊤( ⊤(x,y),z) (associativité) ⊤(x,y) ⊤(z,t) si x  z et y  t (monotonie) ⊤(x,1) = x (1 est élément neutre) Exemples de telles fonctions : min(x,y), x⋅y, max(x+y-1,0) ⊤ est une t-norme Utilisée pour l'intersection ou la conjonction

Normes triangulaires (t-conormes) Soit une fonction :[0,1]×[0,1]  [0,1] telle que x, y, z  [0,1]: (x,y) = (y,x) (commutativité) (x, (y,z)) = ((x,y), z) (associativité) (x,y)  (z,t) si x  z et y  t (monotonie) (x,0) = x (0 est élément neutre) Exemples de telle fonction: max(x,y), x+y-x⋅y, min(x+y,1)  est une t-conorme Utilisée pour l'union

Dualité t-norme / t-conorme Le choix d'une t-norme et celui d'une t-conorme est lié Etant donné un opérateur de complémentation par exemple: fc = 1-f Déf.: Une t-norme et une t-conorme sont duales si et seulement si : 1 – ⊤(x,y) = (1-x, 1-y) 1 – (x,y) = ⊤(1-x, 1-y) En termes de sous-ensembles, la dualité permet de conserver les lois de De Morgan Ainsi, par exemple, le min et le max sont duaux : on a : 1 – min(x,y) = max(1-x, 1-y) ainsi que 1 – max(x,y) = min(1-x, 1-y) On montre que (à faire en exercice) les opérateurs probabilistes sont duaux les opérateurs de Lukasiewicz sont duaux

Comparaison des normes de Zadeh et des normes probabilistes

Exemples X={moto,auto,train} (moyens de transport) Transport rapide: A= 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 / train Transport familial: B= 0.1 / moto + 1.0 / auto + 0.6 / train X=[0, 130] (ensemble des âges) 1 Jeune X 15 20 30 35 70 55 Salarié

Caractéristiques d'un sef (2): -coupes Une -coupe (alpha-coupe) d'un sef A est un sous-ensemble classique A extrait du sef A, défini en fonction d'un seuil   [0,1] fixé : soit   [0,1],  x  X, x  A si et seulement si fA(x)  A est un sous-ensemble classique de X. (fA prend ses valeurs dans {0,1}). On vérifie que (à faire en exercice): Si  >  ' alors A  A' et si B  A alors B  A (A ∩ B) = A ∩ B , et (A  B)  = A   B   x  X, fA(x) = sup]0,1]  f(x) (i.e. on peut reconstruire A à partir de ses -coupes).

-coupes d’un sef

Relations entre sous-ensembles flous Relation: notion fondamentale des mathématiques classiques Basée sur le produit cartésien d'ensembles Les relations établissent des liens entre éléments soit d'un même ensemble soit d'ensembles différents Elles permettent de construire des applications une application est une relation particulière

Produit cartésien de sefs Cas où l'on désire combiner l'information venant de plusieurs ensembles de référence Soit X1 et X2, deux univers de référence et X leur produit cartésien (classique), X=X1×X2, dont les éléments sont les couples (x1,x2), x1X1 et x2X2 Déf.: Soient A1 et A2 respectivement définis sur X1 et X2, on définit le produit cartésien A=A1×A2 comme un sef de X, de fonction d'appartenance: x  X, x=(x1,x2), fA(x)=min( fA1(x1), fA2(x2) )

Produit cartésien X2 x2 (x2 , x1) A2 x1 X1 A1

Exemple d'application du produit cartésien X1={moto,auto,train} (moyens de transport) Transport rapide: A1= 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 / train X2={pasCher, cher} (prix) Prix souhaité : A2= 0.7 / pasCher + 0.4 / cher Donnez la fonction d'appartenance du produit cartésien (transport rapide, prix souhaité)

Relations floues Une relation floue R entre 2 ensembles de références X et Y, est un sous-ensemble flou de XxY de fonction d'appartenance fR Si X et Y sont finis, R peut être représentée par la matrice M(R) des valeurs de sa fonction d'appartenance Exemple: la relation « est préféré à » sur XxX avec X={Train, Voiture, Moto, Avion} La composition de 2 relations floues R1 sur XxY et R2 sur YxZ définit une relation floue R=R1˚ R2 sur XxZ de f.a. définie par : (x,z) XxZ, fR(x,z)= sup y  Y min(fR1(x,y), fR2(y,z))

Relation floue transitive Transitivité : propriété très utilisée pour des relations si A ressemble à B, et que B ressemble à C, alors est-ce que A ressemble à C ? si x < y et que y < z alors x < z Une relation floue R sur X est dite transitive si elle vérifie RR  R. En particulier, si on utilise la composition max- min, on dira que la relation floue R est max-min transitive si : (x,z) XxZ, fR(x,z)  sup y  Y min(fR(x,y), fR(y,z))

Principe d'extension (1) Principe d'extension: utilisé pour étendre une fonction classique aux sefs.

Entrée précise

Entrée floue

Principe d'extension (2) Idée: possédant une fonction sur un univers classique X, permettre son utilisation avec des sefs de X. Définition: Étant donné un sef A de X, et une application  de X vers Y, le principe d'extension permet de définir un sef B de Y associé à A par  : yY, fB(y)= sup{x  X | y= (x)}fA(x) si -1(y)≠∅ 0 sinon Le sef B est l'image du sef A par la fonction .

Exemple d'application du principe d'extension (1) X={camion, caravane, voiture, moto} (moyens de transport) Y={Rapide, Lente, Normale} (mesures des vitesses) On définit la fonction  qui associe une vitesse à un moyen de transport : (camion)=L, (caravane)=L, (voiture)=N, (moto)=R Nouveau véhicule: side-car= 0.5|moto + 0.4|voiture + 0.1|caravane Mesure de la vitesse d'un side-car? fB(L)= max(fsc(camion),fsc(caravane))=max(0, 0.1)= 0.1 fB(N)= fsc(voiture)= 0.4 fB(R)= fsc(moto)= 0.5

Exemples d'application du principe d'extension (2) Fonction mathématique classique : (x)= x2 A un sef de [0,1] de f. a. fA, le sef B de [0,1[ de f.a. fB qui correspond à la A2. y Y, fB(y)= sup{x  X | y=x2} fA(x) si -1(y)≠∅ 0 sinon Mesure de surprise : (p)= -log(p) A un sef de [0,1] de f. a. fA, le sef B de [0,1[ de f.a. fB qui correspond à la valeur floue de surprise causée par A.