Transformations linéaires et sous-espaces associés Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Nous allons maintenant présenter un autre aspect des transformations linéaires, celui des sous-espaces vectoriels associés. Nous présenterons d’abord comment déterminer la préimage d’un élément de l’espace d’arrivée en résolvant un système d’équations linéaires non homogène ainsi que la préimage du vecteur nul en résolvant un système d’équations linéaires homogène. Nous présenterons ensuite le noyau (ker T) d’une transformation linéaire qui est le sous-espace de l’espace de départ formé de tous les vecteurs dont l’image par la transformation est le vecteur nul de l’espace d’arrivée. Puis, nous présenterons l’image (Im T) d’une transformation linéaire qui est le sous-espace de l’espace d’arrivée formé de tous les vecteurs qui sont l’image par la transformation d’au moins un vecteur de l’espace de départ.

T(x; y) = (x – 2y; 2x – y) = (1; –4) Exemple 7.3.5 Soit la transformation linéaire définie par T(x; y) = (x – 2y; 2x – y). Trouver la préimage du vecteur (1; –4) par la transformation linéaire. On cherche un vecteur (x; y) de R2 tel que : T(x; y) = (x – 2y; 2x – y) = (1; –4) x – 2y = 1 2x – y = –4 Ce qui donne le système d’équations : 1 2 –2 –1 Le déterminant de la matrice des coefficients est : = 3 ≠ 0 Le déterminant est non nul; le système a donc une solution unique que l’on obtient facilement par la méthode de Cramer. 1 –4 –2 –1 1 2 –4 –9 –2 x = = = –3 et y = = = –2 S 3 3 3 3 La préimage est donc le vecteur (–3; –2).

Transformation et système d’équations Pour déterminer la préimage d’un élément par une transformation linéaire, on doit résoudre un système d’équations linéaires. On peut alors rencontrer différentes situations : Si on cherche la préimage d’un vecteur non nul : lorsque le système d’équations a une solution unique, cela signifie que le vecteur a une seule préimage; lorsque le système d’équations a une infinité de solutions, cela signifie que le vecteur a une infinité de préimages; lorsque le système d’équations n’a pas de solution, cela signifie que le vecteur n’a pas de préimage. Si on cherche la préimage du vecteur nul : lorsque le système d’équations a une solution unique, cela signifie que le vecteur nul a une seule préimage; lorsque le système d’équations a une infinité de solutions, cela signifie que le vecteur nul a une infinité de préimages.

Exemple 7.3.6 Soit la transformation linéaire définie par T(x; y) = (x – 2y; –2x + 4y). Trouver la préimage de (0; 0) par cette transformation. 1 –2 4 x y = En représentant par une équation matricielle, on a : Tous les vecteurs algébriques de la forme t(2; 1) ont le vecteur (0; 0) comme image. 1 –2 4 Le déterminant de la matrice des coefficients est : = 0 L’équation de la droite support de ces vecteurs est : y = x/2 On doit utiliser la méthode de Gauss qui donne : 1 –2 4 ≈ L1 L2 + 2L1 1 –2 On constate que y est une variable libre et x une variable liée. En posant y = t, on a x – 2t = 0, d’où x = 2t. L’ensemble-solution est : {(x; y) | x = 2t et y = t} On a une infinité de solutions. Ce sont tous les vecteurs d’un sous-espace vectoriel de l’espace de départ. Ces vecteurs sont de la forme (2t; t) = t(2; 1), d’où l’on tire la base {(2; 1)}. Le sous-espace des vecteurs dont l’image est (0; 0) est donc de dimension 1. S S

Noyau S DÉFINITION Noyau d’une transformation linéaire Soit T, une transformation de U dans V, où U et V sont deux espaces vectoriels sur un corps K. On appelle noyau de T, noté ker T, le sous-espace vectoriel de U formé des éléments dont l’image par la transformation est l’élément neutre (ou le vecteur nul de V). Symboliquement : ker T = { u Î U | T( 0V ) = } , où est le vecteur nul de V Remarque Pour déterminer ker T, le noyau d’une transformation linéaire T, il faut résoudre un système d’équations homogène. On rencontre deux cas, selon que le système a : une solution unique ker T ne contient alors que l’élément neutre. une infinité de solutions, ker T est alors un sous-espace non trivial de U. S

Noyau S THÉORÈME ker T est un sous-espace vectoriel Soit U et V, deux espaces vectoriels sur un corps K, et soit T, une transformation de U dans V (T : U ® V). Alors, ker T est un sous-espace vectoriel de U. ker T est un sous-espace vectoriel de l’espace de départ de la transfor-mation linéaire. C’est le sous-espace formé des vecteurs dont l’image par la transformation est le vecteur nul de l’espace d’arrivée. Pour démontrer ce théorème, il faut montrer que ker T est non vide, fermé pour l’addition et pour la multiplication par un scalaire. S

Exemple 7.3.7 a Soit la transformation linéaire définie par T(x; y) = (x – 2y; –2x + 4y). Trouver la préimage de (–3; 2) par cette transformation. 1 –2 4 –3 2 x y = En représentant par une équation matricielle, on a : 1 –2 4 Le déterminant de la matrice des coefficients est : = 0 On doit utiliser la méthode de Gauss qui donne : 1 –2 4 –3 2 ≈ L1 L2 + 2L1 1 –2 –3 4 Le système n’a aucune solution. Par conséquent, le vecteur (–3; 2) n’a pas de préimage. Ce qui, en regard des fonctions, signifie qu’il ne fait pas partie de l’image de la transformation.

Exemple 7.3.7 b Soit la transformation linéaire définie par T(x; y) = (x – 2y; –2x + 4y). Trouver à quelle condition un élément (a; b) a une préimage par cette transformation. 1 –2 4 a b x y = Im T est donc le sous-espace vectoriel formé des vecteurs engendrés par le vecteur (1; –2). On a donc une base, BIm T = {(1; –2)}, et la dimension du sous-espace est 1. En représentant par une équation matricielle, on a : Par la méthode de Gauss on obtient : 1 –2 4 a b ≈ L1 L2 + 2L1 1 –2 a b + 2a Chaque droite de l’ensemble de départ qui est parallèle à ker T a un point comme image et l’en-semble de ces points forme une droite qui est Im T. Le système admet des solutions si 2a + b = 0. C’est à cette condition que doit satisfaire un vecteur de l’espace d’arrivée pour avoir une préimage. Nous appelons Im T le sous-ensemble de l’espace d’arrivée formé des éléments qui ont une préimage par T. On a donc : Im T = {(a; b) Î R2 | 2a + b = 0} La forme générale des vecteurs de Im T est alors : (a; –2a) = a(1; –2) S S

Image S DÉFINITION Image d’une transformation linéaire Soit T, une transformation de U dans V, où U et V sont deux espaces vectoriels sur un corps K. On appelle image de T, noté Im T, le sous-espace vectoriel de V formé des éléments qui sont l’image d’un élément de U par la transformation. Symboli-quement : Im T = { v Î V | $ u Î U, T( } ) = Remarque Pour déterminer Im T, l’image d’une transformation linéaire T, il faut résoudre un système d’équations dont les constantes sont des paramètres. On doit déterminer à quelle condition doivent satisfaire ces paramètres pour que le système ait une ou des solutions. S

Image S THÉORÈME ImT est un sous-espace vectoriel Soit U et V, deux espaces vectoriels sur un corps K, et soit T, une transformation de U dans V (T : U ® V). Alors, Im T est un sous-espace vectoriel de V. Im T est un sous-espace vectoriel de l’espace d’arrivée de la transfor-mation linéaire. C’est le sous-espace formé des vecteurs qui sont l’image d’au moins un vecteur de U par la transformation linéaire. Pour démontrer ce théorème, il faut montrer que Im T est non vide, fermé pour l’addition et pour la multiplication par un scalaire. S

Exemple ker T = {(x; y; z) Î R3 | x = –t, y = –2t et z = t} S S S Soit la transformation linéaire T: R3 ® R3 définie par : T(x; y; z) = (x – 2y –3z; 3x – 4y – 5z; 2x – 2y – 2z) Déterminer ker T. En donner une base et la dimension. On cherche (x; y; z) dans l’espace vectoriel de départ tel que : On trouve donc : x – 2y – 3z = 0 3x – 4y – 5z = 0 2x – 2y – 2z = 0 ker T = {(x; y; z) Î R3 | x = –t, y = –2t et z = t} T(x; y; z) = (0; 0; 0), d’où : Les éléments de ker T sont les vecteurs de la forme générale : (–t; –2t; t) = t(–1; –2; 1) Par la méthode de Gauss-Jordan, on obtient : Tous les vecteurs de ker T sont engendrés par (–1; –2; 1) et ce vecteur est linéairement indépendant, puisqu’il est non nul. 1 3 –2 –4 –3 –5 2 ≈ L1 L2 – 3L1 L3 – 2L1 1 –2 2 –3 4 On a donc Bker T = {(–1; –2; 1)} et , puisque la base contient un seul vecteur, la dimension de ker T est 1. ≈ L1 + L2 L2 L3 – L2 1 2 4 ≈ L1 L2 /2 L3 1 2 S S S

Exemple S S S Soit la transformation linéaire T: R3 ® R3 définie par : T(x; y; z) = (x – 2y –3z; 3x – 4y – 5z; 2x – 2y – 2z) Déterminer Im T. En donner une base et la dimension. On trouve donc : Im T = {(a; b; c) Î R3 | a – b + c = 0} On cherche les triplets (a; b; c) dans l’espace vectoriel d’arrivée tels qu’il existe au moins un triplet (x; y; z) de l’espace de départ pour lequel : En isolant c dans la condition a – b + c = 0, on a c = – a + b. La forme générale des vecteurs est alors : (a; b; – a + b) = a(1; 0; –1) + b(0; 1; 1) x – 2y – 3z = a 3x – 4y – 5z = b 2x – 2y – 2z = c T(x; y; z) = (a; b; c), d’où : Tous les vecteurs de Im T sont engendrés par les vecteurs (1; 0; –1) et (0; 1; 1) qui sont linéairement indépendants, puisque : (a; b; – a + b) = (0; 0; 0) donne une solution unique a = 0 et b = 0. Par la méthode de Gauss, on obtient : 1 3 –2 –4 –3 –5 a b 2 c ≈ L1 L2 – 3L1 L3 – 2L1 1 –2 2 –3 4 a b – 3a c – 2a On a donc BIm T = {(1; 0; –1), (0; 1; 1)} et, puisque la base contient deux vecteurs, la dimension de Im T est 2. ≈ L1 L2 L3 – L2 1 –2 2 –3 4 a b – 3a a – b + c S S S

Sous-espaces associés Soit la transformation linéaire T: R3 ® R3 définie par : T(x; y; z) = (x – 2y –3z; 3x – 4y – 5z; 2x – 2y – 2z) ker T est un sous-espace de l’espace de départ de la trans-formation linéaire. Im T est un sous-espace de l’espace d’arrivée de la trans-formation linéaire.

Exercice ker T = {(x; y; z) Î R3 | x = –5t, y = –2t et z = t} S S Soit la transformation linéaire T: R3 ® R3 définie par : T(x; y; z) = (x – 3y – z; 2x – 4y + 2z; 5x – 11y + 3z) Déterminer ker T. En donner une base et la dimension. On cherche (x; y; z) dans l’espace vectoriel de départ tel que : On trouve donc : x – 3y – z = 0 2x – 4y + 2z = 0 5x – 11y + 3z = 0 ker T = {(x; y; z) Î R3 | x = –5t, y = –2t et z = t} T(x; y; z) = (0; 0; 0), d’où : Les éléments de ker T sont les vecteurs de la forme générale : (–5t; –2t; t) = t(–5; –2; 1) Par la méthode de Gauss-Jordan, on obtient : Tous les vecteurs de ker T sont engendrés par (–5; –2; 1) et ce vecteur est linéairement indépendant, puisqu’il est non nul. 2 –4 1 –3 –1 5 –11 3 ≈ L1 L2 – 2L1 L3 – 5L1 1 –3 2 –1 4 8 On a donc Bker T = {(–5; –2; –5)} et , puisque la base contient un seul vecteur, la dimension de ker T est 1. ≈ 2L1 + 3L2 L2 L3 – 2L2 2 10 4 ≈ L1/2 L2 /2 L3 1 5 2 S S

Exercice S S Soit la transformation linéaire T: R3 ® R3 définie par : T(x; y; z) = (x – 3y – z; 2x – 4y + 2z; 5x – 11y + 3z) Déterminer Im T. En donner une base et la dimension. On cherche les triplets (a; b; c) dans l’espace vectoriel d’arrivée tels qu’il existe au moins un triplet (x; y; z) de l’espace de départ pour lequel : On trouve donc : Im T = {(a; b; c) Î R3 | –a – 2b + c = 0} En isolant c dans la condition –a – 2b + c = 0, on a c = a + 2b. La forme générale des vecteurs est alors : x – 3y – z = a 2x – 4y + 2z = b 5x – 11y + 3z = c T(x; y; z) = (a; b; c), d’où : (a; b; a + 2b) = a(1; 0; 1) + b(0; 1; 2) Tous les vecteurs de Im T sont engendrés par les vecteurs (1; 0; 1) et (0; 1; 2) qui sont linéairement indépendants, puisque : (a; b; a + 2b) = (0; 0; 0) donne une solution unique a = 0 et b = 0. Par la méthode de Gauss-Jordan, on obtient : 1 2 –3 –4 –1 a b 5 –11 3 c ≈ L1 L2 – 2L1 L3 – 5L1 1 –3 2 –1 4 a b – 2a 8 c – 5a On a donc BIm T = {(1; 0; 1), (0; 1; 2)} et, puisque la base contient deux vecteurs, la dimension de Im T est 2. ≈ 2L1 + 3L2 L2 L3 – 2L2 2 10 4 a b – 2a –a – 2b + c S S

Algèbre des transformations linéaires Les transformations linéaires sont représentables par des matrices. On peut donc effectuer, sur les transformations linéaires, les mêmes opérations que sur les matrices. Cela signifie que l’ensemble des transformations linéaires sur deux espaces vectoriels donnés a la même structure que l’ensemble des matrices associées, soit la structure d’espace vectoriel. S S

Addition S DÉFINITION Addition de transformations linéaires Soit U et V, deux espaces vectoriels sur un corps K, T:U® V et S : U® V, deux transformations linéaires. L’addition de ces trans-formations, notée T + S est la transformation linéaire définie par : (T + S) ( ) = T( u ) + S( ), pour tout Î U En pratique, on détermine la matrice de la transformation T + S en additionnant les matrices de ces transformations. Elles seront compatibles pour l’addition puisque le nombre de colonnes de ces matrices est la dimension de l’espace de départ U et le nombre de lignes est la dimension de l’espace d’arrivée V. S

Multiplication par un scalaire DÉFINITION Multiplication par un scalaire d’une transformation linéaire Soit U et V, deux espaces vectoriels sur un corps K, T:U® V une transformation linéaire et k Î K, un scalaire. La multiplication de la transformation par le scalaire k, notée kT est la transformation linéaire définie par : (kT) ( ) = kT( u ), pour tout Î U En pratique, on détermine la matrice de la transformation kT en multipliant la matrice de la transformation T par le scalaire k. Les propriétés des opérations sur les transformations linéaires sont les mêmes que celles des opérations sur les matrices. S

Exemple 7.3.11 Soit T: R3 ® R2, définie par T(x; y; z) = (x + y – 3z; 4x – 5y + 2z), et S: R3 ® R2, définie par S(x; y; z) = (2x – 4y + 2z; 2x + 3y + z), deux transformations linéaires. Représenter chacune de ces transformations par une matrice. Déterminer la matrice décrivant la transformation T + S. Déterminer la matrice décrivant la transformation 2T – 3S. 1 4 –5 –3 2 2 –4 3 1 3 6 –3 –2 –1 T = , S = , T + S = 1 4 –5 –3 2 2 –4 3 1 2T – 3S = 2 – 3 2 8 –10 –6 4 –6 12 –9 –3 –4 2 14 –19 –12 1 = + = S

Espace vectoriel S THÉORÈME Espace vectoriel des transformations linéaires Soit U et V, deux espaces vectoriels sur un corps K. L’ensemble des transformations linéaires de U dans V, noté L(U, V), muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire, forme un espace vectoriel sur le corps K. On doit démontrer que les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire satisfont aux dix propriétés donnés dans la définition d’espace vectoriel. Dans le présent cours, nous accepterons ce théorème sans démonstration. S

Composition S DÉFINITION Composition de transformations linéaires Soit U, V et W, trois espaces vectoriels sur un corps K, T:U® V et S : V® W, deux transformations linéaires. La composition de ces transformations, notée S • T est la transformation linéaire définie par : (S • T) ( ) = S(T( u )) , pour tout Î U Pour déterminer l’image d’un vecteur par S•T, il faut procéder par l’intérieur. On doit d’abord déterminer dans V l’image par T du vecteur de U, puis déterminer dans W l’image par S du vecteur de V. S

Composition THÉORÈME Composition de transformations linéaires Soit U, V et W, trois espaces vectoriels sur un corps K, T:U® V et S : V® W, deux transformations linéaires. Alors, S • T, la compo-sition de ces transformations linéaires est une transformation linéaire de U dans W. Pour démontrer ce résultat, il faut montrer que S•T satisfait aux deux conditions de linéarité, soit : de U, et pour tout k Î K : u Pour tout vecteur et v u a) S•T( + v ) + S•T( ) = ) u b) S•T(k ) k S•T( ) =

Exemple 7.3.12 Soit T: R3 ® R2, définie par T(x; y; z) = (x + 3y – 2z; 3x + 2y – 5z), et S: R2 ® R3, définie par S(x; y) = (x – 2y; 3x + y; 2x – 5y), deux transformations linéaires. Indiquer l’espace de départ et l’espace d’arrivée de la transformation T•S; déterminer la matrice décrivant cette transformation. Indiquer l’espace de départ et l’espace d’arrivée de la transformation S•T; déterminer la matrice décrivant cette transformation. Pour effectuer la transformation T•S, on applique d’abord S de R2 dans R3, puis T de R3 dans R2. La transformation T•S est donc une transformation de R2 dans R2. La matrice représentant cette trans-formation est obtenue par le produit des matrices de ces trans-formations : Pour effectuer la transformation S•T, on applique d’abord T de R3 dans R2, puis S de R2 dans R3. La transformation S•T est donc une transformation de R3 dans R3. La matrice représentant cette trans-formation est obtenue par le produit des matrices de ces trans-formations : 1 –2 2 3 –5 –5 –1 8 1 3 2 –2 –5 6 11 1 –2 2 3 –5 T•S = 1 3 2 –2 –5 = 6 11 –11 S•T = = –1 21 2 ´3 2 ´2 3 ´2 2 ´3 –13 –4 21 3 ´2 3 ´3 S

Transformation linéaire inversible Nous avons vu au chapitre 4 que les matrices carrées dont le déterminant est non nul sont inversibles. Une transformation linéaire de Rn dans Rn est représentée par une matrice carrée n ´n. Elle sera donc inversible si le déterminant de la matrice qui lui est associée est non nul. La matrice inverse permet de trouver la préimage par la transformation linéaire, c’est-à-dire qu’elle permet de déterminer, par un produit de matrices, le vecteur dont l’image par la transformation linéaire est connue. La recherche de cette préimage revient à résoudre le système d’équations par la méthode de la matrice inverse. S

Exemple 7.3.13 a Soit T: R3 ® R3, où T(x; y; z) = (x + 3y – 2z; 2x – y + 4z; 3x – 2y + 5z). Déterminer si la transformation linéaire est inversible et donner la transformation inverse si elle existe. 1 2 3 –1 –2 4 5 Calculons le déterminant : det T = = 11 ≠ 0. Le déterminant est non nul, la transformation linéaire est inversible. Par la méthode de l’adjointe, on trouve : 3 2 –11 11 10 –8 –7 1 11 T–1 =

Exemple 7.3.13 b Soit S: R3 ® R3, où S(x; y; z) = (2x – 5y; 2y – 3z; 2x – 3y – 3z). Déterminer si la transformation linéaire est inversible et donner la transformation inverse si elle existe. 2 –5 –3 Calculons le déterminant : det S = = 0. Le déterminant est nul, la transformation linéaire n’est pas inversible.

Conclusion Le noyau d’une transformation linéaire est le sous-espace de l’espace de départ formé de tous les vecteurs dont l’image par la trans-formation est le vecteur nul de l’espace d’arrivée de cette transfor-mation. L’image d’une transformation linéaire est le sous-espace de l’espace d’arrivée formé de tous les vecteurs qui sont l’image d’au moins un vecteur de l’espace de départ de cette transformation. L’ensemble des transformations linéaires de U dans V, deux espaces vectoriels sur un corps K, muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire a une structure d’espace vectoriel sur le corps K. La composition de deux transformations linéaires donne une transformation linéaire que l’on peut définir par un produit de matrices. Une transformation linéaire est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 7.3, p. 202 à 210. Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 7.4, p. 211 no. 20 à 27