04/09/2002école d'été du GRGS1 LES EQUATIONS VARIATIONNELLLES Jean-Charles MARTY CNES/GRGS

04/09/2002école d'été du GRGS2 Équation du mouvement: En fait on a: t: temps Est intégrée numériquement (GINS: Cowell ) Avec à t= t 0 : Conditions initiales Avec : Avec les paramètres du modèle dont dépendent les forces (ex: coeff. de traînée, coeff. de pression de radiation solaire, coeff. du champ de gravité…) (1)

04/09/2002école d'été du GRGS3 On réalise des mesures Q que lon peut écrire: Erreur commise sur chaque mesure (inconnue) Conditions initiales Coeff. dynamiques Coeff. dépendant des mesures (biais de distance, de datation, dhorloges ambiguïtés de phase, correction troposphérique...) On linéarise autour des valeurs nominales de et on écrit: (2)

04/09/2002école d'été du GRGS4 - pour : expression directe de - pour : on doit écrire: : expression directe Il reste à calculer les et pour ce faire, on dérive léquation (1) par rapport à (3) Ce sont les équations aux variations

04/09/2002école d'été du GRGS5 Avec à t=t 0 : - si : paramètres dynamiques - si : les conditions initiales, on a: Si D=I 6 Si D est la Jacobienne

04/09/2002école d'été du GRGS6 Les équations aux variations sont donc à intégrer en parallèle avec l équation du mouvement Problème: En général les dérivées partielles varient beaucoup moins vite que On devrait utiliser un pas d intégration plus grand ou un intégrateur d ordre moins élevé Mais difficulté d implémentation Mais difficulté d implémentation Donc en général on choisit d intégrer les équations aux variations avec le même intégrateur que pour (1)

04/09/2002école d'été du GRGS7 AUTRE METHODE: on peut réécrire les équations aux variations par rapport aux conditions initiales : (4) La solution générale est de la forme:

04/09/2002école d'été du GRGS8 Le système (4) se réécrit: Matrices (3,6) Matrices (3,3)

04/09/2002école d'été du GRGS9 Cest-à-dire: On peut écrire à partir de (5):

04/09/2002école d'été du GRGS10 Pour les équations aux variations par rapport aux paramètres dynamiques (avec ), on pose: Et cela donne:

04/09/2002école d'été du GRGS11 Cest une équation différentielle du 1er ordre quon peut aisément intégrer en utilisant les résultats de lintégration numérique des équations aux variations par rapport aux paramètres initiaux pour construire

04/09/2002école d'été du GRGS12 Remarque 1: si J 0 est la jacobienne de passage (6x6) au point de départ En multipliant l équation(7) par on obtient: Même forme que le système (7)

04/09/2002école d'été du GRGS13 Remarque 2: Cas dune variable indépendante autre que le temps ( régularisation)

04/09/2002école d'été du GRGS14 Si on repart des équations aux variations par rapport aux conditions initiales (3), en posant:

04/09/2002école d'été du GRGS15 On intègre donc cette équation en même temps que l équation du temps et l équation de la dynamique. Pour les paramètres dynamiques on a:

04/09/2002école d'été du GRGS16 LES FORCES STOCHASTIQUES Les paramètres ajustés sont généralement considérés comme linéairement indépendants. On a aussi la possibilité de prendre en compte des forces « stochastiques » introduites: - sur tout l arc avec une période donnée - au moment des manœuvres - au moment des éclipses Ces forces sont supposées linéaires sur les intervalles de discrétisation.

04/09/2002école d'été du GRGS17 Si on discrétise en, les forces stochastiques sont alors de la forme: i=1,2,3 les axes du repère choisi C i : processus de Gauss Markov dordre 1 Ces forces sont prises linéaires par morceaux c.a.d: Les forces stochastiques sont corrélées deux à deux et leur équation dévolution est:

04/09/2002école d'été du GRGS18 Les seront pris en compte sous forme de coefficient multiplicatif des termes rajoutés à la matrice normale globale L équation dévolution s écrit donc: C est-à-dire A.F=0 et l équation normale relative aux corrélations entre les forces stochastiques s écrit:

04/09/2002école d'été du GRGS19 Cette équation sera ajoutée à la matrice normale et chaque terme sera multiplié par cov(η j ) qui vaut: Avec la variance choisie