Combinaisons linéaires de vecteurs algébriques Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Nous avons vu au chapitre précédent, qu’à partir de quelques vecteurs, il est possible, en utilisant les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire, d’engendrer une multitude de vecteurs. Nous avons alors donné une interprétation géométrique des notions de combinaison linéaire, de dépendance linéaire, d’indépendance linéaire, de base et de repère d’une droite, d’un plan ou de l’espace. Nous développerons maintenant des procédures algébriques pour résoudre les problèmes portant sur ces notions sans avoir à utiliser une représentation géométrique. Les premiers exemples présentés comporteront quand même une représentation géométrique pour faciliter le transfert, mais les derniers exemples en seront exempts.

Exemple 6.3.1 S S S est une com-binaison linéaire de Soit vecteurs de R2. Montrer que u v = (2; 3), = (–1; 3) et w = (–7; 3), trois et v. Représenter graphiquement. On veut montrer qu’il existe des scalaires a et b tels que : Le déterminant de la matrice des coefficients est : Cela signifie qu’il existe des scalaires a et b tels que : a + b u v = w a + b u v = w 2 –1 3 En effet : –2(2; 3) + 3(–1; 3) = (–7; 3) Par substitution, on peut écrire : = 2 ´3 – 3 ´(–1) = 9 ≠ 0 a(2; 3) + b(–1; 3) = (–7; 3) est une combinaison liné-aire de u et v. Par conséquent, w Le déterminant est non nul et, par la métho-de de Cramer, on obtient : En effectuant les opérations, on obtient : 2a – b = –7 3a + 3b = 3 (2a; 3a) + (–b; 3b) = (–7; 3) Géométriquement, cela signifie qu’il est possible de construire un parallélogramme dont la diagonale est le vecteur et dont les côtés sont sur les droites supports des vecteurs u et v. w 2 –7 3 (2a – b; 3a + 3b) = (–7; 3) –7 –1 3 On trouve : b = = 27 9 Par l’égalité des vecteurs de R2, on obtient le système d’équations qu’il faut résoudre pour savoir s’il existe des scalaires a et b satisfaisant à la condition, soit : = 3 a = 9 = –18 9 a = –2 et b = 3 = –2 9 S S S

Exemple 6.3.2 a S S S Soit u v = (1; –2; 3), = (2; –1; 4) et w = (4; –5; 10), trois vecteurs de R3. est engendré par Peut-on dire que w u et v ? Par la méthode de Gauss-Jordan, on obtient : On veut savoir s’il existe des scalaires a et b tels que : Cela signifie qu’il existe des scalaires a et b tels que : 2 –2 –1 3 4 –5 10 1 ≈ L1 L2 + 2L1 L3 – 3L1 2 3 –2 4 1 a + b u v = w a + b u v = w Par substitution, on peut écrire : est engendré par u et v. Par conséquent, w a (1; –2; 3) + b(2; –1; 4) = (4; –5; 10) Géométriquement, cela signifie qu’il est possible de construire un parallélogramme dont la diagonale est le vecteur et dont les côtés sont sur les droites supports des vecteurs u et v. w En effectuant les opérations, on obtient : ≈ L1 L2/3 L3/(–2) 2 1 4 (a; –2a; 3a) + (2b; –b; 4b) = (4; –5; 10) a + 2b = 4 –2a – b = –5 3a + 4b = 10 (a + 2b; –2a – b; 3a + 4b) = (4; –5; 10) ≈ L1 – 2L2 L2 L3 – L2 2 1 Par l’égalité des vecteurs de R3, on obtient le système d’équations qu’il faut résoudre pour savoir s’il existe des scalaires a et b satisfaisant à la condition, soit : Si on peut faire cette construction, c’est que les trois vecteurs sont coplanaires. On trouve : a = 2 et b = 1 S S S

(a; –2a; 3a) + (2b; –b; 4b) = (5; 4; –2) Exemple 6.3.2 b Soit u v = (1; –2; 3), = (2; –1; 4) et z = (5; 4; –2), trois vecteurs de R3. est engendré par Peut-on dire que z u et v ? Par la méthode de Gauss, on obtient : On veut savoir s’il existe des scalaires a et b tels que : Cela signifie qu’il n’existe pas de scalaires a et b tels que : 2 –2 –1 3 4 5 1 ≈ L1 L2 + 2L1 L3 – 3L1 2 –2 5 14 –17 1 3 a + b u v = z a + b u v = z Par substitution, on peut écrire : n’est pas engendré par u et v. z a (1; –2; 3) + b(2; –1; 4) = (5; 4; –2) Géométriquement, cela signifie qu’il n’est pas possible de construire un parallé-logramme dont la diagonale est le vecteur et dont les côtés sont sur les droites supports des vecteurs u et v. z En effectuant les opérations, on obtient : 2 5 14 –23 1 3 ≈ L1 L2 3L3 + 2L2 (a; –2a; 3a) + (2b; –b; 4b) = (5; 4; –2) a + 2b = 5 –2a – b = 4 3a + 4b = –2 (a + 2b–2a – b; 3a + 4b) = (5; 4; –2) Par l’égalité des vecteurs de R3, on obtient le système d’équations qu’il faut résoudre pour savoir s’il existe des scalaires a et b satisfaisant à la condition, soit : On ne peut faire cette construction parce que les trois vecteurs ne sont pas copla-naires. Le système est in-compatible. S S S

(3a; –5a; 4a) + (2b; –4b; 3b) = (2; 0; 1) Exercice Soit u v = (3; –5; 4), = (2; –4; 3) et w = (2; 0; 1), trois vecteurs de R3. est engendré par Peut-on dire que w u et v ? On veut savoir s’il existe des scalaires a et b tels que : a + b u v = w Par la méthode de Gauss-Jordan, on obtient : Par substitution, on peut écrire : 2 –5 –4 4 3 1 ≈ L1 3L2 + 5L1 3L3 – 4L1 2 1 10 –5 3 –2 a(3; –5; 4) + b(2; –4; 3) = (2; 0; 1) En effectuant les opérations, on obtient : (3a; –5a; 4a) + (2b; –4b; 3b) = (2; 0; 1) ≈ L1 + L2 L2 2L3 + L2 12 10 3 –2 4 –5 1 ≈ L1/3 L2/(–2) L3 (3a + 2b; –5a – 4b; 4a + 3b) = (2; 0; 1) Par l’égalité des vecteurs de R3, on obtient le système d’équations qu’il faut résoudre pour savoir s’il existe des scalaires a et b satisfaisant à la condition, soit : 3a + 2b = 2 –5a – 4b = 0 4a + 3b = 1 On a donc 4(3; –5; 4) – 5(2; –4; 3) = (2; 0; 1). est engendré par Par conséquent, w u et v. S S S

Exemple 6.3.3 S S = (x; y) de R2 est engendré par les vecteurs Déterminer à quelles conditions un vecteur v1 v2 = (1; 2) et = (–2; –4). w On doit déterminer à quelles conditions il existe des scalaires a1 et a2 tels que : Par la méthode de Gauss, on obtient : –2 2 –4 x y 1 a1 + a2 v1 v2 = w ≈ L1 L2 – 2L1 –2 x y – 2x 1 Par substitution, on peut écrire : a1(1; 2) + a2(–2; –4) = (x; y) Lorsque y – 2x ≠ 0, il n’y a aucune solution. En effectuant les opérations, on obtient : Pour qu’un vecteur w = (x; y) soit engendré, il faut que y – 2x = 0. C’est donc dire que les vecteurs engendrés sont ceux dont l’origine est à (0; 0) et dont la droite support est y – 2x = 0. a1 – 2a2 = x 2a1 – 4a2 = y (a1; 2a1) + (–2a2; –4a2) = (x; y) (a1 – 2a2; 2a1 – 4a2) = (x; y) L’ensemble engendré est : Par l’égalité des vecteurs de R2, on obtient le système d’équations qu’il faut résoudre pour répondre à la question, soit : {(x; y)| y – 2x = 0} S S

Exemple 6.3.4 S S S S = (x; y) de R2 est engendré par les vec-teurs Déterminer à quelles conditions un vecteur v1 v2 = (1; –3), = (–1; 5) et w v3 = (2; –4). On doit déterminer à quelles conditions il existe des scalaires a1, a2 et a3 tels que : On trouve que a3 est une variable libre alors que a1 et a2 sont des variables liées. Leur valeur dépend de a3 et des composantes x et y du vecteur w. Par la méthode de Gauss-Jordan, on a : Cela signifie qu’il suffit de prendre les vecteurs pour engendrer de façon unique tous les vecteurs de R2. v1 v2 et –1 –3 5 x y 1 2 –4 a1 + a2 v1 v2 + a3 v3 = w Par substitution, on peut écrire : En effet, il suffit de deux vecteurs linéairement indépendants pour engen-drer tous les vecteurs de R2. a1(1; –3) + a2(–1; 5) + a3(2; –4) = (x; y) En posant a3 = s, et en substituant, on obtient : –1 x y + 3x 1 2 ≈ L1 L2 + 3L1 En effectuant les opérations, on obtient : a1 = y + 5x 2 – 3s, a2 = y + 3x – s et a3 = s. (a1; –3a1) + (–a2 ; 5a2) + (2a3; –4a3) = (x; y) a1 – a2 + 2a3 = x –3a1 + 5a2 – 4a3 = y Il y a donc une infinité de combinaisons linéaires possibles pour engendrer w. (a1 – a2 + 2a3; –3a1 + 5a2 – 4a3) = (x; y) –1 x (y + 3x)/2 1 2 ≈ L1 L2 /2 En posant s = 0, on obtient : Par l’égalité des vecteurs de R2, on obtient le système d’équations qu’il faut résoudre pour répondre à la question, soit : a1 = y + 5x 2 , a2 = y + 3x et a3 = 0. (y + 5x)/2 (y + 3x)/2 1 3 ≈ L1 + L2 L2 S S S S

Exemple 6.3.5 a Déterminer si les vecteurs suivants sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants. v1 v2 = (1; –2; 1) et = (3; 2; 4) Puisqu’il y a seulement deux vecteurs, pour savoir s’ils sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants, il suffit de déterminer s’il existe un scalaire k tel que : = k v1 v2 Ce qui donne : (1; –2; 1) = k(3; 2; 4) = (3k; 2k; 4k) Pour avoir cette égalité, il faut que les premières composantes soient égales; cela donne k = 1/3. Il faut également que les deuxièmes com-posantes soient égales; cela donne k = –1. Il est donc impossible de trouver un scalaire k non nul pour lequel = k v1 v2 . Les vecteurs sont donc linéairement indépendants. S

a1(1; –3; 4) + a2(4; –2; 3) + a3(2; 5; 2) + a4(5; –1; 3) = (0; 0; 0) Exemple 6.3.5 b Déterminer si les vecteurs suivants sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants. v1 v2 = (1; –3; 4), = (4; –2; 3), v3 = (2; 5; 2) et v4 = (5; –1; 3). On doit déterminer si l’équation vectorielle : a1 + a2 v1 v2 + a3 v3 = + a4 v4 admet des solutions non nulles. Cela donne : a1(1; –3; 4) + a2(4; –2; 3) + a3(2; 5; 2) + a4(5; –1; 3) = (0; 0; 0) En effectuant les opérations, on obtient le système d’équations : a1 + 4a2 + 2a3 + 5a4 = 0 –3a1 – 2a2 + 5a3 – a4 = 0 4a1 + 3a2 + 2a3 + 3a4 = 0 Ce système comporte plus d’inconnues que d’équations. Il y a donc une infinité de solutions dont au moins une comporte des scalaires non nuls. Les vecteurs sont donc linéairement dépendants. S S

a1(1; –3; 4) + a2(4; –2; 3) + a3(2; 5; –6) = (0; 0; 0) Exemple 6.3.5 c Déterminer si les vecteurs suivants sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants. v1 v2 = (1; –3; 4), = (4; –2; 3) et v3 = (2; 5; –6). On doit déterminer si l’équation vectorielle : On trouve alors : a1 + a2 v1 v2 + a3 v3 = 4 2 –3 –2 5 3 –6 1 = L1 L2 + 3L1 L3 – 4L1 4 2 1 admet des solutions non nulles. Cela donne : 10 11 = 1 (–140 + 143) = 3 ≠ 0 a1(1; –3; 4) + a2(4; –2; 3) + a3(2; 5; –6) = (0; 0; 0) –13 –14 En effectuant les opérations, on obtient le système d’équations : Puisque le déterminant est non nul, on peut conclure que le système admet une solution unique qui est : a1 = a2 = a3 = 0 Par conséquent, les vecteurs sont linéaire- ment indépendants. Ce système comporte autant d’équa-tions que d’inconnues. Puisque c’est un système homogène, on peut déterminer s’il admet une solution unique ou une infinité de solutions en calculant son déterminant. a1 + 4a2 + 2a3 = 0 –3a1 – 2a2 + 5a3 = 0 4a1 + 3a2 – 6a3 = 0 S S S S

a1(1; –3; 4) + a2(4; –2; 3) + a3(5; 5; –6) = (0; 0; 0) Exemple 6.3.5 d Déterminer si les vecteurs suivants sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants. v1 v2 = (1; –3; 4), = (4; –2; 3) et v3 = (5; 5; –6). On doit déterminer si l’équation vectorielle : On trouve alors : a1 + a2 v1 v2 + a3 v3 = 4 5 –3 –2 3 –6 1 = L1 L2 + 3L1 L3 – 4L1 4 5 1 admet des solutions non nulles. Cela donne : 10 20 = 1 (–260 + 260) = 0 a1(1; –3; 4) + a2(4; –2; 3) + a3(5; 5; –6) = (0; 0; 0) –13 –26 En effectuant les opérations, on obtient le système d’équations : Le déterminant de ce système homogène étant nul, on peut conclure que le système admet une infinité de solutions et qu’il y en a au moins une non nulle. Les vecteurs sont donc linéairement dépendants. Ce système comporte autant d’équa-tions que d’inconnues. Puisque c’est un système homogène, on peut déterminer s’il admet une solution unique ou une infinité de solutions en calculant son déterminant. a1 + 4a2 + 5a3 = 0 –3a1 – 2a2 + 5a3 = 0 4a1 + 3a2 – 6a3 = 0 S S S S

Déterminant et indépendance linéaire THÉORÈME Déterminant et indépendance linéaire dans R3 Trois vecteurs de R3, u v = (u1; u2; u3), = (v1; v2; v3) et w = (w1; w2; w3) sont linéairement indépendants si et seulement si : u2 u3 u1 det ( u, v, w) = v1 v2 v3 ≠ 0 w1 w2 w3 est le déterminant dont les lignes sont constituées respectivement des composantes des vecteurs où det ( u, v, w) v w. et

Déterminant et indépendance linéaire Démonstration , trois vecteurs de R3. Ces trois vecteurs sont linéairement indépendants si et seulement si l’équation vectorielle : Soit u v = (u1; u2; u3), = (v1; v2; v3) et w = (w1; w2; w3) Or, le système a une solution unique si et seulement si le déterminant de la matrice des coefficients est non nul, soit : a1 + a2 u v + a3 w = v1 w1 u1 a une solution unique a1 = a2 = a3 = 0. En tenant compte des com-posantes des vecteurs, l’équation s’écrit : det (A) = u2 v2 w2 ≠ 0. Cependant, det (A) = det (At). u3 v3 w3 a1(u1; u2; u3) + a2(v1; v2; v3) + a3(w1; w2; w3) = (0; 0; 0) Le système a une solution unique si et seulement si det (At) ≠ 0 et : u2 u3 u1 Par conséquent, les trois vecteurs sont linéairement indépendants si et seulement si le système d’équations linéaires homogène : det (At) = v1 v2 v3 = det ( u, v, w) w1 w2 w3 a1u1 + a2v1 + a3w1 = 0 a1u2 + a2v2 + a3w2 = 0 a1u3 + a2v3 + a3w3 = 0 est le déterminant dont les lignes sont constituées respectivement des composantes des vecteurs où det ( u, v, w) v w. et S a une solution unique, soit la solution triviale a1 = a2 = a3 = 0.

Déterminant et dépendance linéaire En contraposant l’énoncé du théorème, on obtient l’énoncé suivant. THÉORÈME Déterminant et dépendance linéaire dans R3 Trois vecteurs de R3, u v = (u1; u2; u3), = (v1; v2; v3) et w = (w1; w2; w3) sont linéairement dépendants si et seulement si : u2 u3 v1 v2 v3 w1 w2 w3 u1 det ( u, v, w) = = 0 Remarque Grâce à ces deux théorèmes, on peut déterminer si trois vecteurs de R3 sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants en calculant simplement le déterminant dont les éléments sont les composantes des trois vecteurs. Lorsque le déterminant est nul, les vecteurs sont linéairement indépendants et lorsqu’il est non nul, ils sont linéairement dépendants.

Exemple 6.3.6 a Déterminer si les vecteurs suivants sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants : u v = (1; 2; –3), = (2; –2; 4) et w = (2; –5; 9) Calculons le déterminant formé de ces trois vecteurs : 2 –3 1 = L1 L2 – 2L1 L3 – 2L1 2 –3 1 det ( u, v, w) = 2 –2 4 –6 10 = 0 2 –5 9 –9 15 Le déterminant formé avec les vecteurs est égal à un déterminant ayant deux lignes proportionnelles; il est donc nul. Par conséquent, les vecteurs sont linéairement dépendants. S S

Exemple 6.3.6 b Déterminer si les vecteurs suivants sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants : u v = (3; –2; 5), = (1; –3; 2) et w = (4; –1; 9) Calculons le déterminant formé de ces trois vecteurs : C1 C2 + 3C1 C3 – 2C1 –2 5 3 7 –1 3 det ( u, v, w) = = –1(7 + 11) = –18 ≠ 0 1 –3 2 = 1 4 –1 9 11 1 4 Le déterminant formé avec les vecteurs est différent de zéro. Par conséquent, les vecteurs sont linéairement indépendants. S S

Exercice Déterminer si les vecteurs suivants sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants : u v = (2; 4; –3), = (5; 3; 1) et w = (4; –6; 11) Calculons le déterminant formé de ces trois vecteurs : C1 – 5C3 C2 – 3C3 C3 4 –3 2 13 –3 17 det ( u, v, w) = 5 3 1 = 1 = –1(–663 + 663) = 0 4 –6 11 –39 11 –51 Le déterminant formé avec les vecteurs est égal à zéro. Par conséquent, les vecteurs sont linéairement dépendants. S S

Conclusion Pour déterminer si un vecteur donné est une combinaison linéaire d’un ensemble de vecteurs, il faut établir et résoudre un système d’équations linéaires. Si le système n’a aucune solution, le vecteur n’est pas engendré. Si le système admet une ou des solutions, le vecteur est engendré. Si la solution est unique, les vecteurs de l’ensemble générateur sont linéairement indépendants et si le système a une infinité de solution, ils sont linéairement dépendants. Pour déterminer si les vecteurs d’un ensemble sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants, il faut établir un système d’équations linéaires homogène. Si le système a une solution unique, la solution triviale, les vecteurs sont linéairement indépendants. Lorsqu’il y a une infinité de solutions, les vecteurs sont linéairement dépendants. Dans R3, lorsque trois vecteurs sont donnés, on peut déterminer le type de solutions en calculant le déterminant formé des composantes de ces vecteurs.

Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 6.3, p. 167 à 173. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences humaines, Section 6.3, p. 161 à 167 Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 6.4, p. 174 et 175. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences humaines, Section 6.4, p. 168 et 169.