Analyse temps-fréquence et ondelettes Module Traitement du Signal, EOST 2A et Master 1 18 dec. 2006 (Intervenant : Pascal Sailhac) Dans un monde virtuel linéaire : Fourier ad hoc Mais dans un monde plus réaliste non linéaire…

Svt les signaux réels = transitoires et à fréquence variable… Introduction Svt les signaux réels = transitoires et à fréquence variable… Figure : http://perso.ens-lyon.fr/patrick.flandrin/transpEDSFA.pdf

Comment déterminer un spectre temps-fréquence (ou temps-échelle) ? Covariance instantanée – Transformée de Wigner-Ville… (on prend la TF de la cov. instantanée pour avoir spectre d’énergie instantané) Fourier à fenêtre glissante – Transformée de Gabor… (on prend module carré de la TF glissante pour avoir spectre d’énergie instantané) Transformée en ondelettes – Transformée de Morlet… (pareil qu’à fenêtre glissante, mais avec une taille de fenêtre liée à la période) 

Points abordés Ondelettes continues A. Théorie A.1 Rappel : corrélations, convolutions, transformée et spectre de Fourier A.2 Limitation : superposition de fonctions oscillantes, non oscillantes et transitions A.3 Représentations Temps-Fréquence et spectres d’énergie instantané A.4 Ondelettes A.4.1 Exemple de représentations Temps-Echelles A.4.2 Scalogramme et spectre local A.4.3 Formules de reconstructions et choix des ondelettes (inversion) A.4.4 A N-Dimensions : Ondelettes tensorielles et ondelettes anisotropes B. Exemples d’applications géophysiques B.1 Sismique B.2 Illustrations numériques simples avec Matlab B.3 …

A.1 Rappel sur la TF A.1 Rappel : corrélations, convolutions, transformée et spectre de Fourier compléments avec textes et équations !

A.2 Limitations de la TF A.2 Limitation : superposition de fonctions oscillantes, non oscillantes, et transitions Oscillantes : fi(x)=cos(2puix)  Ei(u)=d(u-ui)/4 f(x)=f1(x)+f2(x)  E(u)=E1(u)+E2(u) Transition : f(x)=f1(x)H(-x)+f2(x)H(x)  E(u)≠E1(u)+E2(u) compléments avec textes et équations !

A.4 Ondelettes A.4.1 Exemple de représentations Temps-Echelles

Bibliographie (1) Ouvrages de références Ingrid Daubechies, 1992, Ten lectures on wavelets, Regional conference series in applied mathematics No 61, Society for Industrial & Applied Mathematics Marie Farge, Julian Hunt & J. Cristos Vassilicos, 1993, Wavelets, fractals and Fourier transforms: New developments and new Applications, Clarendon Press, Oxford. Efi Foufoula-Georgiou & Praveen Kumar, 1994, Wavelets in Geophysics, Academic Press, San Diego. Bruno Torrésani, 1995, Analyse continue par ondelettes, InterEditions, CNRS Editions, Paris. Matthias Holschneider, 1995, Wavelets, an analysis tool, Clarendon Press, Oxford. Wolfgang Dahmen, Andrew J. Kurdila & Peter Oswald, 1997, Multiscale Wavelet Methods for Partial Differential Equations, Academic Press. Stéphane Mallat, 1997/99, A Wavelet tour of signal processing, Academic Press, San Diego. Patrick Flandrin, 1998 (1993 1ière édition), Temps-fréquence, Edition Hermes, Paris.

Bibliographie (2) Quelques Thèses Douzi Hassan, 1992, Construction de bases multi-échelles et application à l’estimation des paramètres en sismique, Univ. Paris 9. Fatimetou Mohamed-Salek, 1994, Inversion sismique par une méthode multi-échelles, Univ. Paris 9. Frédérique Moreau, 1995, Transformée en ondelettes de mesures géophysiques, Géosciences Rennes. Guy Ouillon, 1995, Application de l’analyse multifractale et de la transformée en ondelettes anisotropes à la caractérisation géométrique multi-échelle des réseaux de failles et de fractures, Univ. Nice-Sophia Antipolis/BRGM. Felix J. Herrmann, 1997, A scaling medium representation, a discussion on well logs, fractals and waves, Delft Univ. Technology. Pascal Sailhac, 1999, Analyse multiéchelles et inversion de données géophysiques en Guyane Française, Institut de Physique du Globe de Paris. Philippe Gaillot, 2000, Ondelettes continues en Sciences de la Terre - Méthodes et applications, Univ. Toulouse 3.