Lectures Volume du cours : Chapitre 7 Volume recommandé: "Statistique en gestion et en économie", Martel et Nadeau, 4.1, 4.2, 4.3 et pages 179-183

Exemple: U-Réussite L’université U-Réussite reçoit 7,000 applications par année provenant d’éventuels étudiants. Le formulaire de demande d’admission inclut le score d’un test d’aptitude (SAT) ainsi que l’information sur le lieu de résidence de l’étudiant. Le directeur des admissions aimerait avoir une idée : du score moyen SAT des postulants, et de la proportion des postulants qui sont résidents de la province? Il y a deux façons d’obtenir cette information.

Exemple: U-Réussite Option #1: effectuer un recensement des 7,000 postulants Scores SAT Moyenne de la population Écart-type de la population Les postulants résidants de la province Proportion de la population

Exemple: U-Réussite Option #2: Prendre un échantillon de 50 postulants Données obtenues d’un échantillon aléatoire simple de 50 postulants No. Postulant Score Résidant 1 Connie Reight 1025 Oui 2 Willie Haggard 950 Oui 3 Fannie Lennox 1090 Non 4 Eric Pacman 1120 Oui 5 Winona Jiver 1015 Oui . . . . 50 Kevin Costmore 965 Non Total 49,850 34 Oui

L’inférence statistique Le but de l’analyse statistique est d’apporter de l’information sur des phénomènes insuffisamment connus tirer des conclusions ou prendre des décisions plus éclairées Analyse d’une masse de données numériques concernant le phénomène étudié résultat de l’observation d’une partie de la population concernée Avec de bonnes méthodes d’échantillonnage, les résultats provenant d’un échantillon fourniront une “bonne” estimation des caractéristiques de la population

L’inférence statistique L’inférence regroupe l’ensemble des méthodes qui, à partir d’un échantillon prélevé de la population, permettent de tirer des conclusions soit sur les paramètres d’une variable étudiée dans cette population, soit sur la distribution ou tout autre aspect de cette variable. Deux grandes parties composent l’inférence statistique : L’estimation de paramètres Les tests d’hypothèses

L’estimation ponctuelle Estimer un paramètre, une moyenne (m), une variance (s2), une proportion (p) etc., c’est chercher une valeur approchée en se basant sur les résultats d’un échantillon. Lorsqu'une caractéristique d'une population (un paramètre) est estimée par un seul nombre déduit des résultats de l’échantillon, ce nombre est appelé une estimation ponctuelle du paramètre. C'est une variable statistique

Exemple: U-Réussite Estimations ponctuelles comme estimateur ponctuel de  s comme estimateur ponctuel de  comme estimateur ponctuel de p Note: D’autres nombres aléatoires auraient identifié d’autres postulants

Rappel - paramètres d'une population Moyenne de la variable aléatoire X, valeur espérée de X, espérance de X, m(X), mX signifient la même chose. On peut aussi simplement écrire m s’il y a seulement une variable aléatoire X Variance de la variable aléatoire X, Var(X), s2X, s2(X) signifient la même chose. On peut aussi simplement écrire s2 s’il y a seulement une variable aléatoire X L’écart-type s (X) ou sX est la racine carrée de la variance. On peut aussi simplement écrire s s’il y a seulement une variable aléatoire X

L’inférence statistique Terminologie : Statistique : Toute mesure (caractéristique) calculée à partir des données provenant d’un échantillon, e.g. : Moyenne, écart-type, proportion de l’échantillon Paramètre : Toute mesure (caractéristique) calculée à partir de l’ensemble des données d’une population, e.g. : m, s, p Moyenne, écart-type, proportion de la population

L’estimation ponctuelle Dans l’estimation ponctuelle on utilise les données de l’échantillon afin de calculer une valeur d’une statistique de l’échantillon qui sert d’estimation du paramètre de la population On dit que est l’estimateur ponctuel de la moyenne de la population . s est l’estimateur ponctuel de l’écart-type de la population . est l’estimateur ponctuel de la proportion de population p.

L’inférence statistique Raisons pour faire un échantillonnage au lieu d’un recensement : Lorsque la population est très grande Par souci d’économie Si le test est destructif Obtenir de l’information rapidement

L’inférence statistique Si on considère le processus de choisir un échantillon aléatoire comme une expérience aléatoire, les statistiques sont des descriptions numériques de résultats d'expérience. sont donc des variables aléatoires Excel: estimation.xls

La moyenne d’un échantillon aléatoire étant une variable aléatoire, on peut alors parler de distribution de probabilité et de valeurs caractéristiques de cette v.a. La distribution d’échantillonnage de est la distribution de probabilité de toutes les valeurs possibles des moyennes d’échantillons

Distribution d’échantillonnage Comme toute variable aléatoire, la statistique a une valeur espérée, un écart-type et une distribution de probabilité La distribution d’échantillonnage est la distribution de probabilité d’une statistique. La distribution d’échantillonnage peut fournir des informations probabilistes sur l’écart entre la statistique calculée à partir de l’échantillon et la valeur réelle du paramètre de la population m

Paramètre de la distribution d'échantillonnage de L'espérance E( ) = = m où m est la moyenne de la population La variance : VAR ( ) = s2 / n (population infinie) VAR ( ) = (population finie) où s2 est la variance de la population Une population finie est considérée comme infinie si n/N < 0,05. est le facteur de correction à utiliser si n/N > 0,05

Théorème central limite En sélectionnant à partir d’une population, des échantillons aléatoires simples de taille n, la distribution d’échantillonnage de la moyenne d’échantillon peut être approchée par une distribution de probabilité normale, lorsque la taille de l’échantillon devient importante.

Distribution d’échantillonnage de Lorsque la variance de la population est connue et que l’échantillon prélevé est grand (n  30), alors grâce au théorème central limite: Ceci est aussi vrai lorsque l'échantillon est petit et que la variable aléatoire X suit une loi normale

Distribution d’échantillonnage de Exemple : X = taille n = 25 observations Quelle est la probabilité que la taille moyenne de l’échantillon soit supérieure à 172 cm ?

Distribution d’échantillonnage de Lorsque la variance de la population est inconnue et que l’échantillon prélevé est grand (n  30), alors grâce au théorème central limite:

Distribution d’échantillonnage de Exemple : n = 400 observations d'une variable aléatoire X Quelle est la probabilité que la moyenne de l’échantillon soit supérieure à 10,25, si la moyenne E(X) =10 et la variance échantillonnale est 4?

Example: U-Réussite Paramètres de la population: scores Proportion de résidants dans la population

Exemple: U-Réussite La distribution échantillonnale de pour les scores SAT

Exemple: U-Réussite La distribution échantillonnale de pour les scores SAT Quelle est la probabilité qu’un échantillon aléatoire simple de 50 postulants fournira une estimation du score SAT moyen dans un intervalle de plus ou moins 10 de la vraie valeur  ? En d’autres termes quelle est la probabilité que soit entre 980 et 1000? Distribution normale puisque la taille de l’échantillon est plus grande que 30 et que l’écart-type de la population est connu P(980≤ ≤1000) On définit Z la variable normale centrée réduite

Exemple: U-Réussite 1000 980 990 Aire = 0,3106 0,88 -0,88 P(-0,88≤Z ≤0,88) À l’aide de la table de probabilité pour la loi normale centrée réduite on obtient: z = 10/11,3 = 0,88, on a une surface = (0,3106)(2) = 0,6212 La distribution échantillonnale de 1000 980 990 Aire = 0,3106 0,88 -0,88

La distribution d’échantillonnage de La distribution échantillonnale de est la distribution de toutes les valeurs possibles des proportions échantillonnales Espérance de où: p = est la proportion de la population

Distribution d’échantillonnage de Écart-type de Population Finie Population infinie est l’écart-type de la proportion estimée si n/N ≤0,05 On utilise la formule de la population infnie (plus grande variance)

Distribution d’échantillonnage de Cas spécial : la distribution d'échantillonnage de d’un échantillon de taille n > 30 suit (approximativement) une distribution Normale Si X prend seulement la valeur 1 ou 0

Exemple: U-Réussite Distribution d’échantillonnage pour les résidants de la province

Exemple: U-Réussite Distribution d’échantillonnage pour les résidants de la province Quelle est la probabilité qu’un échantillon aléatoire simple de 50 postulants fournira une estimation de la proportion des postulants qui est à plus ou moins 0,05 de la vraie proportion? C’est-à-dire quelle est la probabilité que soit entre 0,67 et 0,77? P(0,67≤ ≤0,77) On définit Z la variable normale centrée réduite

Exemple: U-Réussite Distribution d’échantillonnage des résidants de la province P(-0,79≤Z ≤0,79) Pour z = 0,05/0,0635 = 0,79, la surface = (0,2852)(2) = 0,5704. La probabilité est de 0,5704 que la proportion de l’échantillon sera à l’intérieur de +/-0,05 de la proportion de la population 0,77 0,67 0,72 Surface = 0,2852 0,79 -0,79

Exemple p = 0,8 (proportion de Canadiens satisfaits du libre échange) n = 100 personnes interrogées Quelle est la probabilité que la proportion des personnes interrogées satisfaites du libre échange soit supérieure ou égale à 0,9 ? n/N plus petit que 0,05, population infinie suit une loi Normale de moyenne 0,8 et écart-type 0,04

Exemple Pour estimer l’âge moyen d’une population de 4000 employés, un échantillon aléatoire de 40 employés est sélectionné. Quelle est la probabilité que l’âge moyen des employés de l’échantillon soit compris entre l’âge moyen de la population  2 si l’on sait que l’écart type de la population est de 8,2 ans? Rép. 0,8764

Exemple Les revenus annuels des jeunes cadres d’une grande entreprise sont distribués normalement avec un écart type de 800$. S’il y a 10,2% des chances pour que la moyenne d’un échantillon aléatoire de 25 de ces revenus annuels soit inférieure à 25 000 $, quel est le revenu annuel moyen de cette population de jeunes cadres ? Rép. 25203,2

Distribution d’échantillonnage de Si la variance de la population est inconnue, si la variable X suit une distribution Normale, et si la taille de l’échantillon est petite (n<30), on utilise la statistique suivante : qui suit la distribution du t (de Student) à n-1 degrés de liberté et qui ressemble à la distribution Normale.

La distribution du t (de Student) Une distribution du t dépend d’un paramètre appelé degrés de liberté et dénoté n : t(x) Plus le nombre de degrés de liberté est grand, plus la différence entre la distribution du t et la distribution nomale centrale réduite diminue Une distribution du t avec plus de degrés de liberté a moins de dispersion. La moyenne de la distribution du t est zéro et sa variance est (n/(n-2))

La distribution du t de Student

The Student distribution Valeur de t: Table 2 dans le livre Valeur de t value à 9 degrés de liberté. Dans la table, nous trouvons que pour t = 2.262 la probabilité est 0,025.

La distribution de t de Student Exemple. Pour estimer le montant hebdomadaire moyen dépensé par les familles de 4 personnes pour leur épicerie, on tire un échantillon aléatoire de 25 personnes. On suppose que les montants dépensés sont distribués normalement avec une moyenne m = 120 $ et une variance inconnue. Si la variance de l'échantillon de taille 25 est s2 = 36, calculer la probabilité que la moyenne de l'échantillon soit supérieure ou égale à 123 $. Statistique T

Résumé des distributions d’échantillonnage de Si n est grand (plus grand que 30), alors suit une loi Normale et: Si la valeur de s est connue alors: Si la valeur de s est inconnue alors: Si n est petit (plus petit que 30), et X suit une loi normale, et:

Erreur d’échantillonnage En généralisant à toute la population l’information partielle obtenue d’un échantillon, on introduit une erreur plus ou moins grande appelée “erreur échantillonnale” La grandeur de cette erreur dépend de la taille d’échantillon et aussi de la façon dont il est tiré L’échantillon devrait être représentatif Plusieurs façons de s’assurer de la représentativité

Erreur d’échantillonnage La différence absolue entre un estimateur ponctuel non-biaisé et le paramètre de la population correspondant est appelée erreur d’échantillonnage C’est le résultat de l’utilisation d’un sous-ensemble de la population (échantillon) au lieu de toute la population pour obtenir des estimations des valeurs de paramètres Les erreurs d’échantillonnage sont: pour la moyenne échantillonnale |s - s | pour l’écart type échantillonnal pour la proportion échantillonnale

Méthodes d’échantillonnage Échantillonnage aléatoire simple Échantillonnage systématique Échantillonnage aléatoire stratifié Échantilonnage par grappes

Échantillon aléatoire simple Population finie Un échantillon aléatoire simple d’une population finie de taille N est un échantillon sélectionné tel que chaque échantillon possible de taille n a une probabilité égale d’être sélectionné Si on replace chaque élément de l’échantillon afin de sélectionner les éléments subséquents, on parle d’échantillonnage avec remise L’échantillonnage sans remise est la procédure la plus couramment utilisée Dans les projets d’échantillonnage, on utilise des nombre aléatoires générés par ordinateur afin de guider le processus de sélection

Échantillon aléatoire simple Population infinie Un échantillon aléatoire simple d’une population infinie est un échantillon choisi tel que: Chaque élément sélectionné provient de la même population Chaque élément est sélectionné de manière indépendante Une population est considérée infinie si elle concerne un processus continu où il est impossible d’énumérer tous les éléments e.g. clients arrivant à un restaurant La procédure de sélection par nombre aléatoire ne peut pas être utilisée pour les populations infinies Il faut alors concevoir des procédures d’échantillonnage

Échantillon systématique Méthode utilisée seulement si les unités de la population sont déjà classées dans un certain ordre. Si coûteux de sélectionner un échantillon aléatoire On choisit les unités dans la population à des intervalles fixes selon le temps, l’espace ou l’ordre d’occurrence. On sélectionne par exemple au hasard le 1er, et ensuite d’une façon systématique le 101e, 201e, 301e etc.

Échantillon stratifié La méthode consiste à subdiviser la population en sous-groupes relativement homogènes appelés «strates» . Par la suite, on tire de chaque strate un échantillon aléatoire simple; le regroupement de tous ces échantillons partiels constitue l’échantillon de taille n désiré. Approprié lorsque les éléments d’une strate sont semblables, e.g. un âge, un lieu, etc.

Échantillon par grappes Il faut d’abord subdiviser la population en sous-groupes appelés «grappes», chacune représentative de la population; On tire ensuite un échantillon aléatoire de grappes et on observe tous les individus faisant partie des grappes sélectionnées. Une grappe fournit une représentation à petite échelle de la population Les éléments d’une grappe sont ne sont pas semblables, e.g. quartier d’une ville Taille d’échantillon plus grande Grappe 4 Grappe 1 Grappe 3 Grappe 2

Autres méthodes d’échantillonnage Échantillonnage non-aléatoire : l'analyse utilise son expérience et ses connaissances pour choisir des éléments de la population L’échantillonnage de commodité Étudiants volontaires L’échantillonnage subjectif Personne choisit selon son jugement Un journaliste choisit 3 ou 4 députés à interviewer

Exemple Soit X la variable représentant le montant hebdomadaire pour l’épicerie dans une famille de 4 personnes. X  N( 280, s2) n = 16 familles s2 = 225 P(  285 $) = 0,1

Exemple On a obtenu d'un échantillon aléatoire de 35 familles de 4 personnes, l'information suivante concernant les dépenses hebdomadaires en alimentation (que l'on suppose normalement distribuées) : Quelle est approximativement la probabilité que la moyenne de l'échantillon de 35 observations soit comprise dans l'intervalle (248,75 , 256,00 ) si l'on suppose que la dépense hebdomadaire moyenne (dans la population) est m = 250 $ ? Rép. 0,7622 Quelle est approximativement la probabilité que la proportion échantillonnale d'un échantillon aléatoire de 50 familles de 4 personnes consacrant au moins 250 $ par semaine pour l'alimentation soit comprise entre 0,4 et 0,65, sachant que les trois quartiles de la distribution des dépenses hebdomadaires pour l'ensemble des familles de 4 personnes sont de 200 $, 250 $ et 300 $ respectivement ? Avant de répondre à cette question, donnez d’abord la distribution d’échantillonnage de cette statistique, ainsi que ses paramètres. Rép. 0,90 où