Intégrale définie Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

où P = {x0, x1, x2, …, xn} est une partition de [a; b], Introduction Il nous faut réfléchir sur la définition d’aire sous la courbe d’une fonction non négative f posée dans la présentation précédente. S i = 1 n f(ci ) ∆xi A[a; b] = lim (max∆xi)® 0 où P = {x0, x1, x2, …, xn} est une partition de [a; b], ci Î [xi–1; xi] et ∆xi = xi – xi–1 Nous avons testé cette définition à l’aide de fonctions polynomiales, en considérant toujours une partition régulière. Nous généraliserons maintenant à toute fonction continue, mais nous devons d’abord traiter la question de l’existence de la limite d’une telle somme.

S S Fonction intégrable - S Définition Fonction intégrable au sens de Riemann Soit f, une fonction définie sur [a; b] et P = {x0, x1, x2, …, xn} une partition quelconque de [a; b]. Alors f est dite intégrable au sens de Riemann (ou simplement intégrable) sur [a; b] si la limite suivante existe : REMARQUE : Si f est non négative sur [a; b], l’intégrale définie donne l’aire sous la courbe. S i = 1 n f(ci ) ∆xi lim (max∆xi)® 0 , où ci Î [xi–1; xi] Si f est intégrable sur [a; b], alors l’intégrale définie de f sur [a; b] est définie par : S i = 1 n f(ci ) ∆xi lim (max∆xi)® 0 f(x) dx = a b , où ci Î [xi–1; xi] La valeur de a est appelée borne inférieure de l’intégration et b, borne supérieure de l’intégration. S

Intégrale définie et indéfinie Il faut distinguer intégrale définie et intégrale indéfinie. L’intégrale définie est un nombre réel qui est la limite d’une somme : S i = 1 n f(ci ) ∆xi lim (max∆xi)® 0 f(x) dx = a b , où ci Î [xi–1; xi] L’intégrale indéfinie est une famille de fonctions, les primitives de la fonction f. f(x) dx = F(x) + k, où F '(x) = f(x) Dans cette présentation, nous établirons la relation entre l’intégrale définie et l’intégrale indéfinie grâce au théorème fondamental du calcul différentiel et intégral. Quelques théorèmes préalables nous seront utiles. S

Théorème des valeurs extrêmes Soit f, une fonction continue sur [a; b]. Alors : • il existe au moins un c Î [a; b] tel que f(c) soit égale au minimum absolu de f sur [a; b] et; • il existe au moins un d Î [a; b] tel que f(d) soit égale au maximum absolu de f sur [a; b]. Le minimum et le maximum absolus peuvent être atteints aux frontières de l’intervalle [a; b]. Le minimum et le maximum absolus peuvent être des extremums relatifs. S S

Théorème de Fermat c S S Théorème de Fermat REMARQUE : La fonction n’est pas dérivable à x = c. Le théorème de Fermat ne s’applique pas. Soit f, une fonction telle que : • f est continue sur [a; b]; • f est dérivable sur ]a; b[; • c Î ]a; b[, où (c; f(c)) est un point de maximum (ou de minimum) relatif ou absolu de f; alors, f '(c) = 0. On se souvient de ce théorème on l’utilisait dans l’analyse des points critiques d’une fonction pour détecter les extremums relatifs. On se souvient également que le théorème ne permettait pas de détecter tous les extremums relatifs. c S S

Théorème de Rolle S S S Théorème Distinguons deux cas, selon que la fonction est constante ou non dans l’intervalle [a; b]. de Rolle Soit f, une fonction telle que : • f est continue sur [a; b]; • f est dérivable sur ]a; b[; • f(a) = f(b), alors, il existe au moins un nombre c Î ]a; b[ tel que f '(c) = 0. REMARQUE : Le théorème indique qu’il y a au moins un point dans ]a; b[ où la tangente est horizontale, mais il peut y en avoir plus d’un. Si la fonction n’est pas constante sur [a; b]. Si la fonction est constante sur [a; b]. D’après le théorème des valeurs extrêmes, la fonction possède un minimum absolu et un maximum absolu sur [a; b]. Alors, elle est de la forme f(x) = k, où k Î R. Par conséquent. f '(x) = 0 pour tout x Î ]a; b[ et f '(c) = 0 quel que soit c Î ]a; b[. Puisque la fonction n’est pas constante et que f(a) = f(b), elle a un minimum absolu ou un maximum absolu dans l’intervalle ]a; b[. Soit c Î ]a; b[, tel que (c; f(c)) est un point de maximum (ou de minimum), alors f '(c) = 0 par le théorème de Fermat. Ce qui démontre le théorème de Rolle. S S S

Exemple Déterminer si la fonction définie par f(x) = x2 + x satisfait aux conditions du théorème de Rolle sur [–1; 1]. Calculer la valeur (ou les valeurs) de c, le cas échéant. La fonction est une polynomiale, elle est donc continue sur R et, en particulier, sur [–1; 1]. Elle est dérivable sur R et en particulier sur ]–1; 1[. De plus, f(–1) = 3 = f(1). Les conditions sont satisfaites et le théorème de Rolle s’applique. Il existe au moins un nombre –1 < c < 1 tel que f '(c) = 0. La dérivée de f est : f '(x) = 2x + 1 et : 2x + 1 = 0 donne x = –1/2 La valeur prédite par le théorème de Rolle est c = –1/2. S S

Exercice Déterminer si la fonction définie par f(x) = sin x satisfait aux conditions du théorème de Rolle sur [0; 2π]. Calculer la valeur (ou les valeurs) de c, le cas échéant. La fonction est continue sur R, donc sur [0; 2π]. Elle est dérivable sur R, donc sur ]0; 2π[. De plus, f(0) = 0 = f(2π). Les conditions sont satisfaites et le théorème de Rolle s’applique. Il existe au moins un nombre 0 < c < 2π tel que f '(c) = 0. La dérivée de f est : f '(x) = cos x et : cos x = 0 à π/2 et à 3π/2 Les valeurs prédites par le théorème de Rolle sont c1 = π/2 et c2 = 3π/2. S S

Exercice Déterminer si la fonction définie par f(x) = 1/x2 satisfait aux conditions du théorème de Rolle sur [–2; 2]. Calculer la valeur (ou les valeurs) de c, le cas échéant. La fonction n’est pas continue sur [–2; 2]. En effet, elle a une trou à l’infini à x = 0 (limite de la forme c/0). L’une des conditions n’est pas satisfaite et le théorème de Rolle ne s’applique pas. On ne peut rien prédire. Le graphique permet cependant de conclure qu’il n’existe pas de valeur de c dans [–2; 2] telle que f '(c) = 0 S S

Exercice Déterminer si la fonction définie par f(x) = x2/3 satisfait aux conditions du théorème de Rolle sur [–8; 8]. Calculer la valeur (ou les valeurs) de c, le cas échéant. Une fonction irrationnelle est continue sur son domaine. La fonction est donc continue sur R et, en particulier, sur [–8; 8]. La fonction n’est pas dérivable à x = 0 Î ]–8; 8[, car : f '(x) = –1 3x1/3 et le domaine de f ' est R\{0}. L’une des conditions n’est pas satisfaite et le théorème de Rolle ne s’applique pas. S S

Théorème de Lagrange S Théorème de Lagrange (ou de la moyenne) Soit f, une fonction telle que : • f est continue sur [a; b]; • f est dérivable sur ]a; b[; alors, il existe au moins un nombre c Î ]a; b[ tel que : REMARQUE : Le théorème de Rolle est un cas particulier du théorème de Lagrange. En effet, si f(a) = f(b), la pente de la sécante est 0. f '(c) = f (b) – f (a) b – a Ce théorème affirme que si la fonction est continue et dérivable sur l’intervalle alors il existe un point (c; f(c)) où la tangente est parallèle à la sécante passant par les points (a; f(a)) et (b; f(b)). S

Démonstration du théorème de Lagrange Notons g, la fonction dont le graphique est la sécante à la courbe de la fonction f passant par les points (a; f(a)) et (b; f(b)). Vérifions que cette nouvelle fonction satisfait aux hypothèses du théorème de Rolle. 1. H est continue sur [a; b] car la somme de deux fonctions continues est continue. H(x) La pente de cette sécante est : f (b) – f (a) b – a 2. H est dérivable sur [a; b] car la somme de deux fonctions dérivables est dérivable. et la fonction g est définie par l’équation de la droite : 3. Puisque f(a) = g(a), on a H(a) = 0. De la même façon, H(b) = 0, et H(a) = H(b). g(x) = f(a) + (x – a) f (b) – f (a) b – a Définissons la fonction H dont l’image pour une valeur de x dans l’intervalle [a; b] est la distance verticale entre la courbe de f et celle de g. On a alors : Les hypothèses sont satisfaites, le théorème de Rolle s’applique. On peut conclure qu’il existe au moins un nombre c Î ]a; b[ tel que H '(c) = 0 H '(x) = f '(x) – f (b) – f (a) b – a La dérivée de H est : H(x) = f(x) – g(x), pour x Î [a; b] H '(c) = f '(c) – f (b) – f (a) b – a Par substitution, on obtient : L’image de c est : = 0 f '(c) = f (b) – f (a) b – a H(x) = f(x) – f(a) + (x – a) f (b) – f (a) b – a D’où : Ce qui complète la démonstration. S S S

Exemple Déterminer si la fonction définie par f(x) = 3x – x2 satisfait aux conditions du théorème de Lagrange sur [1; 4]. Calculer la valeur (ou les valeurs) de c, le cas échéant. La fonction est une polynomiale, elle est donc continue sur R et, en particulier, sur [1; 4]. Elle est dérivable sur ]1; 4[. Les conditions sont satisfaites et le théorème de Lagrange s’applique. f (4) – f (1) 4 – 1 = –4 – 2 4 – 1 La pente de la sécante est : = –2 La dérivée de f est f '(x) = 3 – 2x et : 3 – 2x = –2 donne x = 5/2 La valeur prédite par le théorème de Lagrange est c = 5/2. S S

Exercice Déterminer si la fonction définie par f(x) = (x – 2)2/3 satisfait aux conditions du théorème de Lagrange sur [1; 4]. Calculer la valeur (ou les valeurs) de c, le cas échéant. Une fonction irrationnelle est continue sur son domaine. La fonction f est donc continue sur R et, en particulier, sur [1; 4]. Cependant, la fonction n’est pas dérivable à x = 2 Î ]1; 4[, car : f '(x) = –1 3(x – 2)1/3 et le domaine de f ' est R\{2}. Puisque l’une des conditions n’est pas satisfaite, le théorème de Lagrange ne s’applique pas. Il n’y a pas de point (c; f(c)) sur l’intervalle [1; 4] tel que la tangente en ce point soit parallèle à la sécante passant par les points aux extrémités de l’intervalle [1; 4]. S S

[a; x1], [x1; x2], [x2; x3], …, [xi–1; xi], ... , [xn–1; b] Théorème fondamental Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral Soit f, une fonction continue sur un intervalle [a; b] et F, l’une de ses primitives sur [a; b], alors : f(x) dx = F(b) – F(a) a b Démonstration Considérons une partition P = {x0, x1, x2, ..., xn–1, xn} de l’intervalle [a; b], où x0 = a et xn = b. Ces valeurs subdivisent l’intervalle [a; b] en n sous-intervalles : [a; x1], [x1; x2], [x2; x3], …, [xi–1; xi], ... , [xn–1; b] dont les longueurs sont : ∆x1, ∆x2, ∆x3, ...∆xi, ...∆xn On peut alors exprimer F(b) – F(a) par la somme télescopique : F(b) – F(a) = [F(x1) – F(a)] + [F(x2) – F(x1)] + ... +[F(b) – F(xn–1)] S

Démonstration du théorème fondamental Par hypothèse, F est une primitive de f, on a donc : F '(x) = f(x) pour tout x dans l’intervalle [a; b] Considérons le premier sous-intervalle, [a; x1]. Puisque la fonction F est dérivable sur cet intervalle, par le théorème de Lagrange, il existe une abscisse c1 dans l’intervalle telle que : F(x1) – F(a) = F '(c1) (x1 – a) De la même façon, dans chaque sous-intervalle, [xi–1; xi], on peut trouver une abscisse ci telle que : F(xi) – F(xi–1) = F '(ci) (xi – xi–1) On peut donc écrire la somme télescopique de F(b) – F(a) sous la forme : F(b) – F(a) = F '(c1) (x1 – a) + F '(c2) (x2 – x1) ... + F '(ci) (xi – xi–1) + ... +F '(cn) (b – xn–1) S

Démonstration du théorème fondamental De plus, puisque ∆xi = xi – xi–1 et F '(x) = f(x), on a : F(b) – F(a) = F '(c1) ∆x1 + F '(c2) ∆x2 ... + F '(ci) ∆xi + ... + F '(cn) ∆xn = f (c1) ∆x1 + f (c2) ∆x2 ... + f (ci) ∆xi + ... + f (cn) ∆xn En utilisant le symbole de sommation, on obtient alors la somme de Riemann suivante : S i = 1 n f(ci ) ∆xi F(b) – F(a) = Supposons que le nombre n de sous-intervalles s’accroît à l’infini et que la largeur du plus grand de ceux-ci tend vers 0. Le membre de gauche de cette égalité est constant et indépendant de n alors que le côté droit tend vers l’intégrale définie dans l’intervalle [a; b]. On a donc : S i = 1 n f(ci ) ∆xi lim (max∆xi)® 0 f(x) dx a b = F(b) – F(a) = Ce qui complète la démonstration. S

Visualisation du théorème Considérons les fonctions : F(x) = 12 + 9x2 – x3 F(b) – F(a) F '(x) = f(x) = 18x – 3x2 sur l’intervalle [0; 6]. Déterminons une partition. Par le théorème de Lagrange : S i = 1 4 f(ci ) ∆xi f(x) dx a b = F(b) – F(a) = f(c1 ) ∆x1 f(c2 ) ∆x2 Et, à la limite : f(c3 ) ∆x3 F(b) – F(a) A2 S i = 1 n f(ci ) ∆xi lim (max∆xi)® 0 = A A3 A1 f(c4 ) ∆x4 A4 f(x) dx a b = c1 c2 c3 c4 S

Calcul de l’aire S Procédure pour calculer l’intégrale indéfinie 1. Vérifier que la procédure s’applique (f est continue sur l’intervalle). 2. Déterminer les bornes d’intégration lorsqu’elle ne sont pas précisées. 3. Déterminer une primitive F(x) de l’intégrande f(x). 4. Évaluer la différence F(b) – F(a). Notation : b a F(x) La différence F(b) – F(a) est généralement notée : f(x) dx a b F(x) = On écrira donc : Lorsque la fonction est continue et non négative sur [a; b], l’intégrale définie donne l’aire sous la courbe sur l’intervalle [a; b]. S

Exemple Déterminer l’aire sous la courbe de la fonction définie par : f(x) = x + 2 2 Dans l’intervalle [1; 4]. La fonction est continue et non négative dans l’intervalle, on a donc : 8 – 5 4 27 4 = x + 2 2 dx 1 4 = 1 2 x dx + 2 dx 4 4 1 = 2 + 2x x2 = + x x2 4 1 + 4 16 4 = – + 1 1 = 27 4 On trouve 27/4 unités d’aire. S S

Exercice Déterminer l’aire sous la courbe de la fonction définie par : f(x) = 3x2 + 2x Dans l’intervalle [2; 4]. La fonction est continue et non négative dans l’intervalle, on a donc : 80 – 12 = 68 (3x2 + 2x) dx 2 4 = 3x2 dx + 2x dx 2 4 4 2 = x3 + x2 = (64 + 16) – (8 + 4) = 68 On trouve 68 unités d’aire. S S

Exemple Une particule se déplace en ligne droite durant 6 s et sa vitesse est décrite par : v(t) = 18t – 3t2 m/s où t est le temps en secondes. Calculer la variation de position (dépla-cement) durant l’intervalle [0; 2]. La variation de position est donnée par l’aire sous la courbe dans l’intervalle [0; 2]. La fonction est continue et non négative dans l’intervalle, on a donc : 28 – 0 = 28 (18t – 3t2) dt 2 = 18t dt – 3t2 dt 2 2 = 9t2 – t3 = (36 – 8) – (0 – 0) = 28 Le mobile s’est déplacé de 28 m par rapport à sa position initiale. S S

Exercice Une particule se déplace en ligne droite durant 6 s et sa vitesse est décrite par : v(t) = 18t – 3t2 m/s où t est le temps en secondes. Calculer la variation de position (dépla-cement) durant l’intervalle [2; 5]. 100 – 28 = 72 La variation de position est donnée par l’aire sous la courbe dans l’intervalle [2; 5]. (18t – 3t2) dt 2 5 = 18t dt – 3t2 dt 2 5 5 2 = 9t2 – t3 = (225 – 125) – (36 – 8) = 72 Le mobile s’est déplacé de 72 m par rapport à sa position initiale. S S

Exercice Une particule se déplace en ligne droite durant 6 s et sa vitesse est décrite par : v(t) = 18t – 3t2 m/s où t est le temps en secondes. Calculer la variation de position (dépla-cement) durant l’intervalle [0; 6]. 108 – 0 = 108 La variation de position est donnée par l’aire sous la courbe dans l’intervalle [0; 6]. (18t – 3t2) dt 6 = 18t dt – 3t2 dt 6 6 = 9t2 – t3 = (324 – 216) – (0 – 0) = 108 Le mobile s’est déplacé de 108 m par rapport à sa position initiale. S S

Conclusion Le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral (première partie) donne une procédure générale pour déterminer l’intégrale définie dans un intervalle [a; b], qui est valide pour toute fonction continue sur cet intervalle. Lorsque la fonction est continue et non négative sur [a; b], l’intégrale définie donne l’aire sous la courbe sur l’intervalle [a; b]. Le théorème fondamental nous permet également d’établir une relation entre l’intégrale définie et l’intégrale indéfinie, puisque : f(x) dx a b F(x) = , où F(x) est une primitive de f(x).