Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Systèmes déquations et matrices Systèmes déquations et matrices

Nous verrons maintenant comment utiliser les matrices dans la résolution dun système déquations linéaires. Introduction Nous présenterons dabord la méthode de Gauss, puis la méthode de Gauss-Jordan.

Un ensemble déquations dont tous les termes sont du premier degré est appelé système déquations linéaires. Mise en situation Considérons les équations suivantes : 1 2 x – 2y = –8 ( 1 ) 3x + 5y = 9 ( 2 ) 1 Pour résoudre le système formé de ces deux équations, éliminons linconnue x dans la deuxième équation. Pour ce faire, multiplions la première équation par –3 : –3x + 6y = 24 3x + 5y = 9 0x + 11y = 33 Additionnons à la deuxième équation : Substituons léquation obtenue à la deuxième équation du système : x – 2y = –8 ( 1 ) 0x + 11y = 33 ( 3 ) 3 La deuxième équation de ce nouveau système donne alors y = 3. {(–2; 3)} Graphiquement, cest le point de ren- contre des droites 1 et 2 et, pour trouver ce point, on a construit léquation dune autre droite 3, passant par le même point et parallèle à laxe horizontal. y = 3 En substituant cette valeur dans la deuxième équation, on trouve x = –2. Lensemble-solution est donc :

Représentation par des matrices Considérons à nouveau le système déquations linéaires : x – 2y = –8 ( 1 ) 3x + 5y = 9 ( 2 ) Grâce au produit de matrices, on peut représenter le système déquations linéaires par une équation matricielle : 1 3 –2 5 –8 9 x y = Dans cette équation matricielle, on a : 1313 –2 5 la matrice des coefficients, également appelée matrice associée au système déquation, la matrice des inconnues, et la matrice des constantes. xyxy –8 9 Tout système déquations linéaires peut se représenter par une équation matricielle.

Représentation par des matrices 1–2–8 359 x – 2y = –8 ( 1 ) 3x + 5y = 9 ( 2 ) On peut également représenter le système déquations linéaires par la matrice augmentée associée au système. Pour résoudre le système déquations linéaires, nous allons effectuer sur les lignes de cette matrice les opérations que nous avons effectuées précédemment sur les équations. Cela donne : 1–2–8 359 L1L1 1–2– L 2 – 3 L1L1 La deuxième ligne de la matrice obtenue donne alors y = 3. En substituant cette valeur dans la première équation, on trouve x = –2. Lensemble-solution du système est alors : {(–2; 3)} Matrice augmentée La procédure consiste, par des opérations sur les lignes, à faire apparaître des zéros sous la diagonale principale pour obtenir la matrice échelonnée.

Exemple Trouver à laide dune matrice augmentée, lintersection des droites : 2x – 5y = –4 ( 1 ) 3x + 4y = 17 ( 2 ) Construisons la matrice augmentée et effectuons les opérations sur les lignes : La deuxième équation donne y = 2 et, en substituant dans la première, on obtient : 2–5– L1L1 2–5– L 2 – 3L 1 Solution 1 2 2x – 10 = –4 Doù x = 3. Lensemble-solution est donc : {(3; 2)} Par conséquent, le point de rencontre est : (3; 2) (3; 2)

Vérification par le produit 2x – 5y = –4 ( 1 ) 3x + 4y = 17 ( 2 ) Grâce au produit de matrices, on peut vérifier quil ny a pas eu derreur de calcul –5 4 xyxy –4 17 = On cherchait xyxy 3232 tel que On a obtenu En multipliant les matrices, on obtient : 2323 –5 4 –4 17 = 3232 Cela confirme que nous avons obtenu la bonne solution.

Exemple Trouver à laide dune matrice augmentée, lintersection des droites : x – 3y = 2 ( 1 ) 2x – 6y = 12 ( 2 ) Construisons la matrice augmentée et effectuons les opérations sur les lignes : La dernière ligne indique que ce système déquation est impossible. On dit également que les équations (contraintes) sont incompatibles. 1–32 2–612 L1L1 1– L 2 – 2L 1 Solution 1 2 Le système na aucune solution et lensemble-solution est vide. Graphiquement, les équations sont représentées par des droites parallèles.

Exemple Trouver à laide dune matrice augmentée, lintersection des droites : x – 3y = 2 ( 1 ) 3x – 9y = 6 ( 2 ) Construisons la matrice augmentée et effectuons les opérations : Il reste moins déquations que din- connues, cela signifie quil y a une infinité de solutions. 1–32 3–96 L1L1 1– L 2 – 3L 1 Solution 1 2 Considérons que la variable y est une variable libre et représentons-la par le paramètre t. En substituant dans la première équation, on a alors x = 2 + 3t. Lensemble-solution est donc : {(x; y) | x = 2 + 3t 3t et y = t}t}

Types de solution, systèmes à deux inconnues Dans un système de deux équations à deux inconnues, on peut rencontrer trois situations après avoir échelonné la matrice. Matrice échelonnée abc 0de Solution unique Types de solution Types de graphique abc 00e abc 000, où a 0 et d 0. Aucune solution, où e 0. Infinité de solutions autant déquations que dinconnues moins déquations que dinconnues message dimpossibilité 0 = e 0

Types de solution, systèmes à deux inconnues Un système déquations non homogène peut, initialement, avoir plus déquations que dinconnues. Ce nest quaprès avoir échelonné, en comparant le nombre déquations et le nombre dinconnues, que lon peut déterminer le type de solution de ce système. Matrice échelonnée Solution unique Types de solution Types de graphique, où a 0 et e 0. Aucune solution, où f 0. Infinité de solutions autant déquations que dinconnues moins déquations que dinconnues message dimpossibilité 0 = e 0 abc def ghi Matrice initiale dun système de trois équations à deux inconnues abc 0ef 000 abc 00f 000 abc

Exercice 1 Résoudre le système déquations ci-contre à laide dune matrice augmentée : x + 2y = –6 ( 1 ) 2x – 3y = 16 ( 2 ) Il reste autant déquations que dinconnues et la deuxième ligne donne y = –4 et, en substituant dans la première, on obtient : 12–6 2–316 L1L1 L 2 – 2L 1 Cliquer pour la solution. 1 2 x – 8 = –6 Doù : x = 2. Lensemble-solution est donc : {(2; –4)} Par conséquent, les trois droites se rencontrent en un même point. (2; –4) 4x + y = 4 ( 3 ) 414 L 3 – 4L 1 12–6 0–728 0–728 L1L1 L2L2 L 3 – L2L2 12–6 0– S

Exercice 2 Résoudre le système déquations ci-contre à laide dune matrice augmentée : x + 2y = –6 ( 1 ) 2x – 3y = –4 ( 2 ) La troisième ligne indique que le système na aucune solution. Les équations sont incompatibles. 12–6 2–3–4 L1L1 L 2 – 2L 1 Cliquer pour la solution. 1 2 Par conséquent, les trois droites ne se rencontrent pas en un même point. S 4x + y = 4 ( 2 ) 414 L 3 – 4L 1 12–6 0– L1L1 L2L2 L 3 – L2L2 12–6 0–

Systèmes déquations linéaires à trois inconnues Résoudre le système déquations linéaires ci- contre à laide dune matrice augmentée. x + 2y – 3z = –3 2x + y – 3z = 6 Construisons la matrice augmentée et effectuons les opérations : Il reste autant déquations que dinconnues, cela signifie quil y a une solution unique et, par substitution, on trouve que cette solution est (2; –7; –3). On peut représenter cette solution par un point dans lespace. Nous étudierons cela plus en détail dans un autre chapitre. 12–3 21 L1L1 L 2 – 2L 1 On procédera de façon analogue pour un système déquations linéaires à trois inconnues. 3x – 2y + 4z = 8 –3 6 3–248 L 3 – 3L 1 12– –81317 L1L1 L 2 /(–3) L3L3 12–3 01–1 –3 –4 0–81317 L1L1 L2L2 L 3 + 8L 2 12–3 01–1 –3 –4 005–15

Types de solution, systèmes à trois inconnues Solution unique SS Lorsquil reste autant déquations que dinconnues après avoir éche- lonné, on a une solution unique. Les trois plans se rencontrent alors en un même point. abcd 0efg 00hi, où h 0. Infinité de solutions Lorsquil reste moins déquations que dinconnues après avoir éche- lonné, on a une infinité de solutions. Les trois plans peuvent être confondus ou avoir une droite comme intersection. abcd 0efg 0000 abcd 0efg 000i Aucune solution Lorsque la matrice échelonnée com- porte une équation impossible, le système na aucune solution., où a 0 et i 0. Deux des plans peuvent être parallèles distincts. Les plans pris deux à deux peuvent se couper selon des droites parallèles distinctes. La représentation graphique dune équation à trois inconnues est un plan dans lespace. Voici quelques cas concernant les systèmes de trois équations à trois inconnues. Un système déquations linéaires à trois inconnues peut, initialement, avoir plus déquations que dinconnues ou moins déquations que dinconnues. Ce nest quaprès avoir échelonné, en comparant le nombre déquations et dinconnues, que lon peut déterminer le type de solution du système.

Quelques notions théoriques Une matrice échelon (ou matrice échelonnée) est une matrice dont le nombre de zéros précédant le premier élément non nul de chaque ligne augmente de ligne en ligne jusquà navoir possiblement que des zéros. Dans une matrice échelon, le premier élément non nul dune ligne est appelé le pivot de cette ligne. DÉFINITION 12–3 01–1 2 –4 005–15 MÉTHODE DE GAUSS Pour résoudre un système déquations linéaires, on construira la matrice augmentée, puis on éliminera les coefficients de x 1 à partir de la deuxième ligne en descendant, puis, si possible, les coefficients de x 2 à partir de la troisième ligne en descendant. On peut alors compléter la résolution par substitution. Cest la méthode de Gauss. Pour obtenir la matrice échelonnée, on effectue des opérations élémentaires sur les lignes. S

Quelques notion théoriques Soit A, une matrice. On appelle opérations élémentaires sur les lignes de A les opérations suivantes : 1. Interchanger la ligne i et la ligne j. Cette opération est notée par : L i L j 2. Multiplier la ligne i par un scalaire non nul. Cette opération est notée par : L i aL i, où a R\{0} 3. Substituer à la ligne i la somme dun multiple non nul de la ligne i et dun multiple de la ligne j. Cette opération est notée par : L i aL i + bL j, où a R\{0} et b R Opérations élémentaires sur les lignes

Matrices équivalentes-lignes Quelques notions théoriques On dit que deux matrices sont équivalentes-lignes si on peut les obtenir lune de lautre par une série dopérations élémentaires sur les lignes. Pour noter léquivalence de matrices, on emploie le symbole. DÉFINITION 12–3 01–1 2 –4 005–15 12– –248

Quelques notions théoriques DÉFINITION x + 3y – 2z + 5u = 0 5x + 3y – 2z + 2u = 0 3x – 5y + 4z – 3u = 0 Système déquations linéaires homogène Un système déquations linéaires est homogène lorsque toutes les constantes b i du système déquations sont nulles. Un système homogène a toujours au moins une solution (0; 0;...; 0), on lappelle la solution triviale. Il peut avoir une infinité de solutions.

Quelques notions théoriques DÉFINITION Variable libre et variable liée Dans un système déquations linéaires, une variable liée est une variable dont la valeur est constante ou dépend dune autre variable. Dans la matrice échelonnée dun système déquations, les variables liées sont généralement les variables associées au pivot de chaque ligne. Les autres variables sont des variables libres. 1–23– –113 xzy u x est une variable liée. z est une variable liée. y est une variable libre. u est une variable libre.

S Exemple S Dans une usine de fabrication de meubles non peints, on cherche à éliminer les pertes de temps en fabriquant trois nouveaux modèles de chaises. Le temps en heures nécessaire à la réalisation dun exemplaire de ces modèles et les temps libres sont indiqués dans le tableau ci-contre. Déterminer combien il faut produire de chaises de chaque modèle pour éliminer les temps morts. Posons x le nombre de chaises du premier modèle (M 1 ), y le nombre de chaises du deuxième modèle (M 2 ) et z le nombre de chaises du troisième modèle (M 3 ). Écrivons les équations de contrainte : x + 2y + 2z = 109 2x + 2y + 3z = 164 3x + 4y + 5z = 273 L1L1 L 2 – 2L L 3 – 3L –2–1 –54 L1L1 L2L2 L 3 – L2L –2–1– –2–1–54 x et y sont des variables liées et z est une variable libre. Doù : x = 55 – t, y = 27 – t/2 et z = t. S –2–1– {(x; y; z) | x = 55 – t, y = 27 – t/2 et z = t} La chaise de type M 3 étant la plus chère à cause de son temps de réalisation, la demande pour ce modèle est assez faible et on prévoit ne pouvoir en vendre plus de 10 par mois. En tenant compte de ces contraintes de marché, déterminer les solutions au problème et les représenter sous forme de tableau. Puisque y = 27 – t/2, t doit être un nombre pair pour produire un nombre entier de chaises. S Cette contrainte impose 0 t 10. De plus, il faut que t soit un nombre pair. La direction a donc le choix entre plusieurs solutions donnant un nombre entier de chaises par mois. Ce sont les solutions compilées dans le tableau ci- contre.

Méthode de Gauss-Jordan Par la méthode de résolution de Gauss-Jordan, on détermine la matrice échelonnée réduite, définie de la façon suivante. DÉFINITION Une matrice échelonnée réduite est une matrice dont : le pivot de chaque ligne de la matrice des coefficients est 1; le pivot est le seul élément non nul de la colonne où il se trouve. Par la méthode de Gauss-Jordan, les substitutions à rebours sont faites par des opérations de lignes et on lit directement la solution dans la matrice. En utilisant cette méthode, on peut facilement décrire toutes les manipulations pour les faire effectuer sur ordinateur.

Exemple Résoudre le système déquations ci-contre par la méthode de Gauss-Jordan. x + 2y – 3z = –7 2x – 3y + 5z = 18 4x + y – 2z = 24 L1L1 L 2 – 2L 1 2– –224 L 3 – 4L 1 7L 1 + 2L 2 L2L2 L 3 – L2L2 12–3– – –3– – L1 L1 + L3L3 L L 3 L3L3 0– – L1 L1 /7 L 2 /(–7) L 3 /(–1) 010–36 001– Lensemble-solution est : {(5; –36; –20)}

Exercice Résoudre le système déquations ci-contre par la méthode de Gauss-Jordan. x + 2y – z = 14 2x + 5y – 4z = 33 3x + 7y – 5z = 47 L1L1 L 2 – 2L 1 25–433 37–547 L 3 – 3L 1 L1 L1 – 2L 2 L2L2 L 3 – L2L2 12–114 01– –114 01– Lensemble-solution est : {(x; y; z)| x = 4 – 3t, y = 5 + 2t, z = t}. Sur la première ligne, le premier élément non nul est dans la colonne de x, cette variable est liée. Sur la deuxième ligne, le premier élément non nul est dans la colonne de y, cette variable est liée. La variable z est libre. S S S

Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, section 2.2, p. 36 à 39, section 2.4 no. 1. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences humaines, section 2.2, p. p. 36 à 39, section 2.4 no. 1.. Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, section 2.1, p. 28 à 36. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences humaines, section 2.1, p. 28 à 36.