Problème d’acheminement République Algérienne Démocratique et Populaire et de la recherche scientifique Université des sciences et de la teMinistère de l’enseignement supérieur chnologie d’Oran Mohamed Boudiaf - U.S.T.O - MB Faculté des sciences Département d’Informatique Spécialité :I.S.I Projet Recherche Opérationnelle Problème d’acheminement Présenté par: LARBI Djamila BOUCHENAFA Brahim El-Khalil Examinateur :Mr.hamdaoui

plan Introduction Problème d’acheminement DFCI Distribution d’eau potable conclusion

Introduction Définition “La RO est la discipline des méthodes scientifiques utilisables pour élaborer de meilleures décisions. ” La RO propose des modèles conceptuels pour analyser des situations complexes et permet aux décideurs de faire les choix les plus efficaces. Une approche de RO Comprendre le problème Modéliser le problème Proposer des méthodes de résolution, d'aide à la décision Tester les méthodes Mettre en place les méthodes et les confronter à la réalité

Les domaines d’application Introduction Les domaines d’application actuelle production Transport Aéroportuaire Télécommunication Spatial futur extraction de connaissances bioinformatique écologie les grands BDD

Les grandes classes de problème Introduction Les problèmes de sac à dos Les problèmes d’acheminement Les problèmes d’affectation Les problèmes d’ordonnancement Les problèmes de file d’attente Les grandes classes de problème

Les problèmes d’acheminement Introduction Les problèmes d’acheminement Il s’agit de divers problèmes entre les sources ayant des disponibilités données et des destinations avec des demandes données. Les arcs du réseau ont des coûts et éventuellement des capacités. • problèmes de chemin optimaux • Problèmes de distribution sans capacités – problème de transport – problème de transbordement • Problèmes de distribution avec capacités – Problème de flot maximum – Problème de flot de coût minimum – Problème de multi flots

problèmes de chemin optimaux Les problèmes d’acheminement problèmes de chemin optimaux Graphe orienté value G=(X,U,C) on s’intéresse au PCC (plus court chemin). • Pas de circuit, de coût négatif; Plusieurs problèmes se distinguent • Trouver le PCC entre deux nœuds - Algorithme de Dantzig, Dijkstra, Bellman, etc. • Trouver un PCC entre un nœud s et tous les autres . • Trouver le PCC entre tout couple de nœuds, X l’ensemble des nœuds, U l’ensemble des arcs C la fonction de poids ou de coût appliquée aux arcs.

Algorithme de Dantzig Les problèmes d’acheminement Chercher le plus court chemin entre sommet de départ a et sommet d’arrivé b , Déterminer pour tout sommet x un nombre W(x) qui donnera la longueur du plus cours Chemin entre a et x Arrêt S’arrêter une fois tous les sommets sont affectés d’un nombre W.

Algorithme de Dijkstra Les problèmes d’acheminement Algorithme de Dijkstra Déterminer le plus cours chemin d’un sommet á tous les autre sommets soit P (potentiel) une fonction définie sur les sommets S: source ou sommets de départ. X: ensemble des sommets du graphe. M: ensemble des sommets marqués.

Les problèmes d’acheminement

Les problèmes d’acheminement Il s’agit de divers problèmes de transport entre les sources ayant des disponibilités données et des destinations avec des demandes données. Les arcs du réseau ont des coûts et éventuellement des capacités. • problèmes de chemin optimaux • Problèmes de distribution sans capacités – problème de transport – problème de transbordement • Problèmes de distribution avec capacités – Problème de flot maximum – Problème de flot de coût minimum – Problème de multi flots

problèmes de transport Les problèmes d’acheminement problèmes de transport - Données: un ensemble X de m origines avec des disponibilités ai pour chaque produit et un ensemble Y de n destinations avec des demandes bj. Coût unitaire cij. clients Coût C11 C12……………….........C1n . Cm1 Cm2……………….......Cmn a1 a2 am usines les biens disponibles i ϵ {1..m} b1 b2 ………………………..bn Σ ai =Σ bj i j les biens demandés j ϵ {1..n} xij : quantités transportées du i vers j - Objectif: calculer un plan de transport pour minimiser le coût de transport

problèmes de transport Les problèmes d’acheminement problèmes de transport -Modélisation de problème Clients Disponibilité Usines x11 C12 x12 C13 x13 C14 x14 C21 x21 C22 x22 C23 x23 C24 x24 C31 x31 C32 x32 C33 x33 C34 x34 Demande 26 x11 + x12 + x13 + x14= 9 x21 + x22 + x23 + x24= 10 x31 + x32 + x33 + x34= 7 x11 + x21 + x31 = 6 x12 + x22 + x32 = 9 x13 + x23 + x33 = 8 x14 + x24 + x34 = 3 pour l'usine 1 pour l'usine 2 pour l'usine 3 pour le client 1 pour le client 2 pour le client 3 pour le client 4 Min Z = c11.x11+c12.x12+…+c34.x34

problèmes de transport Les problèmes d’acheminement problèmes de transport -Modélisation de problème Fonction objectif Min Z=ΣΣcijxij I j Σ xij = ai pour 1  j  m j de production  Contraintes Σ xij = bj pour 1  i  n i de consommation xij  0 de signe

problèmes de transport Les problèmes d’acheminement problèmes de transport La solution coin Nord-Ouest ("hasard") des solution non optimale Balas-Hammer On choisit le chemin ayant le cout le plus faible et on l’utilise pour transiter le maximum de marchandises. ici, c’est le chemin (1,1), on y fera passer 9 unités de marchandises. 12 23 67 71 12 12 27 61 49 83 35 23 39 78 28 65 42 67 56 92 24 53 54 71 43 91 40 27 61 49 83 35 49 28 24 67 18 32 14 9 9 9-9=0 18-9=9 39 78 65 42 2 25 5 30-5=25 32-2=30 56 43 92 24 24 53 54 6 5 14-6=8 8-5=3 3 91 40 49 9 9 9 11 28 6 14 5 73 2 3 5 Z= 12*9 + 27*9 + 39*2 + 78*25 + 42*5 + 92*3 + 24*6 + 53*5 + 40*9 = 3634 Cette solution est optimal

Défense des Forêts Contre DFCI DFCI Défense des Forêts Contre les Incendie

est un incendie qui se propage sur une étendue boisée DFCI Feu de foret est un incendie qui se propage sur une étendue boisée

DFCI Causes Cause inconnue ; Cause naturelle : imprudences, accidents dus à la circulation en forêt ou en périphérie, lignes électriques, dépôts d’ordures, reprise de feu, etc. essentiellement, la foudre ; pyromanie, conflit, intérêt politique ou foncier. Cause humaine involontaire (ou accidentelles) : Cause humaine volontaire :

DFCI Causes

DFCI Dégâts Dégâts physiques Algérie : surface brulée est Dégâts écologiques: Pollution de l'air  Pollution photochimique: Les gaz émis interagissent avec les rayons solaires ultraviolets pour produire une pollution dite photochimique. Gaz à effet de serre

La défense contre les incendies DFCI La défense contre les incendies Les moyens de lutte contre les incendies de forêt en Algérie Equipements et infrastructures Nombre Brigades Mobiles Postes de Vigie Chantiers d‘intervention camions citernes feux de forêts (CCF) camions citerne grande capacité (CCGC)   Camions Ravitailleurs Points d’eau 522 306 784 212 35 23 1579

Description de problème DFCI Description de problème une image satellitaire permet de mieux voire une exemple d’ incendie, Deux forêts brûlent au même temps

Description de problème DFCI Données 2forêts brûlent : Msila, Merjajou. L’eau nécessaire disponible dans 2 Points d’eau: A et B Graphe orienté value G= (Y, U, C) Y l’ensemble des nœuds, Uij l’ensemble des arcs Cij : la distance entre le points d’eau i et forets j Xij quelle quantité d’eau envoyé ( points d’eau i aux forets j) et avec quel camions Description de problème Msila Merjajou Points d’eau A X11 X12 Points d’eau B X21 X22

DFCI Description de problème

Description de problème DFCI Description de problème Demande : 800 m³ pour Msila 1600 m³ pour Merjajou Disponibilités 1000 m³ a A 1500 m³ a B

Description de problème DFCI Description de problème objectif objectif Minimiser les dégâts estimés Comment Par la Minimisation de temps de parcours entre les points d’eau et les lieux d’incendie (1) les demandes sont satisfaites (2) quantités demandées ne dépassent pas la quantités disponibles (3) quantités envoyées > 0

Modélisation de problème DFCI Modélisation de problème La fonction objectif: Min Z= X11U11+X12U12+X21U21+X22U22 X11+X21>=800 X12+X22>=1600 (1) les demandes sont satisfaites X11+X12<=1000 X21+X22<=1500 (2) quantités demandées ne dépassent pas la quantités disponibles (3) quantités envoyées > 0 Xij >0

Description de problème DFCI Description de problème Conclusion Une lutte efficace contre les incendies passe par la mise à disposition des pompiers d’une quantité d’eau suffisante et toujours disponible. C’est une obligation dont la responsabilité incombe aux maires, quelle que soit la nature de l’environnement. Si les choses semblent assez faciles en milieu urbain, elles sont parfois plus difficiles à réaliser en milieu rural. Souvent, la solution de facilité consiste à surdimensionné les réseaux d’alimentation en eau des communes.

les biens demandés j ϵ {1..n} DFCI La formule générale forêts la distance entre i et j C11 C12……………….........C1n . Cm1 Cm2……………….......Cmn a1 a2 am Points d’eau les biens disponibles i ϵ {1..m} b1 b2 ………………………..bn les biens demandés j ϵ {1..n} xij : quantités transportées du i vers j

Problème de distribution d’eau potable

Définition du problème de flot maximal sur un réseau Problème de distribution d’eau potable Définition du problème de flot maximal sur un réseau Définition d'un réseau Un graphe G = (X, U) est un réseau si : il est connexe il possède deux sommets particuliers s et p. les arcs sont munis de capacités inférieures Bu et supérieures Cu avec Bu≤ Cu. graphe sans boucle. Définition du problème du flot maximal Le problème du flot maximal est celui de la détermination d'un flot sur G, compatible avec les capacités, et dont le flux F0 sur l'arc de retour u0 est le plus grand possible. Introduction: D’après ce que a était présenté par Melle LARBI Djamila on peut estimé que l’eau le moyen le plus important pour gérer DFCI Dans le but d’amélioré le rendement de la distribution et de réfléchir à des solutions pour mieux gérer l’eau qui est un bien commun et une ressource indispensable à la vie en fait appel a la recherche opérationnelle qui vat nous permettent de traité de différent problèmes . Maximisation du flot dans un réseau hydraulique. Minimisation des couts de distribution .

Définition du problème de flot maximal sur un réseau Problème de distribution d’eau potable Définition du problème de flot maximal sur un réseau Définition d'un réseau Un graphe G = (X, U) est un réseau si : il est connexe il possède deux sommets particuliers s et p. les arcs sont munis de capacités inférieures Bu et supérieures Cu avec Bu≤ Cu. graphe sans boucle. Définition du problème du flot maximal Le problème du flot maximal est celui de la détermination d'un flot sur G, compatible avec les capacités, et dont le flux F0 sur l'arc de retour u0 est le plus grand possible. De la source aux consommateurs Barrage d’eau les château d’eau les poteaux d'incendie les robinets

Définition du problème de flot maximal sur un réseau Problème du flot maximal sur un réseau. Définition du problème de flot maximal sur un réseau Définition d'un réseau Un graphe G = (X, U) est un réseau si : il est connexe il possède deux sommets particuliers s et p. les arcs sont munis de capacités inférieures Bu et supérieures Cu avec Bu≤ Cu. graphe sans boucle. Définition du problème du flot maximal Le problème du flot maximal est celui de la détermination d'un flot sur G, compatible avec les capacités, et dont le flux F0 sur l'arc de retour u0 est le plus grand possible. Présentation du problème : Le problème est de déterminer s'il est possible de satisfaire à travers un réseau la demande des différentes villes et comment ??? Pour résoudre ce problème il faut dans un premier temps le modéliser. Pour cela, nous introduisons un nouveau problème standard qui est celui du flot maximal sur un réseau.

Définition du problème de flot maximal sur un réseau Problème du flot maximal sur un réseau. Définition du problème de flot maximal sur un réseau Définition d'un réseau Un graphe G = (X, U) est un réseau si : il est connexe il possède deux sommets particuliers s et p. les arcs sont munis de capacités inférieures Bu et supérieures Cu avec Bu≤ Cu. graphe sans boucle. Définition du problème du flot maximal Le problème du flot maximal est celui de la détermination d'un flot sur G, compatible avec les capacités, et dont le flux F0 sur l'arc de retour u0 est le plus grand possible. Définition du problème de flot maximal sur un réseau Définition d'un réseau Un graphe G = (X, U, C, s, p) est un réseau si : il est connexe il possède deux sommets particuliers s et p. les arcs sont munis de capacités inférieures Bu et supérieures Cu avec Bu≤ Cu. graphe sans boucle. Définition du problème du flot maximal Le problème du flot maximal est celui de la détermination d'un flot sur G, compatible avec les capacités, et dont le flux F sur l'arc de retour u est le plus grand possible.

Définition du problème de flot maximal sur un réseau Problème du flot maximal sur un réseau. Définition du problème de flot maximal sur un réseau Définition d'un réseau Un graphe G = (X, U) est un réseau si : il est connexe il possède deux sommets particuliers s et p. les arcs sont munis de capacités inférieures Bu et supérieures Cu avec Bu≤ Cu. graphe sans boucle. Définition du problème du flot maximal Le problème du flot maximal est celui de la détermination d'un flot sur G, compatible avec les capacités, et dont le flux F0 sur l'arc de retour u0 est le plus grand possible. Modélisation de problème Un réseau G = (X, U, C, s, p) Un flot est une application F de U dans |N. Objectif: déterminer un flot maximal sur G, et dont le flux F sur l'arc de retour u est le plus grand possible. – Respectant les capacités (1) – Conservation de flots (2) – Valeur de flot à maximiser (3) Fonction objectif Fij  Cij ∀(i,j) ϵ U (1) Contraintes Σ Fij = Σ Fij ∀i,j ϵ N i,j≠ s, p. (2) j succ s j pred p Σ Fij = Σ Fij =F (3) j succ s j pred p

Définition du problème de flot maximal sur un réseau Problème du flot maximal sur un réseau. Exemple d’étude Définition du problème de flot maximal sur un réseau Définition d'un réseau Un graphe G = (X, U) est un réseau si : il est connexe il possède deux sommets particuliers s et p. les arcs sont munis de capacités inférieures Bu et supérieures Cu avec Bu≤ Cu. graphe sans boucle. Définition du problème du flot maximal Le problème du flot maximal est celui de la détermination d'un flot sur G, compatible avec les capacités, et dont le flux F0 sur l'arc de retour u0 est le plus grand possible. Un graphe représente un système de distribution de l’eau

Problème du flot maximal sur un réseau. Description de problème Données Graphe orienté value G= (X, U, C, B, ): Demande 50 000 m³ pour la ville 1. 40 000 m³ pour la ville 2. 80 000 m³ pour la ville 3. Disponibilité Deux châteaux d'eau ont une capacité = 100 000 m³

Problème du flot maximal sur un réseau. Description de problème Objectif Maximiser la quantité d'eau qui doit être distribuer à la population Comment Par la détermination d’un flot max sur G, et dont le flot F sur l’arc de retour u est le plus grand possible, mais on: Respectant les capacités. Respectant la loi de Conservation de flot. Valeur de flot á maximisé.

on introduit deux sommets : Problème du flot maximal sur un réseau. Modélisation de problème on introduit deux sommets : s avec deux arc (s,C1) et(s,C2) p avec trois arc (V1,p);(V2,p) et (V3,p) on introduit un arc de retour : Représente le flot du réseau. 170

Problème du flot maximal sur un réseau. Modélisation de problème La fonction objectif : Max F A chaque arc on a les flot inferieur a la capacité: pour l arc (s ,c1) : 90  100 pour l arc (s ,c2) :80  100 pour l arc (c1, v1) :30  30 pour l arc (c1, p1) :60  60 pour l arc (v2, p) :40  40 pour l arc (v3, p) :80  80 La loi de conservation est vérifier à chaque nœud: Pour c1 on 90=60+30, Pour c2 on 80=50+30, Pour p1 on 60+50=20+40+30+20, Pour p2 on 20+30=50 La loi de conservation est vérifier á s et p 80+90=50+40+80 =F 170 30 90 80 50 40 20 60

Problème du flot maximal sur un réseau. Formule générale Fij  Cij ∀(i,j) ϵ U (1) Σ Fij = Σ Fij ∀i,j ϵ N i,j≠ s, t. (2) j succ i j pred I Σ Fij = Σ Fij =F (3) j succ s j pred p Pour une solution optimale au problème en fait appel a l’algorithme de Ford-Fulkerson .

Définition du problème de flot maximal sur un réseau Algorithme de Ford-Fulkerson Définition du problème de flot maximal sur un réseau Définition d'un réseau Un graphe G = (X, U) est un réseau si : il est connexe il possède deux sommets particuliers s et p. les arcs sont munis de capacités inférieures Bu et supérieures Cu avec Bu≤ Cu. graphe sans boucle. Définition du problème du flot maximal Le problème du flot maximal est celui de la détermination d'un flot sur G, compatible avec les capacités, et dont le flux F0 sur l'arc de retour u0 est le plus grand possible. Notion de coupes: Une coupe est une partition de nœuds Z=(S,P) avec s ∈S et p∈P. La capacité de la coupe est la somme des capacités des arcs de S vers P. Algorithme de Ford-Fulkerson principe: Fin := FAUX Partir d'un flot initial compatible avec les capacités TANTQUE fin = FAUX Effectuer la procédure de marquage à partir du flot courant Si p est non marqué ALORS poser fin:= VRAI {le flot SINON Modifier le flot à partir d'une chaîne améliorante μ de s vers P dans G. FINTANTQUE FIN L’augmentation du flot δ est donnée par: δ = min{(Cij-Fij)(i,j)∈μ−, Fij(i,j)∈μ+} Propriétés : Le flot maximum est égal à la valeur de coupe minimale

Algorithme de Ford-Fulkerson Application de l’algorithme sur le réseau de distribution d'eau: + 170 30 90 80 50 40 20 60 2eme itération de l’algorithme: Marquage de la source S (+). pour l’arc (s, c1) :90 < 100 (+). pour l’arc (c1, v1) :30= 30 on ne peut marquer. pour l’arc (s, c2) :90 < 100 (+). pour l’arc (c2, p1) :40= 40 on ne peut marquer. pour l’arc (c2, p1) :50= 50 on ne peut marquer. 1ere itération de l’algorithme: Marquage de la source S (+). pour l’arc (s, c1) :90 < 100 (+). pour l’arc (c1, c2) :30= 30 on ne peut marqué . pour l’arc (s, c2) :80 < 100 (+). pour l’arc (c2, p1) :50= 50 on ne peut marqué . pour l’arc (c2, p2) :30 < 40 (+) pour l’arc (p2, p1) :20 >0 (-). pour l’arc (p1, v1) :20 <30 (+). enfin le sommet P marqué (+). + + Alor on a donc mis en évidence une chaîne améliorante S C2 P2 P1 V1 p qui permet d'augmenter le flot. Le long de cette chaîne on peut envoyer 10 unités supplémentaires. La procédure de marquage permet de marquer s, puis C1 puis C2. On ne peut rien marquer d'autre, tous les arcs issus de C1 ou C2 ayant leur capacité saturée. Donc le flot actuel est maximal. On ne peut donc envoyer aucune quantité supplémentaire. Valeur de coupe minimale = F = 180 000 m³.

Problème de distribution d’eau potable Conclusion En réalité En Algérie (ou pays en développement) l’intégration de la recherche opérationnelle dans différent domaine (en précision Optimisation de la distribution d'eau potable) est Loin des aspirations . Je propose un exemple (avec reportage) d’un système d’optimisation de la distribution de l’eau potable d’ans un pays développer (France) qu’il a totalement des différentes techniques et objectifs .

Merci pour votre attention