Probabilités

Le calcul de probabilités s'est développé à partir du 16ème siècle Le calcul de probabilités s'est développé à partir du 16ème siècle. Les interrogations de ses débuts portaient sur les jeux de hasard. Pierre de Fermat (1601-1665) et Blaise Pascal (1623-1662), mathématiciens célèbres, posèrent les bases des probabilités. Blaise Pascal Pierre de Fermat

I. Vocabulaire 1) Expérience aléatoire Une expérience est dite « aléatoire » si elle vérifie deux conditions : - Elle conduit à des résultats possibles que l’on peut nommer. - On ne peut pas prévoir ces résultats. Remarque : Le résultat d'une expérience aléatoire s'appelle aussi une issue. Exemple :  On lance un dé à 6 faces et on regarde quel nombre on obtient. Cette expérience est bien une expérience aléatoire car : - Les résultats (ou issues) possibles sont 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6. - Quand on lance le dé, on ne sait pas sur quelle face on va tomber.

2) Evénement Un événement dans une expérience aléatoire est constitué de plusieurs issues (ou résultats). Exemple : On dispose des cinq cartes suivantes. On tire une carte au hasard parmi les cinq. Obtenir une reine est un événement. Obtenir un cœur est un autre événement.

II. Probabilités 1) Probabilité et fréquence Lorsqu’on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois, la fréquence de n’importe quel évènement de cette expérience finit par se stabiliser autour d’un nombre : la probabilité de cet événement. Le lien fût établi par le mathématicien suisse Jacques Bernoulli (1654-1705)

Exemple : On dispose d’une pièce de monnaie. Si on lance un très grand nombre de fois cette pièce, et que l’on compte le nombre de fois qu’elle donne pile et le nombre de fois qu’elle donne face, la fréquence de ces deux résultats va se stabiliser autour de ½. Remarque : La probabilité d’un événement est en quelque sorte la chance que cet événement se produise. Avec l’exemple ci-dessus, on a 1 chance sur 2 d’obtenir face…

Nous appelons l’ensemble de tous les résultats possibles 2) Probabilité et espace échantillonnal Nous appelons l’ensemble de tous les résultats possibles l’espace échantillonnal de l’expérience aléatoire et nous pouvons dénombrer au moyen d’une figure appelée arbre de probabilités ou diagramme arborescent. diagramme arborescent l’espace échantillonnal PPP PPF PFP PFF FPP FPF FFP FFF P F P F P F

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Voici un diagramme arborescent pour le lancé de deux dés. Donne l’espace échantillonnal 123456 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

Voici l’espace échantillonal pour le lancé de deux dés 21 31 41 51 61 22 32 42 52 62 23 33 43 53 63 24 34 44 54 64 25 35 45 55 65 26 36 46 56 66

3) Calculer une probabilité Quand les résultats d'une expérience aléatoire ont tous la même probabilité alors la probabilité d'un événement E est égale au quotient: Nb de résultats favorables à l’événement P(E) = Nb de résultats possibles Exemple : On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6. Quelle est la probabilité d'obtenir un chiffre pair ? Quand on lance un dé, il y a 6 résultats possibles. Le résultat favorable à l'événement «  obtenir un chiffre pair » est « obtenir un 2, un 4, un 6 » donc il y a 3 résultats favorables. On a alors P (« obtenir un chiffre pair ») = 3/6 ou encore 1/2

Exemple : On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6. Remarques : - La probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1. - La somme des probabilités associées à chaque issue est égale à 1. L'événement contraire de l'événement A est celui qui se réalise quand A n'a pas lieu. On a alors P( non A ) = 1 - P(A) Exemple : On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6. L'événement « non 2 » est constitué de 5 issues « 1 », « 3 », « 4 », « 5 », « 6 ». On a P(2) = 1/6 Donc P(non 2) = 5/6

Notes importantes : Si p est la probabilité qu’un événement se produise alors 0 ≤ p ≤ 1.   Si p = 1, l’événement est une certitude. Si p = 0, l’événement est impossible. Plus p est près de 1, plus l’événement est probable. Plus p est près de 0, moins probable est l’événement. Si q est la probabilité que l’événement n’aie pas lieu, alors q = 1 - p

Calculer la probabilité d’événements mutuellement exclusifs Deux événements sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire tous les deux en même temps. Exemple 1: Un jeu consiste à faire rouler un seul dé. Vous gagnez si le dé montre un 3 ou un 5. Quelle est la probabilité de gagner ? P(3) ou P(5) sont des événement incompatibles alors P(gagner) = P(3) + P(5)  

Note bien la prochaine diapositive!

Évènements incompatibles et " OU" Le mot "ou" entre deux évènements dans un problème de probabilité, détermine que ces évènements sont incompatibles. Il faut donc additionner les probabilités lorsque tu vois le mot "OU "!

Calculer la probabilité d’événements mutuellement exclusifs Ainsi, si un événement peut se produire de deux façons incompatibles qui ont les probabilités p1 et p2, alors la probabilité que cet événement se produise est la somme soit p = p1 + p2 On peut seulement additionner si les événements sont incompatibles.

Calculer la probabilité d’événements mutuellement exclusifs À ton tour : Un nombre entier entre 1 à 10 inclusivement est choisi au hasard. Quelle est la probabilité de choisir un nombre pair ou un nombre inférieur à 5 ?

Calculer la probabilité d’événements indépendants Deux événements sont appelés indépendants si la réalisation de l’un n’influence pas celle de l’autre. Exemple 1 : Un jeu consiste à faire rouler un dé, puis à lancer une pièce de monnaie. Vous gagnez si le dé montre un 3 et la pièce montre le côté face. Quelle est votre probabilité de gagner ? Les évènements 3 et face sont des événements indépendants.  P(gagner) = P(3) et P(face) 1/6 x 1/2 = 1/12

Note bien la prochaine diapositive!

Évènements indépendant et ET" Le mot " et " entre deux évènements dans un problème de probabilité, détermine que ces évènements sont indépendants. Il faut donc multiplier les probabilités lorsque tu vois le mot " ET "!

Calculer la probabilité d’événements indépendants À ton tour: On tire une bille d’un sac contenant 3 billes vertes, 2 billes bleues et 4 billes rouges. On la remet ensuite dans le sac et on en tire une deuxième. Quelle est la probabilité de tirer une bille verte et une bille bleue? P(verte et bleue) = P(verte) x P(bleue) = 3/9 x 2/9 = 6/81 = 2/27

3) Etude d’une expérience à deux épreuves On lance deux fois de suite une pièce de monnaie. Calculer la probabilité de l’évènement E : « On obtient au moins une fois PILE. »  On schématise les différentes issues avec un arbre de probabilités. (P ; P) P (probabilité d’obtenir deux piles) P F (P ; F) (probabilité d’obtenir pile puis face) (F ; P) P (probabilité d’obtenir face puis pile) F F Sur un même chemin, on multiplie les probabilités. On a P(E ) = = La probabilité que l’évènement E se réalise est de ¾.

4) Etude d’une expérience à quatre épreuves F G Nombre de Filles F ............................ 4 G ............................ 3 F ............................ 3 G ............................ 2 F ............................ 2 G ............................ 1 F ............................ 1 G ............................ 0 familles de 4 enfants : P(nombre de filles) Simulation Valeurs possibles 1 2 3 4 probabilités

Avec remise et sans remise Avec remise: expression qui veut dire que tu replace l’objet là où tu l’as pris. Cela n’affect pas le calcul de tes probabilités. Sans remise: expression qui veut dire que tu ne replace pas l’objet là où tu l’as pris. Cela affect le calcul de tes probabilités. .

P(ace noir et 2) = P(Ace noir) et P(2) Problème avec remise On brasse un jeu de 52 cartes et on pige deux cartes au hasard avec remise. Trouve la probabilité que les cartes soient respectivement un ace noir et un 2? P(ace noir et 2) = P(Ace noir) et P(2) = 2/52 x 4/52 = 1/26 x 1/13 = 1/338

P(ace noir et 2) = P(Ace noir) et P(2) Problème sans remise On brasse un jeu de 52 cartes et on pige deux cartes au hasard sans remise. Trouve la probabilité que les cartes soient respectivement un ace noir et un 2? P(ace noir et 2) = P(Ace noir) et P(2) = 2/52 x 4/51 = 1/26 x 4/51 = 4/1326 Si il n’y a pas de remise alors il y a une carte de moins lors de la 2ième pige.

Essaie un problème sans remise! Une boîte contient 8 billes vertes, 12 blanches et 4 bleues. Tu dois tirer deux billes au hasard sans remise. Trouve la probabilité de tirer un bille blanches puis une bleues. P(blanche et bleue) = P(blanche) et P(bleue) = 12/24 x 4/23 = 1/2 x 4/23 = 4/46 = 2/23 Si il n’y a pas de remise alors il y a une bille de moins lors de la 2ième pige.