Modélisation de Solides I – Vue d’ensemble Introduction: 1-9 «Trimmed NURBS» (Rep. Standard) 10-11 Autres representations 12-20 Opérations à effectuer sur des modèles 21-28 Fiabilité et formalisation 29-32 C’est quoi un solide?? Résumé très sommaire de la réponse 1-15 «Trimmed NURBS» 16 Surfaces de subdivision 1-10 03/18/'09 Modélisation de solides -- Table de matières

Modélisation de Solides Pour commencer, une distinction: Systèmes de design industriel (par exemple, Autodesk « Mechanical Desktop », CATIA, … ) Systèmes d’animation (XSI, Maya, …) Je m’intéresse (dans mes recherches) surtout à certains problèmes mathématiques reliés aux systèmes de design industriel. 03/18/'09 Modélisation de solides I

Un exemple de « Mechanical Desktop » 03/18/'09 Modélisation de solides I

Et un autre exemple (du côté architecture) de « Mechanical Desktop » 03/18/'09 Modélisation de solides I

Modélisation de solides I Exemple: XSI I guess the defining difference is this: in Graphics, you want to do more general and interesting types of things, but all you care about is what it looks like. You don’t care whether you could really build it, whether it will fly, etc 03/18/'09 Modélisation de solides I

Et d’autres exemples de XSI: These pix come from thumbnails 03/18/'09 Modélisation de solides I

“Geri’s Game” (filme animé de Pixar) Related to implicit-functions: ensembles de niveaux « level sets », radial basis functions, unitary partitions. See Duranleau p. 6. DeRose et al, SIGGRAPH `98 03/18/'09 Modélisation de solides I

Modélisation de solides I “Geri’s Game” (suite) Les «Crease edge» et les coins Related to implicit-functions: ensembles de niveaux « level sets », radial basis functions, unitary partitions. See Duranleau p. 6. 03/18/'09 Modélisation de solides I

Surfaces de subdivision Les surfaces de subdivision ont été beaucoup utilisées, par exemple, dans le filme ``Geri`s game``. Ils sont d’ailleurs de plus en plus utilisées dans l’animation, dans les jeux, … … et peut-être dans l’avenir, dans les systèmes de conception industrielle? 03/18/'09 Modélisation de solides I

Méthodes de représentation géométrique Résumé très informelle: Les systèmes de design industriel (“CAD/CAM” ou “CAO/FAO”) ont tendance à être basés Sur les surfaces paramétriques (surfaces courbes à deux paramètres, avec domaine rectangulaire ou triangulaire, souvent taillées en sous-surface: “trimmed patches”); Et sur les maillages polygonaux. Les représentations dites implicites (la frontière est composée des points t. q. ) ont aussi été utilisées. Related to implicit-functions: ensembles de niveaux « level sets », radial basis functions, unitary partitions. See Duranleau p. 6. 03/18/'09 Modélisation de solides I

Modélisation de solides I “Trimmed NURBS” La représentation standard Problèmes de robustesse Surfaces de subdivision? 03/18/'09 Modélisation de solides I

Représentations Géométriques et Logiques: 03/18/'09 Modélisation de solides I

Méthodes de représentation Résumé (suite) Les premiers systèmes de CAD/CAM utilisaient souvent la représentation CSG (« Constructive Solid Geometry »), une représentation procédurale basée sur les arborescences. Cette approche est toujours utilisée pour la « Modélisation basée sur les Feature » 03/18/'09 Modélisation de solides I

Méthodes de représentation Résumé (suite) Mais depuis 20 ans, c’est la méthode frontalière (« trimmed patch ») qui est devenue standard. Les «noyaux» pour tous les systèmes commerciaux de modélisation de solides (ACIS, Parasolid), STEP 42 . Programmethèque DT-NURBS (Boeing, DARPA): «Legacy code » (NURBS = Non-Uniform Rational B-Spline). 03/18/'09 Modélisation de solides I

Méthodes de représentation Résumé (suite et fin) Il y a d’autres types de représentation, surtout en infographie (systèmes d’animation), et en imagérie médicale: Surfaces de subdivision Ensembles de points Représentations volumétriques Les systèmes-L … Hope to say quite a bit about “Surfaces de Subdivision”, and something about Rep. Vol. and Systemes-L. 03/18/'09 Modélisation de solides I

Les systèmes-L (Pruskinkiewicz et al) Courbes «dragon» et «Sierpinski» 03/18/'09 Modélisation de solides I

Modélisation de solides I 03/18/'09 Modélisation de solides I

Modélisation de solides I 03/18/'09 Modélisation de solides I

Les systèmes-L (suite et fin) 03/18/'09 Modélisation de solides I

Modélisation de solides I Note (terminology): Quand nous avons appelé la méthode CSG une méthode « procédurale », ça voulait dire que l’usager ne spécifie qu’une procédure qui définit l’objet. En infographie, « modèle procédurale » implique le plus souvent que c’est la procédure même qui définit l’objet, p.e. [Duranleau05]: Systèmes-L Génération de terrains par simulation d’érosion Génération de murs de briques Méthodes cellulaires pour générer textures Reference for the second point: Elbert et al, Texturing and Modeling. AP Professional, 1998. [Duranleau05] 03/18/'09 Modélisation de solides I

Résumé du restant de l’Introduction: 2: Motivation et historique Ce qu’on attend d’un système de modélisation. L’évolution des systèmes depuis 40 ans 3: Systèmes de modélisation de solides rigides Fondations mathématiques et informatiques (topologie algébrique, structures de données, …) Choix de la classe d’objets à modéliser Taxonomie classique (méthodes de représentation) « Modélisation basée sur les feature » (« Feature-based modeling ») Second point: Notice the restriction “solides rigides” 03/18/'09 Modélisation de solides I

Motivation et historique Ce qu’on attend d’un système de modélisation À noter: il y a toujours une boucle conception-analyse (« Design-analysis loop ») C’est-à-dire: L’entrée des objets L’analyse des objets La modification des objets Dans le cas le plus simple, « analyse » pourrait ne vouloir dire que « évaluer subjectivement ce qu’on voit à l’écran ». Mais il faut aussi penser que souvent en veut faire du « Downstream Analysis » CFD = Computational Fluid Dynamics Éléments finis (FEM = Finite Element Methods) 03/18/'09 Modélisation de solides I

Modélisation de solides I Beaucoup de méthodes possibles pour fournir les informations de retour (« feedback »): par exemple, pour la Réalité Artificielle: Écran dans un casque qu’on porte, par exemple pour des applications en architecture. Un module physique qui simule un endroit physique, par exemple, dans le cas de simulation du vol. Parfois en conjonction avec le vrai monde: la télérobotique, la chirurgie, la réparation d’équipements ou voitures, assemblage de machines:  Augmented Reality [Woodwark93]. First point: eg monde virtuelle avec lunettes 3D, souris volant, gants (eg StonyBrook) Second point: télérobotique (murky water, etc) chirurgie (écrans sur les murs, … Because we can’t see, or we don’t know everything we need to know (machine repair …) Modèle interactif avec des modèles 3D. 03/18/'09 Modélisation de solides I

Opérations typiques (contour, extrusion) L’exemple montre déjà un certain nombre d’opérations que nous voulons avoir etc etc 03/18/'09 Modélisation de solides I

Opérations typiques (projection) 03/18/'09 Modélisation de solides I

Prototypage electronique Au niveau de la manufacture On pourrait vouloir priviliger des méthodes de création d’objets qui correspondent aux processus de manufacture (percer des trous, faire des extrusions, …) On pourrait vouloir des modèles plus générals, pour faire l’analyse des tolérances, par exemple. Analyse éléments-finis (p. e. « stress and strain analysis », i.e. la contrainte et la déformation. Analyse du fonctionnement d’un mécanisme Analyse du processus de manufacture (accès, génération automatique des bandes pour machine-outil, i.e. les « cutter paths ». 03/18/'09 Modélisation de solides I

Modélisation de solides I Et encore: Modifications locales, p. e. Biseautage (« chamfer »). Vérification des collisions (« Interference checking ») ? ? Courants de Foucault (induits par un champs magnétique qui entoure un object). Pour la simulation de capteurs. Calcul du centre de masse, poids, volume, … Biseau = chanfrein = chamfer. Biseauter, biseautage 03/18/'09 Modélisation de solides I

Modélisation de solides I Et il y a d’autres buts, dans la manufacture, qui peuvent favoriser d’autres opérations sur les modèles mathématiques: Stéréolithographie (création de modèles physiques) Spécification point-par-point du matériel de composition (interne) d’objets. 03/18/'09 Modélisation de solides I

Modélisation de solides I On pourrait vouloir faire la modification paramétrique des objets (cela crée des problèmes très difficiles pour garder des objets bien formés). On pourrait vouloir avoir la possibilité de défaire ce qu’on a fait (« Undo »). Et je n’ai même pas mentionné les opérations que les infographistes trouveraient fondamentales: le rendu, ajout de textures, animation, … 03/18/'09 Modélisation de solides I

Fiabilité et formalisation Avec tout cela, on attend aussi la fiabilité. Les objets peuvent devenir très compliqués. Pour s’assurer que nos algorithmes considèrent toutes les combinaisons de faces d’objets (par exemple, dans une opération d’intersection de deux objets), il faudra formaliser. 03/18/'09 Modélisation de solides I

Fiabilité et formalisation En effet, si les analyses mentionnées vont être semi-automatiques, ou automatiques, il va falloir formaliser, dans le but d’écrire des algorithmes fiables. Par exemple, un processus automatique de génération de bande pour machine-outil doit pouvoir vérifier que l’outil ne va pas mettre des trous non-voulus dans l’objet, etc. Ceci serait encore plus vrai si le processus de design était lui-même semi-automatique. Par exemple: objets stéréolithographes. Vite et peu cher si pas d’erreur. Mais si une personne doit entrer dans le processus … 03/18/'09 Modélisation de solides I

Exemple frappant: GIDEP Alert (1988) Les systèmes de mesure tridimensionnelle (CMM = Coordinate Measuring Machines) dépendent d’un modèle de l’objet pour décider si un objet physique donné est acceptable. Le U.S. DOD a constaté en 1988 que différentes machines donnaient des réponses différentes. « For several weeks the flow of mainly military hardware worth hundreds of millions (possibly billions) of dollars simply stopped, because work could not proceed until the goods could be dimensionally qualified. Ad hoc agreements between DOD authorities and standards organizations got the flow restarted, but the underlying problem(s) remain. [Voelker90] » 03/18/'09 Modélisation de solides I

Le problème de robustesse De façon semblable, le problème de « broken models » coute à des compagnies comme Boeing des dizaines de milliers de dollars par année. Les problèmes viennent suite à des opérations sur les objets, et suite au transfert entre systèmes différents. Les « gaps and overlaps », dûs à l’utilisation de courbes de bas dégré, et à l’utilisation de l’arithmétique de précision finie. Les algorithmes de maillage (pour éléments finis) sont très fiables, à condition que le modèle de base soit correct [Farouki99]. For example, FLUENT and other FEM commercial-meshing algorithms. Body Healers. Réparation de models. Cottage industry. Transfer formats. EPS = Encapsulated PostScript. Fichier postscript rélocalisable (fichier ps complet et imbricable) IGES = Initial Graphics Exchange Standard. Wilson, IFIP92, p. 270 (+FvDFH?) < - > CAD systems of the 70s. Most widely used standard for data transfer between heterogeneous systems. ACIS .sat files STEP (Part 42) 03/18/'09 Modélisation de solides I

Modélisation de solides rigides Fondations mathématiques et informatiques [Requicha77] Qu’est-ce qu’un objet? Exemple. Un dessin fil-de-fer ne définit pas un objet sans ambiguité: Où est le trou? Y’a-t-il un? 03/20/'09 Modélisation de solides II

Modélisation de solides II Exemple [Mäntylä88, p. 111] Des faces, reliées topologiquement comme il faut, peuvent ne pas définir la frontière d’un objet en . cf Modèles de surface incomplets p.e. la carrosserie, … Et, évidemment, il faut aussi spécifier la forme GÉOMÉTRIQUE de la face (surface planaire, surface NURBS, …) 03/20/'09 Modélisation de solides II

Modélisation de solides II Jusqu’en 1975-1980, peu d’attention portée à la définition d’un objet. [Requicha77]: Si nous voulons des systèmes autonomes, ou semi-autonomes, il va falloir s’occuper de ses questions. Nous ne pourrons plus compter sur l’intervention des humaines pour rêgler les manques de cohérence interne. 03/20/'09 Modélisation de solides II

Modélisation de solides II Une première possibilité: les variétés ou « manifolds » (Euler, Poincaré) Une variété 3D avec frontière. Par exemple: Une boule Un beigne (un tore) Une tasse avec poignées Un lapin avec un trou qui passe par sa tête, comme on voit parfois au LIGUM Une théière (comme on voit aussi souvent en infographie) 03/20/'09 Modélisation de solides II

Modélisation de solides II Une première possibilité: les variétés ou « manifolds » (Euler, Poincaré) Voici le cas le plus général: 03/20/'09 Modélisation de solides II

Modélisation de solides II Une première possibilité: les variétés ou « manifolds » (Euler, Poincaré) En infographie, quand on parle d’un objet « de topologie générale », on fait référence souvent à cette classe-là. Mais, en fait, nous verrons que cette classe n’est pas assez grande pour assurer la fermeture par rapport aux opérations voulues. Donc, en modélisation de solides, une classe plus générale, et plus souvent utilisée, est celle des ensembles-r (« r-sets ») [Requicha77]. 03/20/'09 Modélisation de solides II

Modélisation de solides II " Une fonction bijective est injective (1:1), et surjective (« onto »). Un homéomorphisme est bijective et continu. Une variété 2D sans frontière ne contient que des points qui ont un voisinage qui est homéomorphe à un disque 2D, comme les points sur la frontière de cet objet: Une variété 2D avec frontière peut avoir des points avec voisinage homéomorphe à un demi-disque 2D (par exemple, une « patch »). “patch” ou “face” 03/20/'09 Modélisation de solides II

Modélisation de solides II Les définitions pour une variété 3D sont analogues: Une variété 3D sans frontière ne contient que des points qui ont un voisinage qui est homéomorphe à une boule 3D. Une variété 3D avec frontière (par exemple, l’objet déjà montré) peut avoir des points homéomorphes à une demi-boule 3D. Un objet manifold est donc une variété 3D avec frontière, et sa frontière est une variété 2D sans frontière. Such as all of R^3, for example. Otherwise, have to go to R^4 to get something analogous to a doughnut. 03/20/'09 Modélisation de solides II

Les ensembles-r (“r-sets”) La classe de variétés (ensembles manifold) n’est pas fermée par rapport à la réunion de deux objets, par exemple: (un objet) On doit donc définir une class plus générale. Four surfaces meeting, instead of two. We want the result of an operation to give an object in the class, so the combined thing is considered a single object. 03/20/'09 Modélisation de solides II

Modélisation de solides II Mais quel niveau de généralité? Nous ne voulons pas permettre, par exemple, un objet dont la frontière est définie par : Nous prenons donc les ensembles semi-analytiques, ou les ensembles semi-algébriques. Cela assure une triangularisation finie [Lojasiewicz64]. Sets “described by” inequalities of the form f(x) <= 0, F analytic or algebraic 03/20/'09 Modélisation de solides II

Même dans le cas de faces linéaires, ça peut devenir très compliqué: Mettez vous au point inidiqué par la flèche, et imaginez que vous écriviez un algorithme pour, disons, réunir deux parties de l’objet. Si vous regardez autour de vous, les choses sont compliquées! 03/20/'09 Modélisation de solides II

Modélisation de solides II La frontière de l’objet à droite n’est pas une variété: il y a beaucoup de points non-manifolds. Les variétés sont moins générales. 03/20/'09 Modélisation de solides II

Objet réguliers (fermés) Définition: Nous pouvons vouloir que nos objets aient de l’épaisseur. Ainsi, les ensembles suivants seraient exclus: Fermeture= … Intérieure= … (Dans les deux cas, topologie de E^3) 03/20/'09 Modélisation de solides II

Objet réguliers (ouverts) Définition: Les objets sont maintenant ouverts (ne contiennent pas leur frontière). Un objet ouvert qui n’est pas régulier: Fermeture= … Intérieure= … (Dans les deux cas, topologie de E^3) 03/20/'09 Modélisation de solides II

Modélisation de solides II Notons qu’un objet non-régulier peut être créé par une opération booléenne: Intersection: Complément: Il faut comprendre que les lignes sont supposées être l’une par-dessus de l’autre. Complément dans A, ou « différence » 03/20/'09 Modélisation de solides II

Modélisation de solides II Il faut vous servir des idées de Variétés vs Non-variétés (manifold vs non-manifold) Ensembles semi-analytiques/semi-algébriques Ensembles réguliers (fermés) pour définir des classes d’objets utiles et appropriées dans le contexte de modélisation de solides. Manifold vs non-manifold 03/20/'09 Modélisation de solides II

Modélisation de solides II “Trimmed NURBS” La représentation standard Problèmes de robustesse Surfaces de subdivision? 03/20/'09 Modélisation de solides II

Surfaces de subdivision: Introduction informelle J’ai mentionné quand je parlais de surfaces B-splines et NURBS, qu’il y a des difficultés associées à l’utilisation des « trimmed-NURBS patches ». En particulier, si nous voulons créer des objets avec la forme d’un tore, «non-manifold » etc, il faut coudre des patch ensemble. Cela mène à des difficultés sévères: modèles pas bien formés, etc. (« Robustesse ») 03/20/'09 Modélisation de Solides III

L’idée générale des SdeS se voit dans l’exemple suivant (Ulrich Reif): On commence avec un maillage approximatif, on subdivise, et on fait un lissage pour avoir une surface lisse: 03/20/'09 Modélisation de Solides III

L’idée générale (suite) Si on avait la possibilité de contrôler la forme de telles surfaces, de les coller ensemble, ça serait bien. En fait, c’est possible. Il y a une théorie mathématique assez vaste en dessous: « An Introduction to the Mathematics of Subdivision Surfaces » L.-E. Andersson + N. F. Stewart Je noterai ce document par [A-S 08]. 03/20/'09 Modélisation de Solides III

Exemple simple pour les courbes: la méthode de Chaikin 03/20/'09 Modélisation de Solides III

Méthode de Chaikin (suite) 03/20/'09 Modélisation de Solides III

Méthode de Chaikin (suite) 03/20/'09 Modélisation de Solides III

Modélisation de Solides III D’où vient ces rêgles? Ce processus converge-t-il vraiment? Si oui, est-ce que ça converge vers une surface continue? Une surface avec une continuité élévée, par exemple Est-ce qu’il y a d’autres rêgles qui auraient fonctionné? Comment les trouver? Y’a-t-il un sens aux « faces »  du maillage de contrôle? (Ce ne sont pas des triangles! Faces courbes, auto-intersectantes, tordues …?) Possible de paramétriser les faces? 03/20/'09 Modélisation de Solides III

Modélisation de Solides III Voici un autre exemple, qui vient en partie des notes SIGGRAPH 2000: Subdivision for Modeling and Animation, D. Zorin et P. Schröder. 03/20/'09 Modélisation de Solides III

Vue d’ensemble des méthodes de subdivision de surface B-spline d’ordre m classique … et la méthode de subdivision qui va avec 03/20/'09 Modélisation de Solides III

Vue d’ensemble (suite) Une classification des méthodes: 03/20/'09 Modélisation de Solides III