SCIENCES PHYSIQUES ET CHIMIQUES FONDAMENTALES ET APPLIQUEES STS IRIS 5 JUIN 2002 Académie d'Aix-Marseille 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

A- Représentation fréquentielle d’un signal Fourier sans peine A- Représentation fréquentielle d’un signal 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille Un signal périodique quelconque peut toujours être considéré comme une somme de signaux sinusoïdaux. 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille u(t) = Û.sin (2.f.t + ) Additionnons des signaux sinusoïdaux - de fréquences multiples d’une fréquence donnée. - et d’amplitudes et de phases réglables à l’aide d’un fichier Excel pour reconstituer un signal: 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Le fondamental et les harmoniques Un signal alternatif périodique uA (t) de fréquence f peut être considéré comme la somme d’une fonction sinusoïdale de même fréquence f appelée fondamental : uF(t) = ÛF . sin(2.f.t + F). d’autres fonctions sinusoïdales dont les fréquences sont des multiples de la fréquence f appelées harmoniques : - uH2 = ÛH2 . sin(2.2f.t + 2) est l’harmonique 2 - uH3 = ÛH3 . sin(3.2f.t + 3) est l’harmonique 3 - uH4 = ÛH4 . sin(4.2f.t + 4) est l’harmonique 4 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille Description temporelle Description fréquentielle u(t) est un signal sinusoïdal :  u(t) = Û . sin(2..f1.t) u est composé d ’une seule fréquence f1. C ’est une fréquence pure. u t Û Représentation temporelle T u Û f Représentation fréquentielle ou spectre f1 = 1 / T 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille Un signal sinusoïdal est une fréquence pure. Son spectre est une raie (ou Dirac). 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille Un signal peut être décrit de manière temporelle ou de manière fréquentielle. Exemple : Temporel : le signal s’écrit u(t) = 10 . sin(2..1000.t) Fréquentiel : le signal est une fréquence pure de fréquence 1000 Hz et d ’amplitude 10. Dans ce cas, la description fréquentielle est plus explicite. 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille Notre oreille est un excellent analyseur de spectre. Le diapason du musicien émet un son de forme presque sinusoïdale. La représentation fréquentielle est bien adaptée pour ce son. En effet, le diapason donne le LA à 440 Hz. f amplitude du son 440 Hz 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille B- Analyse spectrale visuelle et auditive Etude de l’équivalence entre la représentation temporelle et la représentation fréquentielle. 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille u(t) = 5.sin(628t) Représentation temporelle t (ms) u (V) 5 10 Représentation fréquentielle Û F (Hz) 5 V 100 Clic 1 Clic 2 Exemple1 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Spectres de signaux périodiques D’un point vue fréquentiel, un signal est une somme de fréquences pures. Plusieurs fréquences (raies) apparaissent dans son spectre. 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille u(t)=6,366sin(628t)+2,122sin(3*628t)+1,273sin(5*628t)+0,909sin(7*628t) +0,707sin(9*628t)+0,579sin(11*628t)+... Représentation temporelle u (V) t (ms) 10 5 -5 Représentation fréquentielle Û (V) F (Hz) 5 100 Clic 1 Clic 2 Exemple3-2 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille u(t)=6,366sin(628t)+2,122sin(3*628t)+1,273sin(5*628t)+0,909sin(7*628t) +0,707sin(9*628t)+0,579sin(11*628t)+... Représentation temporelle u (V) t (ms) 10 5 -5 Représentation fréquentielle Û (V) F (Hz) 5 100 300 Clic 1 Clic 2 Exemple3-3 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille u(t)=6,366sin(628t)+2,122sin(3*628t)+1,273sin(5*628t)+0,909sin(7*628t)+0,707sin(9*628t)+0,579sin(11*628t)+... Représentation temporelle u (V) t (ms) 10 5 -5 Représentation fréquentielle Û (V) F (Hz) 5 100 300 500 Clic 1 Clic2 Exemple3-4 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille u(t)=6,366sin(628t)+2,122sin(3*628t)+1,273sin(5*628t)+0,909sin(7*628t)+0,707sin(9*628t)+0,579sin(11*628t)+... Représentation temporelle u (V) t (ms) 10 5 -5 Représentation fréquentielle Û (V) F (Hz) 5 100 300 500 700 Clic 1 Clic 2 Exemple 3-5 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille u(t)=6,366sin(628t)+2,122sin(3*628t)+1,273sin(5*628t)+0,909sin(7*628t)+0,707sin(9*628t)+0,579sin(11*628t)+... Représentation temporelle u (V) t (ms) 10 5 -5 Représentation fréquentielle Û (V) 5 100 300 500 700 900 F (Hz) Clic 1 Clic 2 Exemple 3-6 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille u(t)=6,366sin(628t)+2,122sin(3*628t)+1,273sin(5*628t)+0,909sin(7*628t)+0,707sin(9*628t)+0,579sin(11*628t)+... Représentation temporelle u (V) t (ms) 10 5 -5 Représentation fréquentielle Û (V) F (Hz) 5 100 300 500 700 900 1100 Clic 1 Clic 2 Exemple3-7 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille u(t)=6,366sin(628t)+2,122sin(3*628t)+1,273sin(5*628t)+0,909sin(7*628t)+0,707sin(9*628t)+0,579sin(11*628t)+... Représentation temporelle u (V) t (ms) 10 5 -5 F (Hz) Représentation fréquentielle Û (V) 5 100 300 500 700 900 1100 Clic 1 Clic 2 Exemple 3-1 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille Un signal quelconque périodique u se décompose en - un signal alternatif appelé ondulation uond, - un signal continu égal à la valeur moyenne <u>. u = uond + <u> Un signal continu est un harmonique 0 d’un point de vue fréquentiel : u t f 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille u(t) = 5 + 5.sin(628t) Représentation temporelle t (ms) u (V) 5 10 10 V Représentation fréquentielle Û F (Hz) 5 V 100 Clic 2 Clic 1 Exemple 2 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille u(t) = 1 + 6,366sin(628t) + 2,122sin(3*628t) + 1,273sin(5*628t) + 0,909sin(7*628t) + 0,707sin(9*628t) + 0,579sin(11*628t) +... Clic 1 Représentation temporelle u (V) t (ms) 10 7 -5 Représentation fréquentielle Û (V) F (Hz) 5 Clic 1 Clic 2 Exemple4-2 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille u(t)= 1 + 6,366sin(628t) + 2,122sin(3*628t) + 1,273sin(5*628t) + 0,909sin(7*628t) + 0,707sin(9*628t) + 0,579sin(11*628t) +... Représentation temporelle u (V) t (ms) 10 7 -5 Représentation fréquentielle Û (V) F (Hz) 5 100 Clic 1 Clic 2 Exemple4-3 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille u(t)= 1 + 6,366sin(628t) + 2,122sin(3*628t) +1,273sin(5*628t) + 0,909sin(7*628t) + 0,707sin(9*628t)+0,579sin(11*628t)+... Représentation temporelle u (V) t (ms) 10 7 -5 Représentation fréquentielle Û (V) F (Hz) 5 100 300 Clic 1 Clic 2 Exemple4-4 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille u(t) = 1 + 6,366sin(628t) + 2,122sin(3*628t) + 1,273sin(5*628t) + 0,909sin(7*628t) + 0,707sin(9*628t) + 0,579sin(11*628t) +... Représentation temporelle u (V) t (ms) 10 7 -5 Représentation fréquentielle Û (V) F (Hz) 5 100 300 500 Clic 1 Clic 2 Exemple4-5 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille u(t) = 2 + 6,366sin(628t) + 2,122sin(3*628t) + 1,273sin(5*628t) + 0,909sin(7*628t) + 0,707sin(9*628t) + 0,579sin(11*628t) +... Représentation temporelle u (V) t (ms) 10 7 -5 Représentation fréquentielle Û (V) F (Hz) 5 100 300 500 700 Clic 1 Clic 2 Exemple4-6 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille u(t) = 1 + 6,366sin(628t) + 2,122sin(3*628t) + 1,273sin(5*628t) + 0,909sin(7*628t) + 0,707sin(9*628t) + 0,579sin(11*628t) +... Représentation temporelle u (V) t (ms) 10 7 -5 Représentation fréquentielle Û (V) F (Hz) 5 100 300 500 700 900 Clic 1 Clic 2 Exemple4-7 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille u(t) = 1 + 6,366sin(628t) + 2,122sin(3*628t) + 1,273sin(5*628t) + 0,909sin(7*628t) + 0,707sin(9*628t) + 0,579sin(11*628t) +... Représentation temporelle u (V) t (ms) 10 7 -5 Représentation fréquentielle Û (V) F (Hz) 5 100 300 500 700 900 1100 Clic 1 Clic 2 Exemple4-8 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille u(t)=1+ 6,366sin(628t) + 2,122sin(3*628t) + 1,273sin(5*628t) + 0,909sin(7*628t) + 0,707sin(9*628t) + 0,579sin(11*628t)+... Représentation temporelle u (V) t (ms) 10 7 -5 Représentation fréquentielle Û (V) F (Hz) 5 100 300 500 700 900 1100 Clic 1 Clic 2 Exemple4-1 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille WinOscillo est un logiciel qui permet de générer un son et de donner la représentation temporelle ou le spectre du son . Etudions - les spectres de sons “purs”, - les spectres de sons générés par le logiciel , - le spectre de la voix. 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille C- Échantillonnage et... spectres 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille Échantillonnage Soit e(t) le signal à échantillonner et e*(t) le signal échantillonné. e(t) t t e*(t) Te 2.Te 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille Reconstitution Soit e*(t) le signal échantillonné et er(t) le signal reconstitué par bloqueur d’ordre 0. e*(t) Te 2.Te t t er(t) 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille Comment choisir Te la période d’échantillonnage pour que le signal e(t) soit correctement reconstitué ?  Théorème de Shannon 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille Etude des spectres des signaux - à échantillonner, - échantillonné et - reconstitué. Le signal étudié est une somme de 3 sinusoïdes : s(t) = sin (2..1000.t) + 0,3. sin (2..2000.t) + 0,08. sin (2..3000.t) 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille Théorème de Shannon : Dans le cas général, la reconstruction est donc possible si : -le signal e(t) ne contient aucune raie au delà d’une certaine fréquence notée Bmax. - Le signal est échantillonné à une fréquence Fe qui vérifie la relation Fe > 2 . Bmax pour éviter les repliements de spectre. - On dispose d’un filtre passe-bas de reconstruction ayant une fréquence de coupure basse Fc telle que : Bmax < Fc < Fe-Bmax.  5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Exemple d’échantillonage : Transmission numérique du son 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille Le spectre de la parole et de la musique s’étend jusqu’à environ 20 kHz. f Son 20 kHz 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille Dans le cas d’une qualité CD, le signal de parole ou de musique est échantillonné à 44,1 kHz. Le théorème de Shannon est donc respecté : Bmax = 20 kHz    2 . Bmax = 40 kHz et Fe = 44,1 kHz.  Fe > 2 . Bmax 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

La reconstruction n ’est pas possible. Dans le cas du téléphone numérique le signal est échantillonné à 8 kHz seulement. Le théorème de Shannon n’est plus respecté. Son échantillonné à 44100 Hz Son échantillonné à 8000 Hz La reconstruction n ’est pas possible. Comment échantillonner une parole à 8000Hz ? 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille En téléphonie, on estime que le message est compréhensible pourvu que les composantes basses fréquences soient transmises correctement. On place avant l’échantillonneur un filtre passe-bas, dit filtre anti-repliement. En téléphonie numérique, la fréquence de coupure du filtre anti-repliement est de 3,4 kHz. parole 20 kHz f 3,4 kHz 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille Le signal filtré a un spectre qui ne s’étend plus que jusqu’à 3,4 kHz : Bmax = 3,4 kHz     2 . Bmax = 6,8 kHz Fe = 8 kHz.  Fe > 2.BMAX Le théorème de Shannon est ainsi respecté. 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Son échantillonné à 8000 Hz avec filtre anti repliement à 3400 Hz 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille D- Modulations et... spectres 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille Intérêt de la modulation : Signal à transmettre f Bmax Signal transmis f f0 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille La modulation permet de “décaler” en fréquence l’information contenue dans un signal. Cela permet de transmettre simultanément plusieurs signaux (en radiodiffusion par exemple). f 2 signaux transmis f01 f02 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille Ecoutons la modulation d’amplitude d’un signal sinusoïdal : Ecoutons la modulation d’amplitude d’un signal carré : Ecoutons la modulation de fréquence d’un signal sinusoïdal : Ecoutons la modulation de fréquence d’un signal carré : 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille On cherche à transmettre un signal sinusoïdal de fréquence comprise entre 10 et 100 Hz. La fréquence de la porteuse est comprise entre 200 et 500 Hz. Modulation d’amplitude : Modulation de fréquence : 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

E- Signaux des convertisseurs statiques et... spectres 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille L’onduleur convertit un signal continu en un signal alternatif. On cherche à rendre ce signal alternatif le plus “sinusoïdal” possible. Il faut supprimer les harmoniques. C’est l’intérêt de la commande décalée. 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille Les onduleurs à M.P.L.I. permettent aussi de limiter la présence d’harmoniques : 5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille