Methods in non perturbative QCD ECOLE PREDOCTORALE REGIONALE DE PHYSIQUE SUBATOMIQUE Annecy, 14-18 septembre 2009 Non-perturbatives methods (brief list) Lattice QCD, principles and computation methods Predictions: nucleon physics, etc. Computers http://www.th.u-psud.fr/page_perso/Pene/Ecole_predoctorale/index.html

Methods in non perturbative QCD A pannel of methods from simple to complex, from half-qualitative to rigorous, covering various application domains. Quark models, not derivable from QCD except, partly, if quarks are heavy : b, c, NRQCD, or for high energy hadrons (light front). Effective theories: chiral theory (low energy and light quarks), rigorous in this restricted domain. Heavy quarks effective theory (and soft colinear effective theory), rigorous in their restricted domain. QCD sum rules, based on quark-hadron duality, on operator product expansion and on the assumption of the existence of “vacuum condensates”. An expansion in inverse powers of the energy, starting from perturbative QCD.

Chiral symmetry m2  mu+md An exact symmetry of the Lagrangian when the quark masses vanish. But spontaneously broken (the ground state, i.e. the vacuum, is not invariant for that symmetry). Example ferro-magnetism Nambu-Goldstone theorem: If a symmetry is spontaneously broken, there exists massless particles, corresponding to excitations between degenerate « vacua ». Pions are explained as «  pseudo-Goldstone » bosons, being massive (but light) because mu, md are small but non-zero. Therefore chiral symmetry is only an approximate symmetry of QCD. There exists an effective theory describing the dynamics of pions according to that symmetry. This theory is valid for low energy pions. m2  mu+md

Lattice QCD Transformation de jauge: q(x)g(x)q(x) A field configuration {U}is a set of SU(3) matrices U(x) one per link. a is the length of the link, ≤ 0.1 fm The quarks on the sites The spatial volume > (2 - 3 fm)3 Lattice of 323x64(time): 8 106 matrices U(x); 150 106 real numbers. There exists many different actions, converging towards QCD when a0, with converging predictions for physics.

LATTICE QCD +: rigorous method, as many parameters than in QCD (nf+1), controle of statistical errors and of systematic uncertainties, wide domain of application (perturbative and non perturbative), very rich pannel of applications. Ken Wilson -: Heavy numerical methode, limited to systems with few particles, limited accuracy.

Wilson action for gluons There exists several actions for the gauge (gluon) fields. The first one was Wilson’s action: Wilson action for gluons

There exists many more actions for the quarks fields. Quark Action Reminder - q(x)Mf(x,y)q(y) is the discretised Dirac operator, matrix 12Nx12N Reminder of Dirac operator in the continuum: Mf(x,y)= i  [ij(x+ x-a - i g0 ∑aaij Aa] - mij; i,j =1,3 It depends on gluon fields Reminder: Integrating the quarks fields gives fDet[Mf({U})], Mf depending on the field configuration {U} On the lattice, the most important possible discretization of Dirac operator Naive quarks (but 16 quarks instead of 1) Wilson quarks (but strong breaking of chiral symmetry) Staggered (Kogut Susskind) (but the continuum limit is controversial) Domain Wall (good chiral beheaviour - costly) Overlap (Neuberger) (very good chiral beheaviour - costly) etc The quark propagator from x to y is the inverse matrix : S(x,y)=Mf-1(x,y) Inversion in the space of lattice sites  color space  spin space: dim 12N

Computed via the Monte-Carlo method. QCD path integral: ∫DU exp[ (-6/g2) SG[U]]fDet[Mf] O / ∫exp[ (-6/g2) SG[U]]fDet[Mf] Computed via the Monte-Carlo method. If we wish to compute gauge invariant quantities on does not need to fix the gauge, one integrates over all U(x),s i.e. over all gauges e-SG[U]*fermionic déterminants. Indeed the volume of the gauge group is finite: Vol[SU(3)]N (N= # of sites)

How to compute physical quantities ? What to compute ? Vacuum expectation : typically one operator creates the physical state under consideration, then interactions of that state, then an annihilator : < A(z) C(x)>; < A(z) J(y) C(x)> What formula to use ? Path integral How to make it calculable ? Switching to imaginary time How to compute huge integrals ? Monte-Carlo method How to compute the mass of an object once its propagator known ? The effective mass plateau

Monte-Carlo method dUexp[ (-6/g2) SG[U]]fDet[Mf ] O ___________________________________________________________ dUexp[ (-6/g2) SG[U]]fDet[Mf]  1/Nech ∑i O[Ui] Where the sample of U fields configuration is produced randomly according to the above-mentioned probability law. Some algorithm creates a configuration #=n+1 starting from the #=n. Then Metropolis criterium. Risk: too low acceptance. The random production has to be such as produce field configurations with a not too low probability: some algorithm which approximately preserves probability

Example: nucléon propagator dUexp[ (-6/g2) SG[U]]fDet[Mf] O/Z ; Z= dUexp[ (-6/g2) S[U]] où S[U] = SG[U] + TR{log [Mf]} __ exp[ (-6/g2) SG[U]]fDet[Mf] N(x)N(y) G.Schierholz fDet[Mf] _ <N N> SG[U]]

Na(x)Na(ydUexp[ (-6/g2) SG[U]]fDet[Mf] Na(x)Na(y) /Z Z= dUexp[ (-6/g2) SG[U]]fDet[Mf] __ i creates a nucleon and resonances N* annihilates the nucleon and resonances N* This is an interpolating field for the nucleon C=i 20 ∑n |n><n|=1 For large tx, only the state with minimale energy contributes. The exponential slope E0 of G2 at large time yields the energy of a nucleon of momentum p

One sees that the nucléon is isolated after a time of ~ 0.5-1. fm/c In practice, we compute the average, over the sample of gauge configurations, of the product of three quark propagators computed in the background of these gauge configurations.The three quark propagators spin-color indices are combined according to the combination of quark fields in the nucleon interpolating fields. ETMC collaboration For every configuration of the random sample, we compute the quark propagator. We then combine three propagators with c the tensors ijk et C 5 (cf preceding) The propagateur of a quark from x to y is the inverse matrix: S(x,y)=Mf-1(x,y) Inversion in the espace of sites, colors and spins One sees that the nucléon is isolated after a time of ~ 0.5-1. fm/c Nf=2 twisted quarks a=0.0087 fm M(tx)=Log[G2(tx)/G2(tx+a)]

ETMC collaboration Grenoble, V.Drach, La masse du pion Sert à estimer la masse des quarks Légers : m2  mq formule de fit: Quatre quarks dynamiques (de la mer): u,d,s,c

Comparison of different lattice results

l  Les pions meurent aussi La valeur de f dépend de la Le taux de désintégration  est proportionnel à des facteurs connus multipliés par une constante f2 qui dépend de l’interaction forte. La valeur de f dépend de la masse des quarks u et d selon une loi connue la «théorie effective chirale » valable quand Les masses des quarks sont suffisamment petites l .L’accord avec cette loi est montré dans ce diagramme à condition D’exclure le point le plus lourd. De ce résultat et à partir de la valeur expérimentale du taux  on en déduit la valeur de la maille du réseau a=0.0855 fm a est la longueur de la maille élémentaire du réseau. fPS est la constante pour un méson PS semblable au  mais avec des quarks plus lourds

L’étrangeté Moi, j'ai dit 'bizarre, bizarre'? Comme c'est étrange. Pourquoi aurais-je dit 'bizarre, bizarre'?

Strange baryons Vincent Drach, Grenoble

Comparison of different lattice results

Un facteur en forme Et maintenant Des facteurs de forme

olivier pene 2004 : Nucleon form factors Pour calculer le facteur de forme (FF) d’un courant on utilise une fonction de Green à trois points: champ interpolant qui crée le nucléon, le courant dont on cherche le FF et le champ interpolant qui annihile. Japon: CP-PACS et JLQCD

For nucleons, there are two independent Lorentz scalar functions of q2 defining the form factor. We can use F1, F2 or GE, GM

C. Alexandrou », lat09 (ETMC)

Distribution de partons ou Fonctions de structure Les partons sont les composants du hadron: les quarks de valence, les quarks de la mer, les gluons. On les mesure en cassant le hadron avec un photon très virtuel (-q2 grand) Plus (-q2) est grand et plus l’énergie du Photon/hadron (dépend du repère) est grande, plus on voit des structures fines, plus on voit de partons. Plaçons nous dans un repère où q0=0 et le hadron se déplace très vite. L’énergie du hadron est la somme des énergies des partons. On notera <xu> (<xd>) la fraction moyenne de cette énergie portée par les quarks u (d).

Fraction de l’énergie du pion portée par un quark (Z.Liu, lat07, ETMC) S’exprime en terme de « fonctions de distribution des quarks » fi(x,q2) donnant la probabilité pour le quark i d’avoir la fraction x de l’énergie du hadron; ∫01 dx fi(x ,q2) = 1 <xi>= ∫01 dx x fi(x ,q2) Théorème optique: Attention au double sens de x !! L’évolution de <x> en fonction de q2 est donnée par la QCD perturbative (cf P.A.). Sa valeur est non perturbative

Fraction de l’énergie du nucléon portée par un quark (Pierre-Antoine Harraud, Grenoble, ETMC)

<x>u-d <x>u-d

Recent Progress in Lattice QCD Thermodynamics Recent progress in lattice QCD at finite density A New Computational Approach to Lattice Quantum Field Theories Rotor Spectra, Berry Phases, and Monopole Fields: from Antiferromagnets to QCD New lessons from the nucleon mass, lattice QCD and heavy baryon chiral perturbation theory Overview of nucleon structure studies Investigations of hadron structure on the lattice Hadronic interactions and nuclear physics Exploring Excited Hadrons Status of Dynamical Fermion Simulations Physics results from dynamical overlap fermion simulations "Ask not what the extra dimension can do for you..." (or the successes and challenges of AdS/QCD) Recent algorithm and machine developments for lattice QCD Heavy flavour phenomenology from lattice QCD Kaon Physics: A Lattice Perspective Heavy Ions at RHIC: an Experimental Cornucopia Energy-momentum tensor correlators and viscosity PACS-CS results for 2+1 flavor lattice QCD simulation on and off the physical point Making use of the International Lattice Data Grid Lattice QCD and New Physics searches: present and future New Strong Interactions for the LHC Large N Nuclear effective field theory on the lattice

# 2001 : l'odyssée de l'espace # Titre original : 2001: A Space Odyssey # Réalisation : Stanley Kubrick Ordinateur HAL9000

Fabuleuse puissance de calcul nécessaire Considérons la production d’un échantillon Monte-Carlo nécessaire dans le cas où nous considérons dans le vide des fluctuations de deux quarks légers (u et d) de même masse et deux quarks lourds (s et c) de masses différentes, proches des masses physiques Pour fixer les idées, estimons le temps de calcul nécessaire pour produire, pour une maille typique, un échantillon de 5000 configurations pour 5 valeurs de la masse des quarks légers. Pour un réseau 243x48: environ 15 mois sur un ordinateur de 1 Tflop soutenu c’est à dire 6 ans sur une armoire apeNEXT (512 processeurs); = 4 mois sur une armoire Bluegene/P (4096 cœurs). Pour un réseau 323x48: environ 4 ans/(Tflop soutenu) c’est à dire un an sur une armoire Bluegene/P Sur un réseau 483x96: environ 20 ans/(Tflop soutenu) c’est à dire 5 ans sur une armoire Bluegene/P

apeNEXT: le centre de calcul de Rome

Blue Gene P (IBM) un ordinateur issu de la QCD (QCDOC)

The last word Our quest to understand the force that holds atomic nuclei together has turned out to be a glorious adventure. Along the way we have found quarks, the coloured gluons that mediate the strong nuclear force, and a wonderful theory — quantum chromodynamics, or QCD…… (Nature 445, jan 2007, p. 156) Lattice QCD has been an essential ingredient in this ferment… (Nucl.Phys.Proc.Suppl.119:3-12,2003) Frank Wilczek prix Nobel 2004

Physique du kaon, étrange étrangeté cf Juetner, la07 - d5s

Expérience: nucl-ex/01111010 LQCD:QCDSF/UKQCD Hep-lat/0609001:

La soupe d’Alice (CERN)

l’ Notons Z(V,T) l’intégale de chemin. La pression p = -f La densité d’énergie L’entropie La vitesse du son Karsch lat07

Restauration de la symmétrie chirale Karsch lat07

Diagramme de phase un peu compliqué

Avec densité baryonique finie, c’est plus compliqué: L’intégrand de l’intégrale de chemin n’est plus une fonction positive !! On ne peut plus l’interpréter comme une fonction de probabilité. Il faut ruser, ils ont rusé. Owe Philipsen, lat05, Nf=4

Modèle des quarks Si les quarks sont de même saveur Le modèle des quarks ne peut se déduire de la qcd que pour les quarks lourds. Il donne pourtant une description semi-quantitative étonnante même pour les quarks légers. Il est en particulier très utile pour la description du spectres des excitations hadroniques (résonances)

Particle data group:

Dans le modèle des quarks stricte les seuls hadrons sont les baryons, qqq, et les mésons qq on appelle exotiques les autres singlets de couleur: hybrides (qqg), les multiquarks, (qqqq, qqqqqq) - - - - - Plusieurs candidats récents, du genre charmonium (cc?) : le X(3872) de BABAR Y(4260) de BABAR, … -

Dualité quark-hadrons et règles de somme de QCD à la SVZ Shifman, hep-ph/0009131

(q2) Le développement de Wilson prédit Rappel (q2) Le développement de Wilson prédit Il existe une relation de dispersion, exacte: Im((q2)) est donné par l’expérience: L’idée de SVZ: exploiter la relation approchée: Le membre de gauche est donné par la théorie Des perturbations corrigée par les condensats, Le membre de droite contient les résonances, Il est non-perturbatif

Exemple historique: on réduit le spectre hadronique au seul  On s’intéresse surtout au bas du spectre, premières résonances,  Pour cela on effectue une « transformation de Borel » Définie par La relation de dispersion devient alors Exemple historique: on réduit le spectre hadronique au seul  Depuis la technique a connue De nombreux progrès Cette méthode part de choses Rigoureuses: dualité, relations de Dispersions, puis elle fait un saut périlleux sur le passage de l’asymptotique au domaine confinant. Ca ne marche pas mal. Calcule plus légers que les réseaux

QCD scale: computing MS __ Bath Abbey Echelle de Jacob We define the strong coupling constant from Faddeev-popov ghost coupling to gluons. Taylor’s theorem: for k=0 the vertex is trivial.