La symétrie

La symétrie

LAVAL

LAVAL

SHINZOX

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ININI

ININI

ININI

ININI

b d p q

b d p q

b d p q

Propriété d'invariance d'un objet transformation de l'espace. Symétrie (symmetry): Du grec (sun) "avec" (metron) "mesure" Même étymologie que "commensurable" Jusqu'au mi-XIXe : symétrie "gauche-droite" Transformation, Groupe Évariste Galois 1811, 1832. Définitions Symétrie : Propriété d'invariance d'un objet sous une transformation de l'espace.

transformations de l'espace. transformation de l'espace. Symétrique : Invariant par au moins deux transformations de l'espace. Définitions Asymétrique : Invariant par une transformation de l'espace. Dissymétrique…

Transformation M f(M)=M’ f(M) = P’ + O(PM) P’ P P f : positions Bijection (d’une partie) d’un ensemble géométrique dans lui-même M f(M)=M’ Transformation affine : deux points (P,P’) et O linéaire f(M) = P’ + O(PM) P’ P P f : positions O : vecteurs

Transformation affine Conserve droites, plans, parallélisme Translation : O identité Homothétie : O(PM)=k.PM Affinité : Homothétie une direction Isométrie : Conserve les distances Similitude : Conserve les rapports P’ P P P P P P P P P P

Réseaux périodiques infinis Translation Réseaux périodiques infinis

Objets auto-similaires Homothétie Objets auto-similaires Fractals infinis

Spirale logarithmique (r=aebq) Similitude Fractals infinis Spirale logarithmique (r=aebq) -> q+q’ q’ r -> re-bq’ e-bq’

Deux types d’opération de symétrie : Les isométries f(M) = P’ + O(PM) Isométrie ||O(u)||=||u|| Deux types d’opération de symétrie : Symétries de position : f(M) Agissent sur de points. Propriétés microscopiques des cristaux (structure électronique) Symétries d’orientation O(PM) Agissent sur des vecteurs (directions) Propriétés macroscopiques des cristaux (fonctions de réponse) Translation Rotations Réflexions Hélice de pas P (a, Pa /2p) 60° E ? Rotations Réflexions

Symétrie d’orientation - 2D Transformation linéaire ||O(u)|| = ||u|| Dans le plan (2D) Rotations Symétries orthogonales (réflexions par rapport à une droite) q q/2 Déterminant +1 Valeurs propres eiq, e-iq Déterminant -1 Valeurs propres -1, 1

Symétrie d’orientation - 3D ||O(u)|| = |l| ||u|| Valeurs propres |l | = 1 l : équation 3e degré à coefficients réels ±1, eiq, e-iq (dét. = ± 1) Dans l’espace (3D) : dét. = 1 Symétrie directes dét. = -1 Symétrie indirectes Rotations Réflexions rotatoires a) Rotation d’angle q b) Réflexion rotatoire q q q c) Inversion (p) d) Inversion rotatoire (p+q ) c) Réflexion (0) q

Projection stéréographique Représentation des directions Conservation des angles sur la sphère N N Direction OM M O P’ P P’ M’ P P, projection de OM : Intersection de SM et l’équateur S Transformation conforme (conserve les angles) mais pas affine

Les opérations de symétrie principales Conventionnellement Rotations (An) Réflexions (M) L’inversion (C) Inversions rotatoires (An) Directes Rotation An d’ordre n (2p/n) Représentée par un polygone de même sym. _ . . . . . . . . . . . . . . . A2 vertical A2 horizontal A3 A4 A5 Indirectes Réflexions rotatoires (An) Réflexion (M) Inversion (C) Inversions rotatoires (An) ~ Élément de symétrie Ensemble des points invariants _ . . . . . . . . . M vertical M horizontal M de biais Inversion A4

Composition de symétries Produit de deux réflexions faisant un angle a = rotation 2a M’M=A M 2a Anticommutatif M’ a Construction d’Euler AN1 AN2 AN3 p/N1 p/N2 Produit de deux rotations = rotation AN2AN1=AN3 Ne donne pas de relations entre N1, N2 et N3

Les groupes ponctuels : définition L’ensembles des éléments de symétrie d’un objet muni de la loi de composition des symétries possède une structure de groupe G Si A et B à G, AB à G (ensemble est fermé) La loi produit est associative (AB)C=A(BC) Il existe un élément neutre E (rotation d ’ordre 1) Chaque élément A à un inverse A-1 Pas de commutativité en général (rotation 3D) 1 2  2 1 Exemple groupe de symétrie d’une table rectangulaire 2mm Mx My A2 2mm Multiplicité du groupe : nombre d’éléments

Composition de rotations Contraintes : AN2 AN1 AN3 p/N2 p/N1 234 Triangle sphérique, vérifie l’inégalité : 22N (N qcq), 233, 234, 235 Groupes diédraux Groupes multiaxiaux

Groupes limites de Curie Les groupes ponctuels ... Orthorhombique Monoclinique Groupes limites de Curie Triclinique Trigonal Tétragonal Hexagonal Cubique A Classés par degré de symétrie Groupes limites de Curie Chiraux, propres Impropres Centrosymétriques n 1 2 3 4 6 ¥ A A n 2 222 32 422 622 ¥ 2 _ A n _ _ _ _ _ 1 2=m 3 4 6=3/m A /M ¥ n /m 2/m 4/m 6/m A M n 2mm 3m 4mm 6mm ¥ m _ A M n _ _ _ _ _ 3m 42m (4m2) 62m (6m2) A /MM’ ¥ /mm n mmm 4/ mmm 6/ mmm A n A n’ 23 432 ¥ ¥ _ A A n n’ _ _ _ m3 43m m3m ¥ /m ¥ /m

Les groupes multiaxiaux 23 432 532 _ _ _ _ _ m3 43m m3m 53m Tétraèdre Octaèdre Icosaèdre Cube Dodécaèdre Les groupes multiaxiaux

Groupes ponctuels : Notations Hermann-Mauguin (Notations internationales) Donne les éléments générateurs du groupe (pas le mini.) Notion de direction de symétrie Direction d’une réflexion ( _ ) : normale au plan de réflexion Direction primaire : de plus haute symétrie Direction secondaire : de degré inférieur 4 2 2 4 Notation réduite m m m m m m Direction tertiaire : de degré inférieur Schönflies : Cn, Dn, Dnh

Les 7 groupes limites de Pierre Curie ¥ Cône tournant Vecteur axial + polaire ¥ 2 Cylindre tordu Tenseur axial d’ordre 2 ¥ /m Cylindre tournant Vecteur axial (H) ¥ m Cône Vecteur polaire (E, F) ¥ /mm Cylindre Tenseur polaire d’ordre 2 (susceptibilité) ¥ Sphère tournante Scalaire axial (chiralité) ¥ /m Sphère Scalaire polaire (pression, masse)