I-Conduction en régime variable : Généralités a) Introduction En absence de sources internes D est la Diffusivité

b- Cas du mur ( problème à une dimension) Conduction en régime variable b- Cas du mur ( problème à une dimension) La chaleur se propage le long de l’axe ox Les isothermes sont des plans perpendiculaires à ox T1 T2 o x

c) Résolution numérique graphique- Méthode de Schmidt Conduction en régime variable c) Résolution numérique graphique- Méthode de Schmidt Discrétisation dans l’espace et dans le temps discrétisation en x : x o x n-1 n n+1 x x x x

discrétisation en x : x Tn Tn+1 temps t

Tn,p temps t discrétisation dans le temps t temps t+ t Tn,p+1 x n-1 n n+1 x x x x

Tn+1,p Tn,p temps t discrétisation dans le temps t Tn-1,p Tn+1,p+1 Tn,p+1 Tn-1,p+1 x n-1 n n+1 x x x x L’équation de la chaleur s’écrit alors

discrétisation dans le temps t Tn Tn+1 temps t discrétisation dans le temps t M Tn-1 N Tn,p+1 x n-1 n n+1 x x x x L’équation de la chaleur s’écrit alors Si

d’où la construction Tn Tn+1 temps t Tn-1 Tn,p+1 n n+1 n-1 x Conduction en régime variable d’où la construction Tn Tn+1 temps t M Tn-1 N Tn,p+1 n n+1 n-1 x

d) Exemple de construction Conduction en régime variable t=0 Tp=0 1 2 3 4

Exemple de construction Conduction en régime variable t=0 t=t 1 2 3 4

Exemple de construction Conduction en régime variable t=0 t= t 1 2 3 4

Exemple de construction Conduction en régime variable t=0 t= t t= 2t 1 2 3 4

Exemple de construction Conduction en régime variable t=0 t= t t= 2t 1 2 3 4

Exemple de construction Conduction en régime variable t=0 t= t t= 2t t= 3t 1 2 3 4

Autre exemple de construction Conduction en régime variable t=0 1 2 0’ 1’ 2’

Exemple de construction Conduction en régime variable t=0 t= t 1 2 2’ 1’ 0’

Exemple de construction Conduction en régime variable t=0 t= t t= 2t 1 2 2’ 1’ 0’

Exemple de construction Conduction en régime variable t=0 t= t t= 2t t= 3t 1 2 2’ 1’ 0’

Exemple de construction Conduction en régime variable t=0 t= t t= 2t t= 3t 1 2 2’ 1’ 0’

II-Problème de Fourier : mur symétrique en régime transitoire Conduction en régime variable II-Problème de Fourier : mur symétrique en régime transitoire

a) Hypothèses Temps t=0- tout le mur est isotherme T=T0 Conduction en régime variable Temps t=0- tout le mur est isotherme T=T0 Temps t=0 les parois passent à la température T=0 o x t=0 T0 Ts=0 2a

b) résolution Méthode de séparation des variables Conduction en régime variable b) résolution Méthode de séparation des variables

Conduction en régime variable

Les conditions aux limites donnent plusieurs valeurs de  donc Plusieurs valeurs des C1, C2, C3  n C1n, C2n, C3n

C3n=0 Mais T(x) =T(-x)

t=0 x= ±a T=0

En t =0 avec n=2p+1 T0 t=0 o x 2a avec n=2p+1

est sans dimension c’est le nombre de Fourier Fo

c) Echange par convection avec le milieu extérieur Tp t<0 Ta=Tp=T(x)=To t=0 Ta=0 Tp= T(x=±a) =? Tp Ta T(x)=? h/k Mais en surface sur la surface

Par analogie avec le problème de Fourier n’est plus un entier La condition aux limites sur les parois conduit à écrire à t=0

cotgx xk/ha    = nombre de Biot

On préfere utiliser des abaques donnant la température en des points particuliers en fonction des nombres de Fourier (Fo) et de Biot Bi) Tp Bi Fo

d) Cas d’un milieu semi infini o x

En posant T=T(v) Avec v=x(t) Fonction de v Fonction de t

En posant A=-1/2

A=-1/2 en posant

T1 t=0 T2 o x T=T1 C. I. t<0 t=0 x=0 , T=T2 x=∞ , T=T1 En posant

Z(u)=1-erf(u) Z(u)=1-erf(u) Typiquement D=10-6SI

Par unité de surface de paroi

Par unité de surface de paroi

Mur symétrique Vérifier que la solution ci contre est en accord avec les conditions aux limites d’un mur symétrique

t=0 Tp=0 1 2 3 4