FONCTION LINEAIRE Bernard Izard 3° Avon 2009 13-FL Chapitre 13-FL FONCTION LINEAIRE I - PROPORTIONNALITÉ II – DÉFINITIONS / Ex III- GRAPHIQUE IV – DETERMINER IMAGE et ANTÉCÉDANT V - DÉTERMINER UNE F. L. VI - % et F. LINÉAIRE VII APPLICATIONS / EXERCICES Bernard Izard 3° Avon 2009

I- PROPORTIONNALITÉ 3x 9 5 12 x 27 72 63 y 24 21 15 36 x 3 Donc: 27 = 3 x 9 72 = 3 x….. et y = x coefficient de proportionnalité 3x Deux grandeurs x et y sont proportionnelles s’il existe un nombre a tel que y = a x x La fonction qui à x fait correspondre a x x s’appelle Fonction Linéaire de coefficient a

II-DÉFINITIONS La correspondance qui à chaque nombre « x » associe un nombre « a x » s’appelle fonction linéaire de coefficient a. On notera cette fonction ainsi : f : x a x L’image de x sera notée : f(x). « a » s’appelle: Coefficient de proportionnalité ou Coefficient directeur   Exemple1 : Soit f est la fonction linéaire de coefficient 2. On la note : f : x 2 x Alors : L’image de 5 est : f(5) = 2  5 = 10. L’image de (-3) est : f(-3) = 2  (-3) = -6. L’image de 1 est : f(1) = 2  1 = 2.

Ce n’est pas une fonction linéaire Exemple2: Le prix d’un CD est 7,30 €. Soit x le nombre de CD achetés. Prix en fonction de x ? Pour calculer le prix il faut multiplier le prix d’un CD par le Nombre p(x) = 7,3 x x et p: x 7,3 x Exemple3: La fonction « opposée » f: x - x Contre-exemple: La fonction qui associe le carré: f: x x² Ce n’est pas une fonction linéaire

III-GRAPHIQUE Ensemble des points de coordonnées (x ; a x) Comme la fonction linéaire représente une proportionnalité son graphe est une droite qui passe par l’origine du repère Démonstration Soit f une fonction linéaire définie par f(x) = ax. On appelle y l’image de x Si x = 0 alors y = f(0) =ax0 = 0. Le point O (0;0) est sur la courbe Si c’est une droite, elle passe par l’origine du repère. Soit le point A de de la courbe avec x = 1, donc pour être sur la courbe il faut y= a x1 =a A(1;a) Soit M un autre point quelconque de la courbe de coordonnées x et y=ax M(x;ax) Les 3 points O, A et M sont donc sur la courbe. Sont-ils alignés ?

OB = 1 AB = a ON = x NM = ax

Traçons la droite (OA) . Supposons qu’elle coupe (NM) en M’ OB = 1 AB = a ON = x NM = ax Comme (AB) // (NM’), D’après le th. de Thalès Remplaçons: D’où NM’ = ax Donc NM =NM’ et comme les points sont sur la même droite alors M = M’ et le point M est bien sur la droite (OA) O,A,M sont alignés

Exemple1: Traçons la représentation graphique de la fonction linéaire On choisit x, on calcule y x 2 y 8   Exemple1:  Traçons la représentation graphique de la fonction linéaire f(x) = 4x f est une fonction linéaire, sa représentation graphique est une droite (d1) qui passe par O. Comme f(2)=4x2= 8, alors d1 passe par le point de coordonnées (2; 8). (en rouge sur le dessin) On fait un tableau de valeurs x -2 y 6 0,5 mm pour 1 unité. Les 2 courbes sur le même graphique Exemple2: Traçons la représentation graphique de la fonction linéaire g(x) = -3x g est une fonction linéaire, sa représentation graphique est une droite (d2) qui passe par O. Comme g(-2)=-3x(-2)= 6, alors d2 passe par le point de coordonnées (-2; 6). (en bleu sur le dessin) Comme le graphe est une droite 2 points suffisent. On peut prendre un 3° point de vérification.

Si a = 0 la droite représentative se confond avec l’axe des abscisses. a le coefficient directeur indique l’inclinaison de la droite 1 a a « petit et positif » a « grand et positif » a « petit et négatif » a « grand et négatif » Dans un repère la droite passe toujours par le point de coordonnées (1;a) et par l’origine du repère. Si a = 0 la droite représentative se confond avec l’axe des abscisses.

IV-DÉTERMINER IMAGES ET ANTÉCÉDANTS 1) Connaissant l’expression de la Fonction Ex1: Déterminer l’image de « -3 » par la fonction linéaire f définie par f(x) = 5x. On remplace x par –3 dans l’expression: f(-3) = 5 x (-3) = -15 Ex2: Déterminer l’antécédent de 3/7. On résoud l’équation: f(x) = 3/7 5x = 3/7 x = 3/35 :5

2) Avec le graphique Ex1: Déterminer l’image de « 2 » par la fonction f ayant le graphique ci-dessous On lit la valeur sur l’axe des ordonnées 4 2 On trace un trait vertical à l’abscisse 2 va couper la courbe f(2) =4

Ex2: Déterminer le nombre qui a pour image « -6 » par la fonction f ayant le graphique ci-dessous On lit la valeur sur l’axe des abscisses -3 On trace un trait horizontal à l’ordonnée -6 L’antécédent de –6 est -3 -6

V-DÉTERMINER UNE FONCTION LINÉAIRE 1) Connaissant un nombre et son image. Ex: Déterminer la Fonction linéaire f dont l’image de 4 est –12. On écrit: f(x) = ax et on remplace x par 4 et f(x) par –12 a x = f(x) a x 4 = -12 a = -12 /4 a = -3 Il faut calculer « a » 4 x -12 y x a f est la fonction définie par x -3x f(x) = -3x

2) Avec le graphique y x a = -2/5 = - 0,4 a = On peut remarquer que pour x=1 on lit «a»  sur les ordonnées +5 -2 a = -2/5 = - 0,4 y x a = f est la fonction définie par f(x) = - 0,4 x

VI-% et FONCTION LINEAIRE Ex1: Déterminer la fonction linéaire qui au prix affiché d’un objet fait correspondre son prix soldé à – 35% f : x 0,65 x On multiplie par 1 – 35/100 Ex2: Déterminer la fonction linéaire qui à un prix HT fait correspondre le Prix TTC avec une TVA à 19,6 %. f : x 1,196 x On multiplie par 1 + 19,6/100

VII-APPLICATION / EXERCICES Lors d’un test sur circuit d’une voiture, les mesures sont les suivantes: Ex1: Durée t ( en h) 3/4 2,5 4 5 Distance parcourue (en km) 120 400 640 800 1) Est-ce une situation de proportionnalité ? Pourquoi ? Oui, car: 2) Que représente le coefficient de proportionnalité ? La vitesse 3) Déterminer la fonction linéaire associée à cette proportionnalité f: x 160 x 4) Faire le graphique. Abscisse 1cm =1h. Ordonnées 1cm =160km.

Distance en km 800 640 480 320 160 Durée en h 0 1 2 3 4 5

x 1 -2 y 4 x 3 -3 y 2 -2 On fait un tableau de valeurs X -2 2) 1 -2 y 4 X -2 1) On choisit x et on calcule y x 3 -3 y 2 -2 X 2/3 2) On place les points

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