Grandeurs et mesures au cycle 2 et 3 Brigitte Bonnet-Philip et Mirène Larguier Groupe départemental de mathématiques (GDM)

Présentation de la matinée Les formateurs membres du GDM Site du GDM http ://math34.ac-montpellier.fr/ sur le site de l’IA http ://www.ac-montpellier.fr/ Programmes ; Anciens documents en lien avec les programmes de 2002 : Document d’accompagnement : « grandeurs et mesures » ; Documents d’applications du cycle 2 et du cycle 3. Ressources pour la classe ; Idées pour utiliser du matériel en classe …

Grandeurs et mesures : introduction Problème : Voici trois polygones, quel est le plus grand ?

Plusieurs réponses pour ce problème du plus grand Le plus grand : Si on considère la distance maximale d’un sommet à la droite (D), c’est le numéro 1 ; Si on considère le périmètre du polygone, c’est le numéro 3 ; Si on considère l’aire du polygone c’est le numéro 2.  

À propos de la question : quel est le plus grand ? Réponse : dis moi quelle est la caractéristique des objets dont tu parles et je te dirai quel est le plus grand ! Pour répondre à la question il faut savoir ce qui peut être comparé. Enumérer toutes les caractéristiques des objets qui permettent de les comparer pour savoir quel est le plus grand. Comment s’appellent ces caractéristiques ? Réponses prises dans l’assemblée

Le domaine « grandeurs et mesures » des programmes de cycle 2 et 3 Les différentes grandeurs dans les programmes (et leurs synonymes) : Durée (intervalle de temps); Longueur (distance, largeur, hauteur, taille, distance, profondeur, altitude, envergure, …) ; Aire (étendue, superficie) ; Masse ; Volume ; Capacité (contenance) ; Angles ; Quantité d’objets ; Prix ; Vitesse.

Une grandeur particulière : la quantité d’éléments d’un ensemble Exemple : une collection de dessins Quelle est la quantité de dessins de la collection ? il y a 19 dessins ; 19 est le cardinal de l’ensemble ; c’est la quantité d’objets de la collection ; c’est la « taille » de la collection. Ne pas demander aux élèves : « Quel est le nombre de dessins ? » mais : « Quelle est la quantité de dessins ? » ou bien « Combien y a-t-il de dessins ? »

La grandeur longueur Quels types d’activités proposez-vous à vos élèves lorsque vous travaillez dans le domaine des longueurs ? Demander des réponses sur papier qui seront lus par formateurs BB lit ML organise synthèse écrite

Regard sur les programmes de 2008 et sur le document d’accompagnement « grandeurs et mesures » (prog. de 2002)

La grandeur longueur Comparaison directe de longueurs : Ranger les livres de la bibliothèque en fonction de leur hauteur ; Ranger les élèves de la classe du plus grand au plus petit ou du plus petit au plus grand par rapport à leur taille ; Ranger des crayons de couleur dans une boîte en fonction de leur longueur ; Ranger des bandes de papier de même largeur en fonction de leur longueur.

La grandeur longueur Comparaison de longueurs de façon indirecte : Comparer les périmètres de polygones tracés (avec une bande de papier, avec un compas, avec un calque, avec une ficelle) ; Comparer les périmètres des tronc des arbres de la cour ; Choisir un étalon de longueur pour comparer des longueurs en les référant à cet étalon ; Fabriquer des couronnes des rois ayant la taille exacte du tour de tête pour chaque élève. Utilité de savoir reporter une longueur : Une unité étant donnée, construire une droite graduée pour y placer les nombres entiers puis les nombres décimaux à partir du CM1.

Histoire de toise

Résolution de problème : quel est le triangle qui a le plus grand périmètre ? Vote à vue d’œil Temps de réflexion Réponses de la salle Consignes : 1°) Devinez par la vue quel est le triangle qui a le plus grand périmètre (ou le plus long pourtour). 2°) Trouver un moyen de prouver la réponse à la première question sans utiliser la règle graduée .

Quel est le triangle qui a le plus grand périmètre ? 1 2 3 Une technique à favoriser : « faire rouler » l’objet tout droit

Comparaison directe

Comparaison indirecte Comparer les périmètres de ces figures :

Comparaison indirecte de longueurs http://sites.google.com/site/desideespourlecole/Home/

Comparer des objets en fonction de différentes grandeurs Compte-rendu d’expérimentation (groupe premier degré IREM) Un problème posé en cycle 3 : Quel est le plus grand verre ?

Situation du papier peint (Capmaths, Hatier)

Confronter les grandeurs aire et périmètre Une conception erronée à ébranler : croire que des figures qui ont le même périmètre ont aussi la même aire ou bien croire que des figures qui ont la même aire ont le même périmètre Polygone 1 Polygone 2 Polygone 3 Périmètre (unité un côté de carreau) 16 Aire (unité un carreau) 11 8 13 Nombre de côtés du polygone 12 6

De la grandeur à sa mesure en passant par une grandeur étalon Exemple de comparaison : deux segments sont à comparer du point de vue de leur longueur : 1°) Comparaison directe en les mettant l’un sur l’autre s’ils sont dessinés sur deux calques ; 2°) Comparaison indirecte : l’un est décalqué pour que sa longueur puisse être comparée à l’autre ; ou bien la longueur de l’un est « prise » avec un compas pour être reportée sur l’autre ; 3°) La longueur d’un troisième segment est prise comme étalon, chacun des segments est comparé à cet étalon, cela permet la comparaison des deux segments.

Quelques éléments théoriques sur les grandeurs Qu’est-ce qu’une grandeur ? Une grandeur est une qualité, une caractéristique d’un objet ; Elle doit permettre des comparaisons : deux objets étant donnés, on peut toujours les comparer du point de vue de cette grandeur : C’est le plus lourd, le plus volumineux, celui qui dure le plus, le plus épais, le plus profond, etc. La grandeur existe indépendamment de toute unité.

Quelques éléments théoriques sur les grandeurs Concevoir une grandeur c’est déjà une démarche d’abstraction : il faut séparer, abstraire la grandeur de son objet support. La grandeur avant sa mesure : Les comparaisons d’objets relativement à une grandeur sont essentielles dans le processus d’apprentissage et de conceptualisation : Soit la comparaison est directe ; Soit la comparaison est indirecte et nécessite un intermédiaire (pour les longueurs : bande de papier, ficelle, compas, etc.) Comparaison directe : taille de deux personnes Comparaison indirecte : taille de deux personnes Toises voir séance IREM Monira http://ig45.free.fr/Enseignants/ Ecole/Doc_Ecole/Balances1.pdf

Quelques éléments théoriques sur les grandeurs La première rencontre avec la notion de grandeur passe par la manipulation d’objets et l’élaboration de protocoles permettant les comparaisons. Document d’accompagnement des programmes de 2002 sur « grandeurs et mesures à l’école élémentaire » : « Les premières activités visent à construire chez les élèves le sens de la grandeur, indépendamment de la mesure et avant que celle-ci n’intervienne. Le concept s’acquiert progressivement en résolvant des problèmes de comparaison, posés à partir de situations vécues par les élèves, suivis de moments d’institutionnalisations organisés par le maître. »

Introduction de la mesure Introduction d’un étalon, d’une référence, c’est-à-dire d’une unité. L’unité est non conventionnelle : un passage nécessaire avant l’introduction du système métrique international.

Introduction de la mesure Fabrication d’une règle avec une unité non conventionnelle : la longueur d’un bâtonnet

Réaliser une règle avec une unité non conventionnelle Est-ce pareil qu’utiliser une règle déjà dessinée avec une unité non conventionnelle ? J’apprends les maths CE1, Retz

Introduction de la mesure « La fabrication d’un instrument de mesure de longueurs soulève la question de sa graduation. Pour graduer une bande de papier, il faut déterminer une origine, lui attribuer le nombre 0, reporter régulièrement une même longueur, appelée unité. Chaque report est en général matérialisé par un trait, chaque trait est affecté d’un nombre entier. » (Document d’accompagnement des programmes de 2002, grandeurs et mesures)

L’introduction des mesures Document d’accompagnement des programmes de 2002 sur « grandeurs et mesures à l’école élémentaire » : « Les élèves doivent donc acquérir des connaissances et des compétences spécifiques relatives à différentes mesures. La construction de ces connaissances s’appuie sur un travail préalable sur les grandeurs auxquelles ces mesures sont associées. »

Introduction de la mesure Document d’accompagnement des programmes de 2002 sur « grandeurs et mesures à l’école élémentaire » : « Il est souvent commode, pour comparer toutes les grandeurs d’un même domaine, de les comparer à une grandeur particulière, bien choisie, dite étalon. On dit alors que l’étalon mesure une unité. Il devient dès lors possible d’associer à chaque grandeur un nombre, appelé sa mesure relativement à cette unité. »

Récapitulatif : une démarche pour les longueurs à suivre pour les autres grandeurs

Exemple de résolution de problème : la gestation des animaux

Résolution de problème : travail relatif à la mesure de longueurs Un groupe d’élèves (A) dessine un triangle sur un papier calque et rédige un message pour un autre groupe qui doit dessiner exactement le même triangle. Le message doit indiquer toutes les mesures de longueurs qui sont nécessaires mais pas plus. Le groupe qui reçoit le message (B) réalise la figure Le groupe A vérifie le dessin du groupe B avec le calque D’autres situations de ce type peuvent être travaillées pour un triangle rectangle, un triangle isocèle, un rectangle, un parallélogramme.