Sous-espaces vectoriels engendrés Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Nous verrons d’abord que l’on peut obtenir un espace vectoriel en construisant toutes les combinaisons linéaires d’un ensemble de vecteurs donnés. Puis, nous rappellerons un certain nombre de faits sur l’espace vectoriel engendré selon que l’ensemble des générateurs comporte un, deux ou trois vecteurs. Les applications porteront sur la description de l’espace vectoriel engendré à partir d’un ensemble de générateurs et nous déter-minerons, dans chaque cas, une base et la dimension de l’espace vectoriel engendré.

Sous-espace engendré THÉORÈME Sous-espace engendré }, un ensemble non vide de vecteurs d’un espace vectoriel V sur un corps K. Alors, l’ensemble des combi-naisons linéaires des vecteurs de U, noté L(U), forme un sous-espace vectoriel de V. Soit U = { v1 v2 v3 vn , , …, Idée de la preuve 1. Le sous-ensemble L(U) est non vide, puisque U Í L(U). 2. La somme de deux combinaisons linéaires des vecteurs de U est une combinaison linéaire des vecteurs de U, donc l’addition est fermée sur L(U). 3. La multiplication par un scalaire d’une combinaison linéaire des vecteurs de U est une combinaison linéaire des vecteurs de U, donc la multiplication par un scalaire est fermée sur L(U). On peut ainsi conclure que L(U) est un sous-espace vectoriel de V.

Sous-espace engendré par un vecteur Dans G2 ou dans G3 }, un ensemble contenant un seul vecteur géométrique. Les combinaisons linéaires de ce vecteur sont toutes les expressions de la forme a u Soit U = { , où a est un nombre réel. Par définition de la multiplication par un scalaire, tous ces vecteurs, ramenés à une origine commune, ont la même droite support. Cette droite est la représentation géométrique du sous-espace engendré et u est un vecteur directeur de cette droite. Puisque le sous-espace vectoriel est une droite, on dit que sa dimension est 1 et l’ensemble B = { } est une base du sous-espace. , est appelé repère de la droite. Tous les points de la droite peuvent être considérés comme l’extrémité d’un vecteur de la forme a }, formé de l’origine et du vecteur, L’ensemble {O, u u. Il est donc suffisant de donner le scalaire a pour situer le point dans ce repère. S

Sous-espace engendré par un vecteur = (2; 1). u Dans R2 , considérons Les vecteurs engendrés sont de la forme : a(2; 1) = (2a ; a) Ils forment un sous-espace vectoriel de dimension 1 dans R2. Ce sous-espace contient tous les vecteurs algébriques de la droite de repère {O, (2; 1)}. = (3; –2; 4) Dans R3 , considérons u Les vecteurs engendrés sont de la forme : a(3; –2; 4) = (3a; –2a ; 4a) Ils forment un sous-espace vectoriel de dimension 1 dans R3. Ce sous-espace contient tous les vecteurs algébriques de la droite de repère {O, (3; –2; 4)}. S

Sous-espace engendré par deux vecteurs Vecteurs colinéaires Si les deux vecteurs sont colinéaires, ils sont linéairement dépendants. Ramenés à une origine commune, ils ont la même droite support et le lieu L(U) engendré par les combinaisons linéaires de ces deux vecteurs est la droite support. Vecteurs non-colinéaires représentent des vecteurs de ce plan. De plus, tout vecteur du plan ∏ peut s’exprimer sous la forme a u + b v v. Deux vecteurs non colinéaires sont linéairement indépendants. Ramenés à une origine commune, ils définissent un plan ∏. Toutes les combinaisons linéaires de la forme a Le sous-espace vectoriel engendré est donc de dimension 2.

Sous-espace engendré par deux vecteurs Dans R2, considérons {(2; 1), (–1; 3)} Ces vecteurs sont linéairement indépendants, ils engendrent donc tous les vecteurs de R2. L’en-semble {(2; 1), (–1; 3)} est une base de ce sous-espace vectoriel et l’ensemble {O, (2; 1), (–1; 3)} est un repère du plan. Dans R3, considérons {(2; –2; 4), (–2; 1; 2)} Ces vecteurs sont linéairement indépendants, ils engendrent tous les vecteurs de la forme : a(2; –2; 4) + b(–2; 1; 2) L’ensemble {(2; –2; 4), (–2; 1; 2)} est une base de ce sous-espace vectoriel et l’ensemble {O, (2; –2; 4), (–2; 1; 2)} est un repère de ce plan dans l’espace. S

Sous-espace engendré par trois vecteurs Vecteurs colinéaires ou vecteurs coplanaires Si les vecteurs sont colinéaires ou coplanaires, cela revient à une des situations précédentes. Vecteurs non-coplanaires Dans G3 Trois vecteurs non coplanaires sont linéairement indépendants. Ramenés à une origine commune, ils sont dans des plans distincts. Ils engendrent donc tous les vecteurs de l’espace, soit un sous-espace de dimension 3. Dans R3 Trois vecteurs qui sont non coplanaires sont linéairement indépendants; ils engendrent un espace de dimension 3, soit R3, et forment une base de R3.

Exemple 7.1.4 Décrire le sous-espace vectoriel de R3 en-gendré par les vecteurs : v1 v2 = (1; 2; 3) et = (2; 5; 4) = (x; y; z) soit engen-dré par les vecteurs On doit déterminer à quelle condition (ou à quelles conditions) doivent satisfaire x, y et z pour que le vecteur w v1 v2. et Le système a une solution unique si et seulement si : {(x; y; z) Î R3 | –7x + 2y + z = 0} Par la méthode de Gauss, on a : Le sous-espace vectoriel est engendré par les vecteurs linéairement indépendants (1; 0; 7) et (0; 1; –2). 2 5 1 x y 3 4 z –7x + 2y + z = 0 Le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs est alors : v1 v2 et On a alors : Par conséquent, B = {(1; 0; 7), (0; 1; –2)} est une base de ce sous-espace. Il est donc de dimension 2. a + b v1 v2 = w {(x; y; z) Î R3 | –7x + 2y + z = 0} ≈ L1 L2 – 2L1 L3 – 3L1 2 x y – 2x 1 z – 3x –2 a(1; 2; 3) + b(2; 5; 4) = (x; y; z) En isolant z dans cette équation, on obtient : En effectuant les opérations, on obtient : z = 7x – 2y Tous ces vecteurs sont coplanaires et forment un plan ∏ dont l’équation est : –7x + 2y + z = 0 (a; 2a; 3a) + (2b; 5b; 4b) = (x; y; z) a + 2b = x 2a + 5b = y 3a + 4b = z Les vecteurs du sous-espace sont de la forme générale : 2 x y – 2x 1 –7x + 2y + z ≈ L1 L2 L3 + 2L2 (a + 2b; 2a + 5b; 3a + 4b) = (x; y; z) Par l’égalité des vecteurs de R2, on obtient le système d’équations qu’il faut résoudre pour répondre à la question, soit : (x; y; 7x – 2y) = x(1; 0; 7) + y(0; 1; –2) S S S S S

Exemple 7.1.5 a Décrire le sous-espace vectoriel de R3 engendré par les vecteurs : v1 v2 = (1; 2; –1), = (3; 2; 1) et v3 = (–1; 2; –2) On dispose de trois vecteurs à trois composantes. On peut déterminer si ces vecteurs sont linéairement indépendants en calculant le déterminant dont les lignes sont les composantes des vecteurs : 2 –1 1 = L1 L2 – 3L1 L3 + L1 2 –1 1 det ( v1, v2, v3) = 3 2 1 –4 4 –1 2 –2 4 –3 –4 4 = 1 ´ = 1 ´ (12 – 16) = –4 ≠ 0 4 –3 Puisque le déterminant est non nul, les vecteurs sont linéairement indépendants et le sous-espace engendré est R3. S

(x; y; –x + y) = x(1; 0; –1) + y(0; 1; 1) Exemple 7.1.5 b Décrire le sous-espace vectoriel de R3 engendré par les vecteurs : v1 v2 = (1; 3; 2), = (2; –1; –3) et v3 = (4; 5; 1) Calculons d’abord le déterminant : Le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs v1 v2 , est : v3 et a1 + 2a2 + 4a3 = x 3a1 – a2 + 5a3 = y 2a1 – 3a2 + a3 = z Appliquons la méthode de Gauss : {(x; y; z) Î R3 | x – y + z = 0} 3 2 1 = L1 L2 – 2L1 L3 – 4L1 3 2 1 On a donc : En isolant z dans cette équation, on obtient : det ( v1, v2, v3) = 2 –1 –3 –7 = 0 z = –x + y 4 5 1 –7 Les vecteurs du sous-espace sont de la forme générale : Puisque le déterminant est nul, les vecteurs sont linéairement dépendants et ne peuvent former une base de R3. 2 4 3 –1 5 –3 1 x y z ≈ L1 L2 – 3L1 L3 – 2L1 2 4 –7 1 x y – 3x z – 2x (x; y; –x + y) = x(1; 0; –1) + y(0; 1; 1) Le sous-espace vectoriel est engendré par les vecteurs linéairement indépendants (1; 0; –1) et (0; 1; 1). Déterminons le sous-espace engendré par les vecteurs. Ce sous-espace est formé des vecteurs = (x; y; z) tels qu’il existe des scalaires a1, a2 et a3 pour lesquels : w Par conséquent, B = {(1; 0; –1), (0; 1; 1)} est une base de ce sous-espace qui est donc de dimension 2. ≈ L1 L2 L3 – L2 2 4 –7 1 x y – 3x x – y + z Le système a une solution si et seulement si : x – y + z = 0 Tous ces vecteurs sont coplanaires et forment un plan ∏ dont l’équation est : w a1 v1 v2 v3 + a2 + a3 = D’où : a1(1; 3; 2) + a2(2; –1; –3) + a3(4; 5; 1) = (x; y; z) x – y + z = 0 S S S

(x; y; (7x + 5y)/11) = x(1; 0; 7/11) + y(0; 1; 5/11) Exercice Décrire le sous-espace vectoriel de R3 engendré par les vecteurs : v1 v2 = (3; –2; 1), = (4; 1; 3) et v3 = (5; 4; 5) Calculons d’abord le déterminant : Appliquons la méthode de Gauss en plaçant la troisième équation sur la première ligne de la matrice augmentée : Le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs v1 v2 , est : v3 et 3a1 + 4a2 + 5a3 = x –2a1 + a2 + 4a3 = y a1 + 3a2 + 5a3 = z {(x; y; z) Î R3 | 7x + 5y – 11z = 0} On a donc : –2 1 3 = L1 + 2L2 L2 L3 – 4L2 7 11 En isolant z dans cette équation, on obtient : det ( v1, v2, v3) = 4 1 3 1 3 4 = 0 z = (7x + 5y)/11 5 4 –7 –11 Les vecteurs du sous-espace sont de la forme générale : 3 5 –2 1 4 z y x ≈ L1 L2 + 2L1 L3 – 3L1 3 5 14 –5 –10 1 z y + 2z x – 3z 7 Puisque le déterminant est nul, les vecteurs sont linéairement dépendants et ne peuvent former une base de R3. (x; y; (7x + 5y)/11) = x(1; 0; 7/11) + y(0; 1; 5/11) Le sous-espace vectoriel est engendré par les vecteurs linéairement indépendants (1; 0; 7/11) et (0; 1; 5/11). Déterminons le sous-espace engendré par les vecteurs. Ce sous-espace est formé des vecteurs = (x; y; z) tels qu’il existe des scalaires a1, a2 et a3 pour lesquels : w Par conséquent, B = {(1; 0; 7/11), (0; 1; 5/11)} est une base de ce sous-espace qui est donc de dimension 2. ≈ L1 L2 7L3 + 5L2 3 5 14 1 z y + 2x 7x + 5y – 11z 7 Le système a une solution si et seulement si : 7x + 5y – 11z = 0 Tous ces vecteurs sont coplanaires et forment un plan ∏ dont l’équation est : w a1 v1 v2 v3 + a2 + a3 = 7x + 5y – 11z = 0 D’où : a1 (3; –2; 1) + a2(4; 1; 3) + a3(5; 4; 5) = (x; y; z) S S S

Description vectorielle de lieux géométriques Les sous-espaces vectoriels ne sont pas les seuls sous-ensembles intéressants d’un espace vectoriel. On peut décrire des sous-ensembles d’un espace vectoriel comme combinaison linéaire de vecteurs en imposant des contraintes au domaine de variation des scalaires. Nous présentons ici quelques exemples de sous-ensembles définis par combinaison linéaire avec contraintes sur la variation des scalaires. Ce sont le parallélogramme, le parallélépipède, le triangle et la pyramide à base triangulaire.

Exemple 7.1.6 Donner la description vectorielle et la description paramétrique du parallélogramme construit sur les vecteurs : v1 v2 = (2; 1) et = (1; 3) Les points du parallélogramme sont décrits vectoriellement par : (x; y) = s(2; 1) + t(1; 3) où 0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1 La description paramétrique des points du parallélogramme est : x = 2s + t y = s + 3t où 0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1 On procède de façon analogue pour un parallélogramme dans R3. 0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1

Exercice Donner la description vectorielle et la description paramétrique du parallélogramme construit sur les vecteurs : v1 v2 = (2; –3; 4) et = (–1; 3; 4) Les points du parallélogramme sont décrits vectoriellement par : (x; y; z) = s(2; –3; 4) + t(–1; 3; 4) où 0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1 La description paramétrique des points du parallélogramme est : x = 2s – t y = –3s + 3t z = 4s + 4t où 0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1 0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1 S

Exemple 7.1.7 Donner la description vectorielle et la description paramétrique du parallélépipède construit sur les vecteurs : v1 v2 = (2; 0; 4), = (1; 4; 0) et v3 = (–2; 1; 2) Les points du parallélépipède sont décrits vectoriellement par : (x; y; z) = r(2; 0; 4) + s(1; 4; 0) + t(–2; 1; 2) où 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1 La description paramétrique des points du parallélépipède est : x = 2r + s – 2t y = 4s + t z = 4r + 2s où 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1

Exemple 7.1.8 Donner la description vectorielle et la description paramétrique du triangle construit sur les vecteurs : v1 v2 = (2; 1) et = (–1; 3) Les points du triangle sont décrits vectoriellement par : (x; y) = s(2; 1) + t(–1; 3) où 0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1 et s + t ≤ 1 La description paramétrique des points du triangle est : x = 2s – t y = s + 3t où 0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1 et s + t ≤ 1 On procède de façon analogue pour un triangle dans R3. 0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1 et s + t ≤ 1

Exercice Donner la description vectorielle et la description paramétrique du triangle construit sur les vecteurs : v1 v2 = (2; –3; 4) et = (–1; 3; 4) Les points du parallélogramme sont décrits vectoriellement par : (x; y; z) = s(2; –3; 4) + t(–1; 3; 4) où 0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1 et s + t ≤ 1 La description paramétrique des points du parallélogramme est : x = 2s – t y = –3s + 3t z = 4s + 4t où 0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1 et s + t ≤ 1 0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1 et s + t ≤ 1 S

Exemple 7.1.9 Donner la description vectorielle et la description paramétrique de la pyramide à base triangulaire construite sur les vecteurs : v1 v2 = (2; 0; 4), = (1; 4; 0) et v3 = (–2; 1; 2) Les points de la pyramide sont décrits vectoriellement par : (x; y; z) = r(2; 0; 4) + s(1; 4; 0) + t(–2; 1; 2) où 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1 et r + s + t ≤ 1 La description paramétrique des points de la pyramide est : x = 2r + s – 2t y = 4s + t z = 4r + 2s 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1 et r + s + t ≤ 1 où 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1 et r + s + t ≤ 1

Conclusion Si U est un sous-ensemble d’un espace vectoriel V, l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de U, noté L(U), forme un sous-espace vectoriel de V. Le nombre maximal de vecteurs linéairement indépendants de l’ensemble U détermine la dimension du sous-espace vectoriel L(U). Dans R3, les combinaisons linéaires de trois vecteurs engendrent R3 si et seulement si les trois vecteurs sont linéairement indépendants. On peut savoir si les vecteurs sont linéairement indépendants en calculant le déterminant dont les éléments sont les composantes des vecteurs. Lorsque les vecteurs donnés sont linéairement dépendants, il faut déterminer à quelle condition un vecteur (x; y; z) est engendré par les vecteurs donnés. On peut décrire différents lieux géométriques en imposant des contraintes sur le domaine de variation des scalaires.

Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 7.1, p. 185 à 192. Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 7.2, p. 192 et 194.