Ayse SAGLAM-ARSLAN Laboratoire Lidset 29 Octobre 2004 Les équations différentielles en mathématiques et en physique Etude des conditions de leur enseignement et caractérisation des rapports personnels des étudiants de première année de l’université à cet objet de savoir Je vais vous présenter aujourd’hui mon travail de thèse dont le titre est: Ayse SAGLAM-ARSLAN Laboratoire Lidset 29 Octobre 2004

Plan de exposé Problématique Étude des choix didactiques de l’enseignement du concept équation différentielle en mathématiques et en physique Étude des conséquences de ces choix sur l’apprentissage du concept chez les étudiants de la première année de l’université Perspectives Pour démarrer cet exposé dans un premier temps je vais vous présenter la problématique de la recherche qui nous a conduit à mener ce travail de thèse . Dans un deuxième temps je discuterai les caractéristiques générales proprement dits les choix didactiques fonctionnant dans l’enseignement des équations différentielles éventuellement en mathématiques et en physique. Ensuite je vais parler des effets de ces choix sur la construction des savoirs des étudiants à propos de cet objet de savoir. Et je conclurai mon exposé en donnant certains résultats obtenus de ce travail de thèse.

Mathématiques… Physique… 1.1. Problématique Mathématiques… Physique… Depuis toujours un relation innégligeable se présente particulièrement entre deux disciplines: les mathématiques et les sciences physiques. Il s’agit sans doute d’une relation réciproque: les physiciens ne peuvent pas passer des mathématiques car elles les permettent de modéliser et ainsi d’étudier des phénomènes qui sont généralement très complexes. Alors que les sciences physiques offrent un domaine d’application aux mathématiciens et ainsi leur permettent de donner du sens aux différents concepts mathématiques. Dans ce travail nous sommes intéressés par cette relation et nous avons décidé de l’étudier à l’aide des ED qui représentent un domaine extrêmement puissant de l’analyse mathématiques. F(x, y(x)), y'(x), …,y(n)(x)=0

Statut du concept d’équation différentielle dans les deux disciplines 1.2. Problématique Statut du concept d’équation différentielle dans les deux disciplines Objet d’étude Mathématiques ? Physique Avant d’approfondir dans la problématique de recherche, il est est peut être intéressant selon nous de définir le statut de ce concept dans ces deux disciplines. En tant qu’un concept mathématique, les équations différentielles ont un statut d’objet d’étude sur lequel l’apprenant est amené à travailler au niveau de la recherche de solutions. Cependant le fait de définir son statut en physique n’est pas aussi facile.

Les équations différentielles en physique Question/ problème Réponse/ validation Système réel Modèle Étape 1: Définition du système à étudier Étape 2: Construction d’un modèle et travail dans le modèle construit Étape 3: Retour au système Démarche théorique Démarche expérimentale t=? Exemple: 3  q'(t)+(1/RC)q(t)=0 i(t) C R E Pour nous les équations différentielles ont un statut de modèle. Comme j’ai évoqué tout à l’heure les équations différentielles interviennent pour modéliser les phénomènes physiques. Malgré la complexité du processus de modélisation j’aimerais le discuter à partir d’un simple schéma. En s’appuyant sur les différents travaux réalisées dans ce domaine surtout ceux de Yves Chevallard, il est peut être possible de définir trois pôles: phénomène réel, modèle et vérification du modèle en question. D’une façon différente on peut définir trois étape: définition du système à modéliser, construction d’un modèle et travails sur ce modèle et finalement retour au réel. Supposons qu’on a une ou plusieurs questions à propos d’un phénomène réel, pour pouvoir répondre à cette question on doit construire un modèle. A partir de ce on a une réponse qui peut être vérifiée à l’aide de certains expériences. En faisant référence à ce même schéma je vous explique pourquoi une ED représente pour nous un modèle d’un système. Supposons qu’on a un circuit électrique RC et le condensateur C est initialement chargé. La question qu’on se pose à propos de ce circuit est la suivante: « Combien du temps faut-il pourque le condensateur soit entièrement déchargé? ». On a une situation physique et on ne peut pas y répondre au niveau de phénomène donc on est conduit à construire un modèle pour nous il s’agit d’une équation différentielle linéaire du premier ordre du type. En effet cette équation différentielle est capable de prédire l’évolution du système. Après avoir trouvé le temps nécessaire pour la décharge du condensateur il faudrait faire une vérification pour valider le modèle. En résolvant cette ED et tout en appliquant les CI données on trouve la réponse à la question posée. Une comparaison faite entre la réponse trouvée et les résultats expérimentales permettra probablement de dire si le modèle construit est valable ou non. Ce fonctionnement d’une équation différentielle pour une situation physique qui est tellement similaire au fonctionnement d’un modèle nous a permis de l’appeler comme modèle.

Que représente, pour l’étudiant, l’objet équation différentielle? 1.4. Problématique Et l’apprenant? Comment un apprenant perçoit-il les différents statuts de l’objet équation différentielle? Que représente, pour l’étudiant, l’objet équation différentielle? L’existence de deux statuts du concept d’ED pratiquement différents nous a conduit tout naturellement à nous questionner sur ce qui se passe chez un apprenant quand il étudié ce concept à la fois en mathématiques et en physique. Comme dans notre travail de recherche l’apprenant signifie l’étudiant de la première année de l’université, cette première question se reformule par cette deuxième qui nécessite de comprendre ce que représente l’objet équation différentielle pour un étudiant. Cette question doit être répondue par une analyse des conditions de l’apprentissage des ED dans le cadre de leurs enseignement dans les deux disciplines.

1.5. Problématique Reformulation de l’objet d’étude dans le cadre de la théorie anthropologique de la didactique L’ensemble des rapports institutionnels aux équations différentielles (de l’étudiant) L’institution de l’enseignement des mathématiques L’institution de l’enseignement de la physique D’autres institutions Rapport personnel de l’étudiant à l’objet équation différentielle Ceci nous a conduit dans la théorie anthropologique de la didactique à rechercher les caractéristiques du rapport personnel à l’objet ED des étudiants. Comme les connaissances des étudiants se formulent sous les contraintes des savoirs enseignés il faut mettre l’accent aussi sur les relations entre l’ensemble des rapports institutionnels et le rapport personnel. Ces relations peuvent être schématisé à l’aide de trois flèches dont les deux premiers ont été discutés d’une façon détaillé dans notre travail de thèse. Le fait de se placer dans ce cadre théorique nous a permis de reformuler plus précisément nos questions de recherche.

Questions de recherche 1.6. Problématique Questions de recherche Choix didactiques de l’enseignement des ED en mathématiques. Q1 Effets de ces choix sur l’apprentissage de ce concept. Rapport institutionnel Rapport personnel Caractéristiques du processus de modélisation à l’aide des ED. Q2 Rôle joué par les équations différentielles, pour les étudiants: modèle ou outil? Notre première question de recherche nécessite de connaître les choix didactiques de l’enseignement des équations différentielles et les effets de ces choix sur la construction des savoirs des étudiants. Alors la deuxième question nous conduit à nous interroger sur les caractéristiques du processus de modélisation, associé aux équations différentielles, dans l’institution physique et sur le rôle les équations différentielles jouent, pour les étudiants, dans l’institution physique. Les premières parties de ces questions inscrivent dans une étude du rapport institutionnel aux équations différentielles alors que les deuxième parties dans une étude du rapport institutionnel des équations à cet objet de savoir.

Dans l’exposé… Problématique Étude des choix didactiques de l’enseignement du concept équation différentielle en mathématiques et en physique L’existence des questions de recherche nécessite sas doute de discuter les éléments de réponses que nous les avons apportés. Tout d’abord j’aimerais discuter les différents chois didactiques qui fonctionnent dans l’enseignement des équations différentielles bien entendu en mathématiques et en physique.

Rapport institutionnel à l’objet équation différentielle 2.1. L‘enseignement du concept d‘équation différentielle Rapport institutionnel à l’objet équation différentielle Décrire le rapport institutionnel de l’étudiant à un objet de savoir c’est… …déterminer ce que cet étudiant doit connaître à propos de cet objet de savoir. Dans le rapport institutionnel on vise plus précisément à connaître les attentes de l’institution en l’occurrence on vise à déterminer ce qu’un étudiant doit connaître à propos de l’objet équation différentielle.

Comment caractériser le rapport institutionnel ? 2.2. L‘enseignement du concept d‘équation différentielle Comment caractériser le rapport institutionnel ? Caractériser les rapports institutionnels par les matériaux scolaires 1. En Terminale S: Manuels scolaires En 1ère année de DEUG : -polycopiés des cours -feuilles de travaux dirigés -notes d’observation des classes Mathématiques Physique 2. Approche praxéologique Approche écologique Outil pour l’analyse de l’accès au rapport institutionnel Pour cela nous nous avons étudié au sein de deux disciplines les rapports institutionnels à ED en classe de terminale et en première année de l’université. Le fait que le rapport personnel est le résultat de assujettissement institutionnels passées et présents nous a conduit à interroger les caractéristiques de l’enseignement de ce concept en classe de terminale. Au niveau secondaire nous avons analysé chaque fois deux manuels connues au niveau national. Alors q’au niveau de DEUG première année nous avons analysé les polycopiés des cours les feuilles de travaux dirigés préparés par le responsable des cours. Pour pouvoir compléter cette étude nous avons observé des classes pendant 70 séances. Pour analyser les manuels scolaires de terminale nous avons favorisé à la fois l’approche écologique et l’approche praxéologique de la didactique des maths. Et au niveau de la première année de l’université nous avons réalisé une analyse praxéologique. En effet au niveau de l’université il ne s’agit pas des manuels utilisées régulièrement par les enseignants mais il existent des polycopiés pour des sujets précise. Le temps limité ne me permettra jamais à vous présenter toute l’étude que nous avons réalisé dans cette étape de travail.

Ce qui est attendu de l’étudiant… en mathématiques 2.3. L‘enseignement du concept d‘équation différentielle Ce qui est attendu de l’étudiant… en mathématiques DEUG Terminale Résolution algébrique (84%) Résolution algébrique (71%) Résolution algébrique (71%) Résolution algébrique (84%) Changement de registre (9%) Modélisation (7%) Modélisation (13%) Généralité (linéarité, ordre …) (8%) Changement de registre (3%) Recherche ED (5%) En effet selon Chevallard le rapport institutionnel est façonné par l’ensemble des tâches que doivent être accomplie par les personnes à l’aide des techniques déterminées. Ainsi par un simple raisonnement on peut généraliser les attentes institutionnels par ceux qui sont demandés de faire ou de réaliser aux étudiants. A ce propos je donne certains résultats qui se caractérisent par les types de tâches proposés aux étudiants. Au niveau de terminale l’analyse des manuels nous a permis de regrouper les types de tâches proposés aux étudiants en trois: Je donne les résultats obtenus de l’analyse d’un manuel. Par rapport à l’analyse faite la part prise par la catégorie qui comprennent des types de tâches relatifs à la résolution algébrique des ED linéaires est assez importante. La deuxième catégorie concerne des types de tâches relatifs au travail de modélisation et représente 13 % des tâches. Finalement la dernière catégorie se caractérise par un seul type de tâche lié au changement de représentation et elle comprend seulement 3% des tâches proposées. Au niveau de DEUG, on observe que les types de tâches les plus souvent fréquents sont relatifs à la résolution algébrique d’une ED linéaire. Les types de tâches relatifs aux différents registres sémiotiques viennent en deuxième lieu. Les autres types de tâches dont celui relatif au modélisation sont assez minoritaires. Compte tenu les parts prises par chaque type de tâches, il est observable que les types de tâches relatifs à la résolution algébrique des ED linéaire sont ceux qui caractérisent l’enseignement actuel. L’étude réalisé au niveau de l’université a montré que le contenu de l’enseignement est la continuation du choix algébrique et algorithmique fait dans l’enseignement universitaire. Relativement à notre objet d’étude deux points essentielles méritent particulièrement d’être évoqués: le manque de liens avec d’autres disciplines que les maths et en conséquence une quasi absence de travail de modélisation et l’utilisation exclusive des méthodes algébriques pour résoudre des ED.

Choix didactiques de l’enseignement des ED en mathématiques L’enseignement des équations différentielles est caractérisé par la prédominance des méthodes algébriques.

Ce qui est attendu de l’étudiant… en physique 2.4. L‘enseignement du concept d‘équation différentielle Ce qui est attendu de l’étudiant… en physique Terminale Étape 1 Définition du système (0%) Étape 2 Construction du modèle « différentiel »(21%) Travail dans le modèle (79%) Étape 2 Construction du modèle « différentiel » (21%) Travail dans le modèle (79%) Construction du modèle « différentiel » (33%) Travail dans le modèle (67%) Étape 3 Retour au réel (0%) DEUG Étape 1 Définition du système (0%) Étape 2 Construction du modèle « différentiel »(33%) Travail dans le modèle (67%) Étape 3 Retour au réel (0%) Si on met en évidence les trois étapes du processus de modélisation pour regrouper les différents types de tâches compatibilisés dans les manuels de physique, on remarque qu’ils favorisent tous l’étape 2 dont une grande partie conduit l’étudiant à travailler dans le modèle construit. Au delà de la favorisation d’une seule étape du processus de modélisation nous avons remarqué que les manuels analysés permettent d’algorithmiser la recherche de l’ED des systèmes électriques tout en l’apportant à l’application de certaines lois physiques. En effet la manière d’étudier des phénomènes physiques à l’aide d’une ED se résume en trois étapes. A; Identification d’une lois théorique qui représente les relations entre les différents composantes du système étudié B; Etablissement de l’ED traduisant le phénomène étudié C; résolution de cette ED En DEUG l’étude réalisée montre que que le processus de modélisation est remplacé, même à ce niveau par une étude algorithmique. Ce choix conduit les étudiants à travailler directement sur partir des modèles qu’ils ne discutent pas.

Caractéristiques du processus de modélisation à l’aide des ED? Le processus de modélisation à l’aide des équations différentielles est remplacé par une étude algorithmique.

Dans l’exposé… Problématique Étude des choix didactiques de l’enseignement du concept équation différentielle en mathématiques et en physique Étude des conséquences de ces choix sur l’apprentissage du concept chez les étudiants de la première année de l’université La caractérisation des choix didactiques à propos de l’enseignement des équations différentielles a été présenté ici par les attentes institutionnels. Maintenant je vais présenter une partie des effets de ces choix sur l’apprentissage de cet objet chez les étudiants. ceci implique pour nous de connaître les différents caractéristique de rapport personnels des étudiants à l’objet ED

3.1. L‘apprentissage du concept d‘équation différentielle Rapports personnels des étudiants à l’objet équation différentielle- Dispositif expérimental En mathématiques En physique Deux tests Étude sur les généralités des ED Étude qualitative Étude d’un circuit électrique modélisé par une ED Étude expérimentale Étude théorique Pour accéder au rapport personnel des étudiants nous avons proposé deux test dont chacun s’inscrit dans une discipline. En prenant en compte les résultats de l’analyse des rapports institutionnels dans le test proposé en mathématique, nous avons invité les étudiants à réaliser trois types d’études: Un étude portant sur le concept d’ED, une étude se centrant sur la résolution des ED et une étude interdisciplinaire. Alors qu’en physique; nous avons mis en place un test dans lequel nous avons voulu faire vivre deux types de démarches de l’établissement des ED des systèmes électriques. L’une est celle théorique qui fonctionne toujours dans l’enseignement actuel et l’autre est celle expérimentale qui ne se voit jamais dans l’enseignement actuel. Dans cette partie de mon exposé je vais vous présenté une partie des activités proposées aux étudiants et ainsi les résultats obtenus à ces activités.

Conceptions des étudiants 3.2. L‘apprentissage du concept d‘équation différentielle Conceptions des étudiants 47 étudiants Exercice proposé 13 étudiants ont des conceptions correctes 34 étudiants 21 étudiants réduisent toutes les ED aux linéaires 5 étudiants exigent forcément une fonction et l’une de ses dérivées dans une ED 3 étudiants associent le signe de dérivation aux ED Dans un premier temps j’aimerais attirer votre attention sur les effets de l’enseignement qui privilégie particulièrement les ED linéaire sur les conceptions des étudiants. le mot de conception est utilisé dans notre travail au sens plus générale et non pas dans le sens limitatif de la didactique. Pour cela nous avons proposé une activité qui nécessite de travailler sur six expressions algébriques. Les expressions écrites en rouge sont proposée pour mettre à épreuve les connaissances des étudiants sur les ED linéaires. Celle écrite en jaune vise à évaluer les savoirs opérationnels des étudiants sur les ED non linéaires. Alors que les expressions écrites en bleu sont spéciales. Elles nécessitent d’une étude préparatoire tout en attribuant un rôle au symbole x et t. Je détaille un peu si on accepte que x et t représentent des varaibles indépendantes ces expressions ne représentent pas une ED. comme –sin x+x=0 et et=0 Si on accepte chacun de ces symboles joue le rôle d’une fonction elle représente dans ce cas la des ED et ainsi elles conduisent les étudiants à travailler sur les ED non linéaires du type. –x’.sinx(t)+x=0 et t’et=0 Nous avions deux observables aptes à repérer les différentes conceptions attachées à l’objet ED. la représentation d’une ED et l’identification faite par les étudiants La référence à la nature des ED L’analyse réalisée est organisée autour de la première observable A partir des réponses obtenues à cette question nous avons observé qu’une petite partie des étudiants ont identifié correctement les expressions proposées. L’activité proposée nécessitait de justifier les réponses données. Mais seulement deux étudiants ont tenté de justifier les ED linéaires en faisant appel à la forme générale des ED linéaire. Ceci montre que même si les savoirs acquis sont opérationnels les étudiants n’arrivent pas à les exprimer. Alors qu’une grande partie des étudiants ont données des réponses qui nous permettent de prononcer l’existence de certains conceptions. Nous avons ainsi noté que pour 21 étudiants toutes les ED doivent être linéaires. Cette conception selon nous est le résultat de travailler toujours toujours sur les ED linéaires. Les autres étudiants possèdent différentes conceptions. Parmi eux 5 étudiants, afin de la définir comme une ED, cherchent dans chaque expression proposée une fonction inconnue et l’une de ses dérivées sans prendre en compte qu’un ou plusieurs coefficients peuvent être nuls. Pour 3 autres étudiants la présence de symbole de dérivation signifie aux ED. Les ED en tant qu’un concept sont largement méconnues du public concerné.

Viabilité d’une autre approche 3.3. L‘apprentissage du concept d‘équation différentielle Viabilité d’une autre approche Etudier le comportement de la fonction solution y(x) quand x  tend vers + pour l’équation différentielle : y' (x)=-y(x)+g(x) satisfaisant y(2)=4. Technique qualitative Technique algébrique Tracer le graphique de la fonction g(x) définie par g(x)=3 si 0 x 1 et g(x)=2e1-x + 1 si x  1. Pour montrer d’une autre façon les effets de choix algébrique sur les pratiques des étudiants nous avons voulu testé la viabilité d’une autre approche que celle algébrique en l’occurrence celle qualitative. En effet pour étudier une ED il existe trois mode de résolution celle algébrique, numérique et qualitative. Pour l’approche qualitative est plus familière au public concerné que celle numérique bous avons décidé de favorisé cette dernière. En plus lors de l’expérimentation la résolution numérique implique l’utilisation d’une calculatrice et nous disposions de très peu du temps pour le test proposé. Pour ne pas perdre du temps nous avons éviter de faire appel à cette résolution. Avant de donner l’activité qui conduit les étudiants à la résolution qualitative nous avons proposé une activité préparatoire qui facilite cette résolution. Cependant je note que la résolution algébrique se présente toujours comme une technique qui permet de résoudre la tâche proposée. Je vous invite maintenant de consulter la réponse donnée par un étudiant.

Zone I Zone II - Définir le signe de la première fonction dérivée de y(x) : y'(x)= -y(x) +2e1-x+1 - Construire un tableau de variation 2e1-x+1 y'(x) y(x) + - Tout d’abord on constate que cet étudiant a répondu correctement à l’activité préparatoire tout en traçant le graph de la fonction g(x). Cette réponse rend en effet remarquablement facile la résolution de la question posée à l’aide de la technique qualitative. Pour cela l’étudiant doit fractionner tout d’abord le plan cartésien à l’aide de l’isocline zéro. En effet l’isocline zéro doit être la même forme que le graphe tracé à l’activité préparatoire. Après avoir fractionné le plan l’étudiant soit déterminer le comportement de la fonction y(x). Pour accomplir cette tâche on s’intéresse au signe de la première dérivée de la fonction y(x). Construction le tableau de variation pour cette fonction il est possible de conclure que y(x) tend vers 1 quand x tend vers l’infini. Contrairement à cette résolution qualitative et relativement simple voici la réponse donnée par cet étudiant: il s’agit d’une série de calcul assez longs et compliquée. Si on se questionne sur ce qui est proposé par les autres étudiants.. On remarque que celui-ci n’est le seul qui a choisi cette technique. Zone II Zone I

Implications de la prédominance de la résolution algébrique 3.5. L‘apprentissage du concept d‘équation différentielle Implications de la prédominance de la résolution algébrique Technique qualitative (aucun étudiant) Technique algébrique (45 étudiants) Groupe 1 15 étudiants 10 réponses correctes Groupe 2 13 étudiants Groupe 3 17 étudiants Tous les étudiants ayant répondu à la question posée ont choisi la technique algébrique dont 38 étudiants ont répondu correctement à la question préparatoire. Les productions des étudiants nous ont montré qu’il est quasiment impossible d’amener les étudiants à utiliser une autre technique que celle algébrique à la quelle ils sont fortement habitués. Les choix faits par tous ces étudiants montrent l’effet du contrat algébrique da,s les pratiques des étudiants qui se traduit par un blocage notable dans leurs raisonnement. Par un simple raisonnement, comme il s’agit d’une technique qui caractérise l’enseignement actuel, il est évident de se questionner sur la validité des réponses données à l’aide de cette technique. Nous avons déçue d’observé que seulement 10 étudiants ont réussi à aboutir à une réponse correcte. Face à un tel échec dans un 2ème temps nous nous sommes questionné sur l’application de cette technique. Ceci nous a permis de catégorisé ces étudiants en trois groupes. le premier groupe est construit par les étudiants qui ont appliqué entièrement la technique en question, un deuxième groupe concerne les étudiants qui ont appliqué partiellement la technique en question mais qui se sont focalisé sur la tâche initiale. Alors que le troisième groupe concerne une partie importante des étudiants qui se focalisent sur la résolution algébrique de l’ED proposée tout en ignorant la tâche initialement proposée. ce type d’études pour nous témoigne à la réduction de la tâche proposée à la résolution de l’ED en question. La répétition importante des mêmes types de tâches relativement à la résolution algébrique de ce type d’ED n’assure portant pas chez une grande partie des étudiants une réussite absolue. En effet les réponses obtenues mettent fortement l’accent sur des lacunes au niveau des calculs algébriques.

Implications de la "modélisation algorithmisée" 3.6. L‘apprentissage du concept d‘équation différentielle Implications de la "modélisation algorithmisée" t(ms) (t0) (t0 ; (u(t0)) u(volt) 1 a "Trouver la courbe WW telle qu’en traçant la tangente WC jusqu’à l’axe x, XC soit toujours égale à un même segment constant a. » (Debeaune 1638) i(t) L,r R Rg E Etablir l’équation différentielle qui représente le circuit ci-dessus à l’instant t à partir des lois de l’électrocinétique. Justifier chaque étape de votre raisonnement. Comme on a pu constaté tout à l’heure le processus de modélisation des circuits électriques est réduit à une étude algorithmique qui demande systématiquement de trouver tout d’abord l’ED traduisant le circuit étudié tout en passant par la loi des mailles ensuite de résoudre cette ED. pour décrire les effets de cette étude algorithmique il nous paru intéressant de faire trouver les étudiants l’ED d’un circuit électrique d’une façon différente que celle habituée. Par exemple en favorisant une démarche expérimentale. Nous avons proposé aux étudiants une activité qui trouve son origine dans l’une des questions épistémologiques qui donne naissance aux ED. pour présenté cette question j’ouvre un grand parenthèse. Il s’agit de la question posée par De beaune en 1638. Cette question nécessite de trouver la représentation algébrique de la courbe WW tracée en rouge. Voici la question que nous avons proposé aux étudiants en s’inspirant de cette question. On considère un circuit comportant une résistance R, une bobine d’inductance L et de résistance r. Initialement l’intensité dans le bobine vaut i0. Ce graphe représente la courbe que nous avons appelé beta qui décrit l’évolution de la tension aux bornes de la résistance. Nous avons proposé aux étudiants de trouver l’ED décrivant cette courbe. Comme il s’agit d’une tâche inhabituelle, pour la faciliter nous avons donné l’équation de la tangent à une courbe quelconque. Cette tâche nécessite de mobiliser les compétences acquises avec un point de vue mathématiques dans un autre domaine. En tenant compte des caractéristiques du rapport institutionnel décrit dans le champ de l’électrocinétique, nous avons proposé aux étudiants de modéliser à l’iade d’une ED.. Il s’agit d’une tâche familière aux étudiants dès la classe de terminale. dans cette activité nous avons proposé d’étudier le même circuit électrique proprément sit de trouver l’ED qui représente ce circuit. Nous demander aussi de justifier les étapes réalisées dans les réponses données pour connaûtre si les étudiants accomplissent une telle tâche d’une façon automatique ou ils arrivent à expliquer leur raisonnements. Etablir l’équation différentielle décrivant la courbe ci-dessus sachant que le paramètre  est constant (l’équation de la tangente à une courbe quelconque en un point donné, par exemple t0 est donnée par :f(t)-f(t0)=f‘(t0)(t-t0)).

Réponses obtenues Démarche expérimentale (24 étudiants) 3.7. L‘apprentissage du concept d‘équation différentielle Réponses obtenues Démarche expérimentale (24 étudiants) Démarche théorique (49 étudiants) 2 réponses correctes f’(t)+(1/)f(t)=0 40 réponses correctes L.i'(t)+(R+r)i(t)=0 22 réponses erronées f’(t0)+(1/)f(t0)=0 f’(t0)+(1/)f(t0)=y Quels sont les résultats obtenus à l’aide des réponses données à la première question. Parallément à l’orientation faite dans la question posée une partie des étudiants à mobilisé une démarche expéreimantale tout en appliaunt une technique graphique. Cependant nous constatons que la quasi-totalité des étudiants confond l’ED de la courbe avec l’équation écrite pour un seul point de cette courbe. 22 étudiants utilisent l’équation de la tangente donnée et obtiennent une équation de la droite valable en un point donné. . ceci met en évidence une incompréhension du concept d’ED. en effet pour ces étudiants toute la relation entre une fonction et ses dérivées est une ED même si cette relation est valable qu’en un seul point. En constate en autre qu’aucun étudiant ne fait pas référence à l’origine de la fonction donnée qui représente la tension aux bornes de R. On se questionne toujours si les 1à autres étudiants ayant mobilisé une technique théorique ont répondu correctément à cette question. Et la réponse est non. Les réponses données montrent l’incohérence entre la courbe proposée et les ED proposées. En effet la courbe proposée représente l’évolution de la tension aux bornes de la R tandis que les ED proposées se centrent sur le courant électrique qui travers le circuit. Ceci aussi est un résultat de l’étude algorithmique qui conduit systématiquement les étudiants à écrire l’ED qui représente l’évolution du courant. Alors que les réponses donnée à l’autre question montrent que quasi totalité du public concerné s’investit dans la tâche proposée. on observe aussi une réussite importante. Nous avons observé qu’aucun étudiant ne tente de justifier la réponse donnée. Ceci se manifeste comme un automatisme développé par les étudiants à propos de l’établissment des ED. il a été observé que les étudiants commencent pas l’aplication de la loi des mailles et terminent par l’obtention de l’ED du système. La différence observé entre les réponses données à ces deux questions montre qu’une grande partie des étudiants ne sont pas capable d’établir l’ED d’un système en dehors des situations typiques de l’enseignement et qu’ils ont développé des automatisme permettant de construire leur modèle pour travailler les circuits électriques. 9 réponses erronées Démarche théorique (10 étudiants)

3.8. L‘apprentissage du concept d‘équation différentielle Le concept d’équation différentielle a-t-il du sens pour l’étudiant en physique? f(t)=t.et est-elle la solution de l’équation différentielle traduisant le fonctionnement d’un circuit électrique RL? (u’(t)+(1/)u(t)=0 /f’(t)+(1/)f(t)=0)) La tension existante aux bornes de la résistance d’un circuit RL peut-elle s’annuler en un temps fini ? Pourquoi ? Etudiant: "Pour que la tension soit nulle à la résistance il faut que i(t) soit nul. Pour cela il faut que e-((r+R)t)/L soit nul; ce qui n’est possible que pour t=. Donc la tension ne peut pas être nulle en un temps fini, mais elle sera très proche de 0" . 70% Maths ou Physique Je continue à approfondir en peu plus ce propos en se posant une autre question, le concetp d’ED a du sens en phyqiue. Je vous montre le deux derniers exemples tirés de notre expérimentation. Il s’agit d’une question qui nécessite de vérifier si la fonction f(t) est la solution de l’équation différentielle traduisant un circuit élcetrique. En effet il s’agit d’une ED faite trouvée aux étudiants. le but essentiel est de connaître le degré de mobilisation des différents savoirs et les relations possibles entre ces savoirs et aussi de discerner si les symboles maths ayant une origine physique possèdent réellemnt du sens pour les étudiants. il s’agit de deux techniques, selon nous, permettant d’executer la tâche proposée. une technique à caractère physique: cette technique nécessite de se questionner sur la représenation physique de chaque symbole de la fonction proposée. alors qu’une deuxième technique à caractère maths conduit les étudiants soit à se questionner sur la congruence entre la sol proposée et la courbe donnée soit à trouver la solution de l’ED et à la comparer à la solution proposée. voici une réponse donnée à une telle activité.. En effet une grande partie des étudiants mobilisent ce type des techjniques dites à caractère mathématique. Ce choix montre que le concept d’ED et sa solution restent toujours dans le cacdre maths même s’ils représentent un système physique où ils devraient gagner des dimensions et du sens. La dernière question qui nous vérifie ce constat nécessite de se questionner sur l’avenir d’un système physique. plus particluièrement afin de connaître les raisonnement des étudiants nous ont leur demandé de commenter l’avenir d’un système. Nous avons voulu testé la capacité des étudiants à relier les données théoriques aux données expériemantels et à mobiliser des connaissances du champs de maths et de la physique. Une des réponses est comme suivante….. Les réponses obtenues nous permettent de vérfier que cette question a été abordé par une grande partie des étudiants par un raisonnement maths. Ces étudiants ont affirmé que la tension ax bores de la résistance ne peut pas s’annuler en un temps fini. Les résultats données ici montrent que les tâches portant sur une situation p ont été résolu par une grandre partie des étudiants en mobilisant des connaissances acquises en maths. Ceci montre explicitement que cet objet n’acquiert pas du sens auprès de ces étudiants. 76%

Choix institutionnels… et l’étudiant… Le processus de modélisation à l’aide des équations différentielles est remplacé par une étude algorithmique. L’enseignement des équations différentielles est caractérisé par l’application des méthodes algébriques. Difficultés à comprendre et à connaître « le concept d’équation différentielle », Cloisonnement entre les deux disciplines: Difficultés à mobiliser et à intégrer les connaissances relatives à l’objet équations différentielles, Limitation aux systèmes familiers Difficultés à donner du sens physique aux équations différentielles.

Dans l’exposé… Problématique Étude des choix didactiques de l’enseignement du concept équation différentielle en mathématiques et en physique Étude des conséquences de ces choix sur l’apprentissage du concept chez les étudiants de la première année de l’université Perspectives

Perspectives pour une ingénierie Systèmes dynamiques Démarche expérimentale Construction du modèle Interprétation Résolution Qualitative et/ou numérique Équation différentielle Résolution mathématique Résultat mathématique

Merci…

Champ expérimental de référence Théorie Modèle Champ expérimental de référence Validation Point de vue du physicien A. Tiberghien, 1994 Principes, lois… Formalisme: relations entre quantités physiques… Mesures, dispositifs expérimentales…