- 1 - Fondements du rendu et de la visualisation Jean-Michel Dischler Pierre Tellier

- 2 - PLAN Réalisme ou simulation ? Principe de la formation d’une image La lumière Radiométrie et Interactions lumière-matière Capteurs, photométrie et colorimétrie Equation du rendu Cas des milieux participants Réalisme ou simulation ? Principe de la formation d’une image La lumière Radiométrie et Interactions lumière-matière Capteurs, photométrie et colorimétrie Equation du rendu Cas des milieux participants

- 3 - Réalisme ou Simulation ? Simulation : produire des grandeurs physiques telles qu’on pourrait les obtenir avec des appareils de mesure ( ex. luxmètre) Synthèse d’image réaliste : obtenir un effet visuel proche de la perception du monde réel

- 4 -

- 5 - Formation des images

- 6 - Nature Physique de la lumière

- 7 - Trois aspects de la lumière Aspect géométrique (réflexion et réfraction) R. Descartes ;Aspect géométrique (réflexion et réfraction) R. Descartes ; Aspect ondulatoire (spectre énergétique d'ondes monochromatiques, polarisation, interférences, diffraction) Huygens, Fresnel et Maxwell;Aspect ondulatoire (spectre énergétique d'ondes monochromatiques, polarisation, interférences, diffraction) Huygens, Fresnel et Maxwell; Aspect corpusculaire (photons et quantons) M. Planck, A. Einstein.Aspect corpusculaire (photons et quantons) M. Planck, A. Einstein. Aspect géométrique (réflexion et réfraction) R. Descartes ;Aspect géométrique (réflexion et réfraction) R. Descartes ; Aspect ondulatoire (spectre énergétique d'ondes monochromatiques, polarisation, interférences, diffraction) Huygens, Fresnel et Maxwell;Aspect ondulatoire (spectre énergétique d'ondes monochromatiques, polarisation, interférences, diffraction) Huygens, Fresnel et Maxwell; Aspect corpusculaire (photons et quantons) M. Planck, A. Einstein.Aspect corpusculaire (photons et quantons) M. Planck, A. Einstein.

- 8 - Aspect géométrique… Descartes considère que la lumière est un rayon rectiligne se propageant à travers l’espace, pouvant subir des rebonds et déviations:Descartes considère que la lumière est un rayon rectiligne se propageant à travers l’espace, pouvant subir des rebonds et déviations: Mais ceci ne permettait pas d’expliquer grand nombre de phénomènes… René DESCARTES ( )

- 9 - Aspect ondulatoire… Une onde est une oscillation qui se propage dans un milieu, comme les cercles concentriques qui se forment quand on lance un pavé dans une mare… Onde circulaire Onde plane Christiaan HUYGENS ( ) Longueur d’onde (en mètres)

Aspect ondulatoire… L’onde lumineuse se propage dans un milieu (Ether) et chaque point d’impact agit comme une source (principe d’Huygens): Christiaan HUYGENS ( )

Aspect ondulatoire… L’onde lumineuse se propage dans un milieu (Ether) et chaque point d’impact agit comme une source (principe d’Huygens): Christiaan HUYGENS ( ) La vitesse de propagation permet d’expliquer la réflexion et réfraction.

Onde électromagnétique La lumière est caractérisée en dimension trois par deux champs: les champs magnétiques et électriques. Ces champs sont des ondes orthogonales et oscillent le long de la direction de propagation qui leur est également orthogonale. La lumière est caractérisée en dimension trois par deux champs: les champs magnétiques et électriques. Ces champs sont des ondes orthogonales et oscillent le long de la direction de propagation qui leur est également orthogonale. Augustin FRESNEL J.Clerk MAXWELL Les champs avancent à une vitesse qui dépend du milieu. Dans le vide cette vitesse est de l’ordre de km/s.

Aspect corpusculaire Photons Approche stochastique –Absorption –Transmission –Réflexion

Longueur d’onde L’amplitude du champ électrique E oscille avec une longueur d’onde donnée. La fréquence de l’onde représente l’inverse de la longueur d’onde et s’exprime en Hertz (Hz). Les ondes sont classées en fonction de leur fréquence: rayon gamma, rayon X, ultra violet, etc. L’amplitude du champ électrique E oscille avec une longueur d’onde donnée. La fréquence de l’onde représente l’inverse de la longueur d’onde et s’exprime en Hertz (Hz). Les ondes sont classées en fonction de leur fréquence: rayon gamma, rayon X, ultra violet, etc. =c/  (fréquence en Hz)

Fréquence visible Pour la lumière visible à l’œil humain la longueur d’onde varie entre 380 et 780 nm (1nm = = 0, mètre). E B

Spectre énergétique La moyenne des carrés de l’amplitude de l’oscillation de E détermine l’énergie  pour chaque fréquence. Une même onde peut superposer plusieurs fréquences avec des énergies différentes. Ceci forme le spectre énergétique de l’onde électromagnétique (ou lumineux). La moyenne des carrés de l’amplitude de l’oscillation de E détermine l’énergie  pour chaque fréquence. Une même onde peut superposer plusieurs fréquences avec des énergies différentes. Ceci forme le spectre énergétique de l’onde électromagnétique (ou lumineux). E B  Spectre de lumière Lumière monochromatique = énergie nulle partout sauf pour une seule fréquence

Exemple: lampe halogène E B Lampe halogène

Ciel bleu

Tube fluorescent

Polarisation de la lumière Le spectre ne rend compte que de l’énergie (amplitude), pas de la position du vecteur électrique E. Or pour chaque fréquence ce vecteur peut être en mouvement. La cohérence de ce mouvement le long du rayon de propagation détermine l’état de polarisation de la lumière: Le spectre ne rend compte que de l’énergie (amplitude), pas de la position du vecteur électrique E. Or pour chaque fréquence ce vecteur peut être en mouvement. La cohérence de ce mouvement le long du rayon de propagation détermine l’état de polarisation de la lumière: polarisation rectiligne polarisation elliptique b a E

Lumière naturelle Lumière naturelle : mouvement incohérent des vecteurs (déphasage , amplitude a,b changent rapidement sans cohérence)  =0 ou  : polarisation rectiligne  =  /2 ou 3  /2,  =  /4: polarisation circulaire a=rcos(  ) b=rsin(  ) constant peut changer

Mesurer l’énergie lumineuse: La radiométrie

Objectifs Radiométrie: mesure de la « quantité » de lumière.Radiométrie: mesure de la « quantité » de lumière. L’unité de puissance de base en physique est le WattL’unité de puissance de base en physique est le Watt L’énergie quant à elle s’exprime en Joules.L’énergie quant à elle s’exprime en Joules. Le watt correspond à une énergie maintenue pendant une durée d’une seconde.Le watt correspond à une énergie maintenue pendant une durée d’une seconde. Le nombre de watts donne donc l’énergie en Joule que l’on peut fournir pendant une durée d’une seconde.Le nombre de watts donne donc l’énergie en Joule que l’on peut fournir pendant une durée d’une seconde. Radiométrie: mesure de la « quantité » de lumière.Radiométrie: mesure de la « quantité » de lumière. L’unité de puissance de base en physique est le WattL’unité de puissance de base en physique est le Watt L’énergie quant à elle s’exprime en Joules.L’énergie quant à elle s’exprime en Joules. Le watt correspond à une énergie maintenue pendant une durée d’une seconde.Le watt correspond à une énergie maintenue pendant une durée d’une seconde. Le nombre de watts donne donc l’énergie en Joule que l’on peut fournir pendant une durée d’une seconde.Le nombre de watts donne donc l’énergie en Joule que l’on peut fournir pendant une durée d’une seconde.

Flux Lumineux entrant/sortant Le flux énergétique lumineux total  pour une longueur d’onde s’exprime en Watts (c’est une fonction qui varie dans le temps).Le flux énergétique lumineux total  pour une longueur d’onde s’exprime en Watts (c’est une fonction qui varie dans le temps). Il s’agit de la somme de l’énergie moyenne de toutes les ondes qui traversent une section S donnée pendant une durée d’une seconde.Il s’agit de la somme de l’énergie moyenne de toutes les ondes qui traversent une section S donnée pendant une durée d’une seconde. On peut aussi calculer un nombre de photons chacun portant une énergie individuelle e=h (h=6.62  J/Hz), avec =c/On peut aussi calculer un nombre de photons chacun portant une énergie individuelle e=h (h=6.62  J/Hz), avec =c/ Le flux énergétique lumineux total  pour une longueur d’onde s’exprime en Watts (c’est une fonction qui varie dans le temps).Le flux énergétique lumineux total  pour une longueur d’onde s’exprime en Watts (c’est une fonction qui varie dans le temps). Il s’agit de la somme de l’énergie moyenne de toutes les ondes qui traversent une section S donnée pendant une durée d’une seconde.Il s’agit de la somme de l’énergie moyenne de toutes les ondes qui traversent une section S donnée pendant une durée d’une seconde. On peut aussi calculer un nombre de photons chacun portant une énergie individuelle e=h (h=6.62  J/Hz), avec =c/On peut aussi calculer un nombre de photons chacun portant une énergie individuelle e=h (h=6.62  J/Hz), avec =c/ Pour une onde :  = = Pour lumière naturelle:  =( + )/2 Ex:   nm =0.0001Watt soit 2, photons/sec S

Eclairement / Radiosité L’énergie peut varier localement sur la surface S. Alors que le flux exprime une énergie totale pour tout S, on peut vouloir mesurer l’énergie en chaque point de S.L’énergie peut varier localement sur la surface S. Alors que le flux exprime une énergie totale pour tout S, on peut vouloir mesurer l’énergie en chaque point de S. L’énergie portée par un seul point X de S exprime alors un flux par unité de surface (watt/m 2 ).L’énergie portée par un seul point X de S exprime alors un flux par unité de surface (watt/m 2 ). Si l’énergie est incidente, on l’appelle éclairement E(X), si l’énergie quitte la surface on l’appelle radiosité B(X) ou EmittanceSi l’énergie est incidente, on l’appelle éclairement E(X), si l’énergie quitte la surface on l’appelle radiosité B(X) ou Emittance L’énergie peut varier localement sur la surface S. Alors que le flux exprime une énergie totale pour tout S, on peut vouloir mesurer l’énergie en chaque point de S.L’énergie peut varier localement sur la surface S. Alors que le flux exprime une énergie totale pour tout S, on peut vouloir mesurer l’énergie en chaque point de S. L’énergie portée par un seul point X de S exprime alors un flux par unité de surface (watt/m 2 ).L’énergie portée par un seul point X de S exprime alors un flux par unité de surface (watt/m 2 ). Si l’énergie est incidente, on l’appelle éclairement E(X), si l’énergie quitte la surface on l’appelle radiosité B(X) ou EmittanceSi l’énergie est incidente, on l’appelle éclairement E(X), si l’énergie quitte la surface on l’appelle radiosité B(X) ou Emittance Ex:   nm =0.0001Watt, S=0.01x0.01m 2, = 1W/m 2

Calcul du Flux à partir de l’Eclairement / la Radiosité L’éclairement (Radiosité) est une fonction de la position X sur la surface.L’éclairement (Radiosité) est une fonction de la position X sur la surface. Le flux énergétique entrant (resp. sortant) peut se calculer à partir de l’éclairement (resp. radiosité) en sommant sur la surface:Le flux énergétique entrant (resp. sortant) peut se calculer à partir de l’éclairement (resp. radiosité) en sommant sur la surface: L’éclairement (Radiosité) est une fonction de la position X sur la surface.L’éclairement (Radiosité) est une fonction de la position X sur la surface. Le flux énergétique entrant (resp. sortant) peut se calculer à partir de l’éclairement (resp. radiosité) en sommant sur la surface:Le flux énergétique entrant (resp. sortant) peut se calculer à partir de l’éclairement (resp. radiosité) en sommant sur la surface: Si l’éclairement est constant (ne dépend pas de X) alors on a: où A S est l’aire de S en m 2.

Angle solide On peut vouloir exprimer l’énergie en un point donné pour une seule direction donnée. Mais pour cela il faut pouvoir définir une mesure d’élément de direction dans l’espace. Dans le plan, il existe une métrique directionnelle: c’est la notion d’angle mesuré en radian (longueur d’un arc sur le cercle unité).On peut vouloir exprimer l’énergie en un point donné pour une seule direction donnée. Mais pour cela il faut pouvoir définir une mesure d’élément de direction dans l’espace. Dans le plan, il existe une métrique directionnelle: c’est la notion d’angle mesuré en radian (longueur d’un arc sur le cercle unité). L’angle solide est un angle généralisé à la dimension trois: il exprime une aire de portion de sphère unité (au lieu d’une longueur d’arc).L’angle solide est un angle généralisé à la dimension trois: il exprime une aire de portion de sphère unité (au lieu d’une longueur d’arc). On peut vouloir exprimer l’énergie en un point donné pour une seule direction donnée. Mais pour cela il faut pouvoir définir une mesure d’élément de direction dans l’espace. Dans le plan, il existe une métrique directionnelle: c’est la notion d’angle mesuré en radian (longueur d’un arc sur le cercle unité).On peut vouloir exprimer l’énergie en un point donné pour une seule direction donnée. Mais pour cela il faut pouvoir définir une mesure d’élément de direction dans l’espace. Dans le plan, il existe une métrique directionnelle: c’est la notion d’angle mesuré en radian (longueur d’un arc sur le cercle unité). L’angle solide est un angle généralisé à la dimension trois: il exprime une aire de portion de sphère unité (au lieu d’une longueur d’arc).L’angle solide est un angle généralisé à la dimension trois: il exprime une aire de portion de sphère unité (au lieu d’une longueur d’arc).  [0,2  ] (radian) 1  [0,4  ] (stéradian) 1

Portion de surface visible à partir d’un point: angle solide d’une surface L’angle solide  par rapport à un point d’observation C relatif à une surface S, est la portion d‘aire de cette surface projetée sur la sphère unité centrée en C:L’angle solide  par rapport à un point d’observation C relatif à une surface S, est la portion d‘aire de cette surface projetée sur la sphère unité centrée en C: C S

Calculer l’angle solide d’une surface Pour un élément de surface dS, son élément d’angle solide correspondant d  peut se déterminer analytiquement.Pour un élément de surface dS, son élément d’angle solide correspondant d  peut se déterminer analytiquement. Pour calculer l’angle solide total de S, il suffit donc de sommer sur S:Pour calculer l’angle solide total de S, il suffit donc de sommer sur S: Pour un élément de surface dS, son élément d’angle solide correspondant d  peut se déterminer analytiquement.Pour un élément de surface dS, son élément d’angle solide correspondant d  peut se déterminer analytiquement. Pour calculer l’angle solide total de S, il suffit donc de sommer sur S:Pour calculer l’angle solide total de S, il suffit donc de sommer sur S: dS r  C

Calculer l’angle solide en coordonnées polaires En coordonnées polaires un élément d’angle solide d  peut se définir par:En coordonnées polaires un élément d’angle solide d  peut se définir par: 

Angle solide projeté L’angle solide d  projeté sur un plan orthogonal à N, dit « plan incident » dépend du cosinus.L’angle solide d  projeté sur un plan orthogonal à N, dit « plan incident » dépend du cosinus.  L’angle solide projeté varie de 0 à 2  Il varie de 0 à , pour un hémisphère N

Luminance, Radiance La radiance entrant/sortant, notée L, mesure une énergie directionnelle et exprime un éclairement / radiosité par unité d’angle solide projeté en watt/m 2 /sr.La radiance entrant/sortant, notée L, mesure une énergie directionnelle et exprime un éclairement / radiosité par unité d’angle solide projeté en watt/m 2 /sr. C’est une fonction de la position et de la direction: L(X,  ).C’est une fonction de la position et de la direction: L(X,  ). Grandeur la + utile en visualisationGrandeur la + utile en visualisation La radiance entrant/sortant, notée L, mesure une énergie directionnelle et exprime un éclairement / radiosité par unité d’angle solide projeté en watt/m 2 /sr.La radiance entrant/sortant, notée L, mesure une énergie directionnelle et exprime un éclairement / radiosité par unité d’angle solide projeté en watt/m 2 /sr. C’est une fonction de la position et de la direction: L(X,  ).C’est une fonction de la position et de la direction: L(X,  ). Grandeur la + utile en visualisationGrandeur la + utile en visualisation  Ex: = 1W/m 2, =0,318W/m 2 /sr

Calculer l’éclairement / radiosité à partir de la Radiance Il suffit de faire la somme pour toutes les directions  d’un hémisphère:Il suffit de faire la somme pour toutes les directions  d’un hémisphère:  Si la radiance est constante (ne dépend pas de  ) alors on a:

Calculer le flux à partir de la Radiance Il suffit de faire la somme pour toutes les directions  et pour toutes les positions de la surface en question:Il suffit de faire la somme pour toutes les directions  et pour toutes les positions de la surface en question: 

Intensité L’intensité, notée I, mesure une énergie directionnelle et exprime un flux par unité d’angle solide en watt/sr. L’intensité est souvent confondue par abus de langage avec la radiance.L’intensité, notée I, mesure une énergie directionnelle et exprime un flux par unité d’angle solide en watt/sr. L’intensité est souvent confondue par abus de langage avec la radiance. C’est une fonction de la direction (pas de la position): I(  ).C’est une fonction de la direction (pas de la position): I(  ). Elle est utilisée pour des sources ponctuelles uniquement.Elle est utilisée pour des sources ponctuelles uniquement. L’intensité, notée I, mesure une énergie directionnelle et exprime un flux par unité d’angle solide en watt/sr. L’intensité est souvent confondue par abus de langage avec la radiance.L’intensité, notée I, mesure une énergie directionnelle et exprime un flux par unité d’angle solide en watt/sr. L’intensité est souvent confondue par abus de langage avec la radiance. C’est une fonction de la direction (pas de la position): I(  ).C’est une fonction de la direction (pas de la position): I(  ). Elle est utilisée pour des sources ponctuelles uniquement.Elle est utilisée pour des sources ponctuelles uniquement.

Transport d’énergie

Propagation d’onde Propriété physique: dans le vide, l’énergie lumineuse se propage sans perte à la célérité d’environ Km/s selon une trajectoire rectiligne.Propriété physique: dans le vide, l’énergie lumineuse se propage sans perte à la célérité d’environ Km/s selon une trajectoire rectiligne. Donc, si une luminance Lo quitte un point d’une surface dans une direction  donnée alors la luminance Li incidente en un point P sur sa trajectoire est exactement égale à Lo.Donc, si une luminance Lo quitte un point d’une surface dans une direction  donnée alors la luminance Li incidente en un point P sur sa trajectoire est exactement égale à Lo. Propriété physique: dans le vide, l’énergie lumineuse se propage sans perte à la célérité d’environ Km/s selon une trajectoire rectiligne.Propriété physique: dans le vide, l’énergie lumineuse se propage sans perte à la célérité d’environ Km/s selon une trajectoire rectiligne. Donc, si une luminance Lo quitte un point d’une surface dans une direction  donnée alors la luminance Li incidente en un point P sur sa trajectoire est exactement égale à Lo.Donc, si une luminance Lo quitte un point d’une surface dans une direction  donnée alors la luminance Li incidente en un point P sur sa trajectoire est exactement égale à Lo. LoLo LiLi L o =L i P

Eclairement dû à une source En utilisant la propriété précédente, on peut calculer l’éclairement incident en un point P d’une surface, qui est dû à une source de lumière S, émettant une luminance Lo.En utilisant la propriété précédente, on peut calculer l’éclairement incident en un point P d’une surface, qui est dû à une source de lumière S, émettant une luminance Lo. S P

Récapitulatif

Interactions Lumière - Matière

Objectifs Nous avons vu que l’on peut calculer l’éclairement incident en un point P d’une surface, qui est dû à une source de lumière S, émettant une luminance Lo.Nous avons vu que l’on peut calculer l’éclairement incident en un point P d’une surface, qui est dû à une source de lumière S, émettant une luminance Lo. Or ce qui nous intéresse ce n’est pas l’éclairement incident en P, c’est la luminance quittant P dans la direction de l’œil dû à l’éclairement par la source.Or ce qui nous intéresse ce n’est pas l’éclairement incident en P, c’est la luminance quittant P dans la direction de l’œil dû à l’éclairement par la source. Pour cela il faut donc relier luminance incidente et luminance sortante.Pour cela il faut donc relier luminance incidente et luminance sortante. Nous avons vu que l’on peut calculer l’éclairement incident en un point P d’une surface, qui est dû à une source de lumière S, émettant une luminance Lo.Nous avons vu que l’on peut calculer l’éclairement incident en un point P d’une surface, qui est dû à une source de lumière S, émettant une luminance Lo. Or ce qui nous intéresse ce n’est pas l’éclairement incident en P, c’est la luminance quittant P dans la direction de l’œil dû à l’éclairement par la source.Or ce qui nous intéresse ce n’est pas l’éclairement incident en P, c’est la luminance quittant P dans la direction de l’œil dû à l’éclairement par la source. Pour cela il faut donc relier luminance incidente et luminance sortante.Pour cela il faut donc relier luminance incidente et luminance sortante. S P

Rappel: Loi de Descartes Descartes a décrit le comportement d’un rayon lumineux arrivant sur une surface à l’aide de l’indice de réfraction.Descartes a décrit le comportement d’un rayon lumineux arrivant sur une surface à l’aide de l’indice de réfraction. Par la description ondulatoire on sait que cet indice quantifie la diminution de vitesse dans le milieu, c’est pourquoi on l’appelle aussi vitesse de phase.Par la description ondulatoire on sait que cet indice quantifie la diminution de vitesse dans le milieu, c’est pourquoi on l’appelle aussi vitesse de phase. L’indice de réfraction varie en fonction de la longueur d’onde.L’indice de réfraction varie en fonction de la longueur d’onde. Descartes a décrit le comportement d’un rayon lumineux arrivant sur une surface à l’aide de l’indice de réfraction.Descartes a décrit le comportement d’un rayon lumineux arrivant sur une surface à l’aide de l’indice de réfraction. Par la description ondulatoire on sait que cet indice quantifie la diminution de vitesse dans le milieu, c’est pourquoi on l’appelle aussi vitesse de phase.Par la description ondulatoire on sait que cet indice quantifie la diminution de vitesse dans le milieu, c’est pourquoi on l’appelle aussi vitesse de phase. L’indice de réfraction varie en fonction de la longueur d’onde.L’indice de réfraction varie en fonction de la longueur d’onde. ii tt n1 n2 rr

Exemples d’indices Acetone 1.36Acetone 1.36 Air Air Alcool 1.329Alcool Alcool d’Ethylène 1.36Alcool d’Ethylène 1.36 Ambre 1.54Ambre 1.54 Benzène 1.50Benzène 1.50 Cristal 2.00Cristal 2.00 Cristal iodé 3.34Cristal iodé 3.34 Diamant 2.417Diamant Dioxyde de Carbone Liquide 1.20Dioxyde de Carbone Liquide 1.20 Eau (+ de 20 °C) 1.333Eau (+ de 20 °C) Emeraude 1.57Emeraude 1.57 Glace 3.309Glace Lapis Lazuli 1.61Lapis Lazuli 1.61 Opaline 1.45Opaline 1.45 Oxyde de Chrome 2.705Oxyde de Chrome Oxyde de Cuivre 2.705Oxyde de Cuivre Plexiglass 1.51Plexiglass 1.51 Porcelaine 1.504Porcelaine Quartz Quartz Quartz Quartz Quartz fusionné 1.46Quartz fusionné 1.46 Rubis 1.77Rubis 1.77 Saphir 1.77Saphir 1.77 Sel 1.644Sel Selenium Amorphe 2.92Selenium Amorphe 2.92 Solution de sucre (30%) 1.38Solution de sucre (30%) 1.38 Solution de sucre (80%) 1.49Solution de sucre (80%) 1.49 Topaze 1.61Topaze 1.61 Verre 1.5Verre 1.5 Zinc 1.51Zinc 1.51

Rappel: vecteur électrique L’énergie portée par le rayon dépend de l’amplitude moyenne du vecteur électrique. Ce vecteur électrique est un vecteur 3D contenu dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation. On peut donc le décomposer en deux composantes dans ce plan: la composante parallèle et perpendiculaire. L’énergie portée par le rayon dépend de l’amplitude moyenne du vecteur électrique. Ce vecteur électrique est un vecteur 3D contenu dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation. On peut donc le décomposer en deux composantes dans ce plan: la composante parallèle et perpendiculaire. ii rr E

Quantification Énergétique: Formule de Fresnel Fresnel décrit l’amplitude de l’onde réfléchie et transmise pour une interface parfaite (diélectrique) : Note: Angle de Brewster:  i +  t =  /2 Augustin FRESNEL ii rr E

Coefficient de réflexion De ces amplitudes on déduit le rapport entre énergie entrante et sortante, que l’on note coefficient de réflexion  : ii tt n1 n2 Pour une lumière naturelle:

Surface métallique Dans le cas d’un conducteur (par exemple un métal), l'indice de réfraction devient complexe: ii tt n=n1/n2 (  coefficient d’extinction)

Cas des métaux

- 49 -

- 50 -

Variations de l’indice de réfraction L’indice de réfraction peut ne pas être constant dans un milieu donné.L’indice de réfraction peut ne pas être constant dans un milieu donné. Par exemple, il peut dépendre de:Par exemple, il peut dépendre de: La température.La température. L’homogénéité du milieu (concentrations chimiques différentes).L’homogénéité du milieu (concentrations chimiques différentes). L’anisotropie du milieu: organisation atomique (indice exprimé sous une forme tensorielle – matrice 3x3).L’anisotropie du milieu: organisation atomique (indice exprimé sous une forme tensorielle – matrice 3x3). L’indice de réfraction peut ne pas être constant dans un milieu donné.L’indice de réfraction peut ne pas être constant dans un milieu donné. Par exemple, il peut dépendre de:Par exemple, il peut dépendre de: La température.La température. L’homogénéité du milieu (concentrations chimiques différentes).L’homogénéité du milieu (concentrations chimiques différentes). L’anisotropie du milieu: organisation atomique (indice exprimé sous une forme tensorielle – matrice 3x3).L’anisotropie du milieu: organisation atomique (indice exprimé sous une forme tensorielle – matrice 3x3).

- 52 -

Comportement d’une surface réelle Dirac: Comportement décrit par Fresnel Distribution sur une hémisphère : comportement complexe, car dépendant de la micro-géométrie D’après Fresnel: une interface devrait agir comme un miroir tel que  i =  r … or même à l’œil, on observe que c’est faux.D’après Fresnel: une interface devrait agir comme un miroir tel que  i =  r … or même à l’œil, on observe que c’est faux.

- 54 -

Modèles empiriques Gouraud [1971], Phong[1975], Marsh[1987]

Composante diffuse : –identique dans toutes les directions Lobe spéculaire : –dépend de l'angle entre D out et R –Même couleur dans toutes les directions Aspect plastique Aspect métallique s(N.H) p (mC+(1-m))

Lobe spéculaire

Observation expérimentale La formule de Fresnel n’est pas un bon moyen de quantifier l’interaction lumière-matière à l’échelle humaine, car les surfaces ne sont pas lisses. Il faut intégrer le comportement sur un élément de surface.La formule de Fresnel n’est pas un bon moyen de quantifier l’interaction lumière-matière à l’échelle humaine, car les surfaces ne sont pas lisses. Il faut intégrer le comportement sur un élément de surface. Li(i)Li(i) Lr(r)Lr(r) L r =K.L i

Observation expérimentale La formule de Fresnel n’est pas un bon moyen de quantifier l’interaction lumière-matière, car les surfaces ne sont pas lisses.La formule de Fresnel n’est pas un bon moyen de quantifier l’interaction lumière-matière, car les surfaces ne sont pas lisses. Il faut intégrer le comportement sur un élément de surface.Il faut intégrer le comportement sur un élément de surface. La formule de Fresnel n’est pas un bon moyen de quantifier l’interaction lumière-matière, car les surfaces ne sont pas lisses.La formule de Fresnel n’est pas un bon moyen de quantifier l’interaction lumière-matière, car les surfaces ne sont pas lisses. Il faut intégrer le comportement sur un élément de surface.Il faut intégrer le comportement sur un élément de surface. Li(i)Li(i) Lr(r)Lr(r) L r =K.L i

Observation expérimentale La formule de Fresnel n’est pas un bon moyen de quantifier l’interaction lumière-matière, car les surfaces ne sont pas lisses.La formule de Fresnel n’est pas un bon moyen de quantifier l’interaction lumière-matière, car les surfaces ne sont pas lisses. Il faut intégrer le comportement sur un élément de surface.Il faut intégrer le comportement sur un élément de surface. La formule de Fresnel n’est pas un bon moyen de quantifier l’interaction lumière-matière, car les surfaces ne sont pas lisses.La formule de Fresnel n’est pas un bon moyen de quantifier l’interaction lumière-matière, car les surfaces ne sont pas lisses. Il faut intégrer le comportement sur un élément de surface.Il faut intégrer le comportement sur un élément de surface. Li(i)Li(i) Lr(r)Lr(r) L r =K.L i

Observation expérimentale La formule de Fresnel n’est pas un bon moyen de quantifier l’interaction lumière-matière, car les surfaces ne sont pas lisses.La formule de Fresnel n’est pas un bon moyen de quantifier l’interaction lumière-matière, car les surfaces ne sont pas lisses. Il faut intégrer le comportement sur un élément de surface.Il faut intégrer le comportement sur un élément de surface. La formule de Fresnel n’est pas un bon moyen de quantifier l’interaction lumière-matière, car les surfaces ne sont pas lisses.La formule de Fresnel n’est pas un bon moyen de quantifier l’interaction lumière-matière, car les surfaces ne sont pas lisses. Il faut intégrer le comportement sur un élément de surface.Il faut intégrer le comportement sur un élément de surface. Li(i)Li(i) Lr(r)Lr(r) L r =K.L i

Observation expérimentale La formule de Fresnel n’est pas un bon moyen de quantifier l’interaction lumière-matière, car les surfaces ne sont pas lisses.La formule de Fresnel n’est pas un bon moyen de quantifier l’interaction lumière-matière, car les surfaces ne sont pas lisses. Il faut intégrer le comportement sur un élément de surface.Il faut intégrer le comportement sur un élément de surface. La formule de Fresnel n’est pas un bon moyen de quantifier l’interaction lumière-matière, car les surfaces ne sont pas lisses.La formule de Fresnel n’est pas un bon moyen de quantifier l’interaction lumière-matière, car les surfaces ne sont pas lisses. Il faut intégrer le comportement sur un élément de surface.Il faut intégrer le comportement sur un élément de surface. Li(i)Li(i) Lr(r)Lr(r) L r =K (  r ).L i

Observation expérimentale La formule de Fresnel n’est pas un bon moyen de quantifier l’interaction lumière-matière, car les surfaces ne sont pas lisses.La formule de Fresnel n’est pas un bon moyen de quantifier l’interaction lumière-matière, car les surfaces ne sont pas lisses. Il faut intégrer le comportement sur un élément de surface.Il faut intégrer le comportement sur un élément de surface. La formule de Fresnel n’est pas un bon moyen de quantifier l’interaction lumière-matière, car les surfaces ne sont pas lisses.La formule de Fresnel n’est pas un bon moyen de quantifier l’interaction lumière-matière, car les surfaces ne sont pas lisses. Il faut intégrer le comportement sur un élément de surface.Il faut intégrer le comportement sur un élément de surface. Li(i)Li(i) Lr(r)Lr(r) L r =K (  i,  r ).L i

Observation expérimentale Le ratio de luminance varie par rapport à deux directions, c’est une fonction dite bidirectionnelle.Le ratio de luminance varie par rapport à deux directions, c’est une fonction dite bidirectionnelle. Li(i)Li(i) Lr(r)Lr(r) L r =K (  i,  r ).L i

Problème Mais, en faisant un rapport de luminance on ne tient pas compte de l’angle solide de la source.Mais, en faisant un rapport de luminance on ne tient pas compte de l’angle solide de la source. Dès que la source se rapproche le rapport change également…Dès que la source se rapproche le rapport change également… Mais, en faisant un rapport de luminance on ne tient pas compte de l’angle solide de la source.Mais, en faisant un rapport de luminance on ne tient pas compte de l’angle solide de la source. Dès que la source se rapproche le rapport change également…Dès que la source se rapproche le rapport change également… Li(i)Li(i) Lr(r)Lr(r) L r =K (d  i,  i,  r ).L i

Idée L’idée consiste à ne par faire le rapport avec la luminance incidente, mais avec l’éclairement incident.L’idée consiste à ne par faire le rapport avec la luminance incidente, mais avec l’éclairement incident. Ei(i)Ei(i) Lr(r)Lr(r)

Fonction bidirectionnelle de distribution de réflectance (BRDF) La constante obtenue en faisant le rapport entre éclairement incident et luminance sortante est en fait une fonction qui dépend de la direction d’incidence de l’éclairement et de la direction d’observation de la luminance sortante (+ la longueur d’onde).La constante obtenue en faisant le rapport entre éclairement incident et luminance sortante est en fait une fonction qui dépend de la direction d’incidence de l’éclairement et de la direction d’observation de la luminance sortante (+ la longueur d’onde). C’est donc une fonction bidirectionnelle notée f r et nommée BRDF.C’est donc une fonction bidirectionnelle notée f r et nommée BRDF. La constante obtenue en faisant le rapport entre éclairement incident et luminance sortante est en fait une fonction qui dépend de la direction d’incidence de l’éclairement et de la direction d’observation de la luminance sortante (+ la longueur d’onde).La constante obtenue en faisant le rapport entre éclairement incident et luminance sortante est en fait une fonction qui dépend de la direction d’incidence de l’éclairement et de la direction d’observation de la luminance sortante (+ la longueur d’onde). C’est donc une fonction bidirectionnelle notée f r et nommée BRDF.C’est donc une fonction bidirectionnelle notée f r et nommée BRDF.

Intuitivement La BRDF exprime une proportion de lumière quittant la surface dans toutes les directions possibles, pour toutes les directions d’incidence d’éclairement possibles.La BRDF exprime une proportion de lumière quittant la surface dans toutes les directions possibles, pour toutes les directions d’incidence d’éclairement possibles. Elle dépend également de la longueur d’onde.Elle dépend également de la longueur d’onde. La BRDF est dite isotrope si le fait d’appliquer une rotation à l’échantillon ne change pas son comportement.La BRDF est dite isotrope si le fait d’appliquer une rotation à l’échantillon ne change pas son comportement. Le cas le plus simple: surface Lambertienne. La BRDF est une constante qui ne dépend ni de  i ni de  r.Le cas le plus simple: surface Lambertienne. La BRDF est une constante qui ne dépend ni de  i ni de  r. Une telle surface est éprouvée comme « mate ».Une telle surface est éprouvée comme « mate ». La couleur ne change pas quelque soit le point de vue de l’observateur.La couleur ne change pas quelque soit le point de vue de l’observateur. La BRDF exprime une proportion de lumière quittant la surface dans toutes les directions possibles, pour toutes les directions d’incidence d’éclairement possibles.La BRDF exprime une proportion de lumière quittant la surface dans toutes les directions possibles, pour toutes les directions d’incidence d’éclairement possibles. Elle dépend également de la longueur d’onde.Elle dépend également de la longueur d’onde. La BRDF est dite isotrope si le fait d’appliquer une rotation à l’échantillon ne change pas son comportement.La BRDF est dite isotrope si le fait d’appliquer une rotation à l’échantillon ne change pas son comportement. Le cas le plus simple: surface Lambertienne. La BRDF est une constante qui ne dépend ni de  i ni de  r.Le cas le plus simple: surface Lambertienne. La BRDF est une constante qui ne dépend ni de  i ni de  r. Une telle surface est éprouvée comme « mate ».Une telle surface est éprouvée comme « mate ». La couleur ne change pas quelque soit le point de vue de l’observateur.La couleur ne change pas quelque soit le point de vue de l’observateur.

Propriétés de la BRDF La BRDF est une fonction à valeurs positives;La BRDF est une fonction à valeurs positives; Elle vérifie le principe de réciprocité d’Helmoltz:Elle vérifie le principe de réciprocité d’Helmoltz: Elle vérifie la conservation d’énergie:Elle vérifie la conservation d’énergie: La BRDF est une fonction à valeurs positives;La BRDF est une fonction à valeurs positives; Elle vérifie le principe de réciprocité d’Helmoltz:Elle vérifie le principe de réciprocité d’Helmoltz: Elle vérifie la conservation d’énergie:Elle vérifie la conservation d’énergie:

Modéliser des BRDF Théoriquement la BRDF dépend d’un très grand nombre de paramètres physiques:Théoriquement la BRDF dépend d’un très grand nombre de paramètres physiques: Angles incidents, sortants;Angles incidents, sortants; Longueur d’onde;Longueur d’onde; La surface elle-même:La surface elle-même: Nature micro-géométrique de la surface (rugosité);Nature micro-géométrique de la surface (rugosité); Indice de réfractionIndice de réfraction TempératureTempérature Composition chimique (humidité, etc.)Composition chimique (humidité, etc.) Organisation atomique, etc.Organisation atomique, etc. Il n’existe donc pas de modèle universel.Il n’existe donc pas de modèle universel. Théoriquement la BRDF dépend d’un très grand nombre de paramètres physiques:Théoriquement la BRDF dépend d’un très grand nombre de paramètres physiques: Angles incidents, sortants;Angles incidents, sortants; Longueur d’onde;Longueur d’onde; La surface elle-même:La surface elle-même: Nature micro-géométrique de la surface (rugosité);Nature micro-géométrique de la surface (rugosité); Indice de réfractionIndice de réfraction TempératureTempérature Composition chimique (humidité, etc.)Composition chimique (humidité, etc.) Organisation atomique, etc.Organisation atomique, etc. Il n’existe donc pas de modèle universel.Il n’existe donc pas de modèle universel.

Autres phénomènes Par ailleurs, d’autres phénomènes peuvent entrer en jeu au niveau de la BRDF:Par ailleurs, d’autres phénomènes peuvent entrer en jeu au niveau de la BRDF: Phosphorescence: capacité d’emmagasiner de la lumière et de la restituer ultérieurement. La BRDF prend une dépendance temporelle.Phosphorescence: capacité d’emmagasiner de la lumière et de la restituer ultérieurement. La BRDF prend une dépendance temporelle. Fluorescence: capacité de restituer la lumière dans une autre bande de fréquences. La fréquence ne peut être que plus faible pour des raisons de conservation d’énergie. Le cas se produit donc pour les rayonnements UV (fluorite, calcite, tensides, etc.).Fluorescence: capacité de restituer la lumière dans une autre bande de fréquences. La fréquence ne peut être que plus faible pour des raisons de conservation d’énergie. Le cas se produit donc pour les rayonnements UV (fluorite, calcite, tensides, etc.). Polaroïdes: la BRDF dépend de l’état de polarisation de la lumière.Polaroïdes: la BRDF dépend de l’état de polarisation de la lumière. Par ailleurs, d’autres phénomènes peuvent entrer en jeu au niveau de la BRDF:Par ailleurs, d’autres phénomènes peuvent entrer en jeu au niveau de la BRDF: Phosphorescence: capacité d’emmagasiner de la lumière et de la restituer ultérieurement. La BRDF prend une dépendance temporelle.Phosphorescence: capacité d’emmagasiner de la lumière et de la restituer ultérieurement. La BRDF prend une dépendance temporelle. Fluorescence: capacité de restituer la lumière dans une autre bande de fréquences. La fréquence ne peut être que plus faible pour des raisons de conservation d’énergie. Le cas se produit donc pour les rayonnements UV (fluorite, calcite, tensides, etc.).Fluorescence: capacité de restituer la lumière dans une autre bande de fréquences. La fréquence ne peut être que plus faible pour des raisons de conservation d’énergie. Le cas se produit donc pour les rayonnements UV (fluorite, calcite, tensides, etc.). Polaroïdes: la BRDF dépend de l’état de polarisation de la lumière.Polaroïdes: la BRDF dépend de l’état de polarisation de la lumière.

Cas simple de BRDF: surface Lambertienne Le cas le plus simple de BRDF est celui d’une constante qui ne dépend ni de l’angle incident ni de l’angle sortant.Le cas le plus simple de BRDF est celui d’une constante qui ne dépend ni de l’angle incident ni de l’angle sortant. Une telle surface est appelée surface idéalement diffuse ou Lambertienne.Une telle surface est appelée surface idéalement diffuse ou Lambertienne. Attention: en raison de la conservation d’énergie, cette constante ne peut pas être plus grande que 1/ Attention: en raison de la conservation d’énergie, cette constante ne peut pas être plus grande que 1/  D’où la formule suivante (K d est appelé coefficient diffus ou albedo):D’où la formule suivante (K d est appelé coefficient diffus ou albedo): Le cas le plus simple de BRDF est celui d’une constante qui ne dépend ni de l’angle incident ni de l’angle sortant.Le cas le plus simple de BRDF est celui d’une constante qui ne dépend ni de l’angle incident ni de l’angle sortant. Une telle surface est appelée surface idéalement diffuse ou Lambertienne.Une telle surface est appelée surface idéalement diffuse ou Lambertienne. Attention: en raison de la conservation d’énergie, cette constante ne peut pas être plus grande que 1/ Attention: en raison de la conservation d’énergie, cette constante ne peut pas être plus grande que 1/  D’où la formule suivante (K d est appelé coefficient diffus ou albedo):D’où la formule suivante (K d est appelé coefficient diffus ou albedo):

Cas simple de BRDF: miroir parfait Un autre cas simple de BRDF est celui d’un miroir parfait:Un autre cas simple de BRDF est celui d’un miroir parfait: La BRDF vaut 0 sauf dans la direction idéale de réflexion et la luminance quittant la surface est directement proportionnelle à la luminance qui entre (comme pour Fresnel), donc: Lr = KrLiLa BRDF vaut 0 sauf dans la direction idéale de réflexion et la luminance quittant la surface est directement proportionnelle à la luminance qui entre (comme pour Fresnel), donc: Lr = KrLi D’après la définition de la BRDF:D’après la définition de la BRDF: Un autre cas simple de BRDF est celui d’un miroir parfait:Un autre cas simple de BRDF est celui d’un miroir parfait: La BRDF vaut 0 sauf dans la direction idéale de réflexion et la luminance quittant la surface est directement proportionnelle à la luminance qui entre (comme pour Fresnel), donc: Lr = KrLiLa BRDF vaut 0 sauf dans la direction idéale de réflexion et la luminance quittant la surface est directement proportionnelle à la luminance qui entre (comme pour Fresnel), donc: Lr = KrLi D’après la définition de la BRDF:D’après la définition de la BRDF: K r est appelé coefficient de réflexion

Séparabilité de la BRDF La plupart des surfaces ne sont jamais soit parfaitement Lambertienne, soit des miroirs parfaits.La plupart des surfaces ne sont jamais soit parfaitement Lambertienne, soit des miroirs parfaits. Néanmoins, on constate souvent que les surfaces naturelles, ont à la fois une partie diffuse et une partie brillante, appelée spéculaire, d’où la notion de « séparabilité » de BRDFNéanmoins, on constate souvent que les surfaces naturelles, ont à la fois une partie diffuse et une partie brillante, appelée spéculaire, d’où la notion de « séparabilité » de BRDF On exprime donc parfois la BRDF comme une somme de deux composantes:On exprime donc parfois la BRDF comme une somme de deux composantes: tel que K d +K s <1tel que K d +K s <1 La plupart des surfaces ne sont jamais soit parfaitement Lambertienne, soit des miroirs parfaits.La plupart des surfaces ne sont jamais soit parfaitement Lambertienne, soit des miroirs parfaits. Néanmoins, on constate souvent que les surfaces naturelles, ont à la fois une partie diffuse et une partie brillante, appelée spéculaire, d’où la notion de « séparabilité » de BRDFNéanmoins, on constate souvent que les surfaces naturelles, ont à la fois une partie diffuse et une partie brillante, appelée spéculaire, d’où la notion de « séparabilité » de BRDF On exprime donc parfois la BRDF comme une somme de deux composantes:On exprime donc parfois la BRDF comme une somme de deux composantes: tel que K d +K s <1tel que K d +K s <1 K s est appelé coefficient spéculaire

- 75 -

Modèle de Cook-Torrance (1981) C’est le premier modèle qui a tenté d’utiliser certains fondements de la physique optique, et en particulier les lois de FresnelC’est le premier modèle qui a tenté d’utiliser certains fondements de la physique optique, et en particulier les lois de Fresnel Il est basé sur l’hypothèse suivante: une surface vue au microscope peut être décrite par un ensemble de micro-facettes, en forme de V respectant chacune le critère de Fresnel:Il est basé sur l’hypothèse suivante: une surface vue au microscope peut être décrite par un ensemble de micro-facettes, en forme de V respectant chacune le critère de Fresnel: C’est le premier modèle qui a tenté d’utiliser certains fondements de la physique optique, et en particulier les lois de FresnelC’est le premier modèle qui a tenté d’utiliser certains fondements de la physique optique, et en particulier les lois de Fresnel Il est basé sur l’hypothèse suivante: une surface vue au microscope peut être décrite par un ensemble de micro-facettes, en forme de V respectant chacune le critère de Fresnel:Il est basé sur l’hypothèse suivante: une surface vue au microscope peut être décrite par un ensemble de micro-facettes, en forme de V respectant chacune le critère de Fresnel: F: est le terme de Fresnel D: une probabilité de distribution de micro-facettes G: un terme géométrique pour tenir compte du masquage et ombrage

Terme de Fresnel Le terme de Fresnel correspond au coefficient de réflexion que nous avions déjà évoqué :Le terme de Fresnel correspond au coefficient de réflexion que nous avions déjà évoqué : Il dépend :Il dépend : De l’indice de réfraction complexe (n-i  ), qui dépend lui même de la longueur d’onde.De l’indice de réfraction complexe (n-i  ), qui dépend lui même de la longueur d’onde. De l’angle d’incidence: on prend la bissectrice entre la direction d’observation et d’incidence de lumière.De l’angle d’incidence: on prend la bissectrice entre la direction d’observation et d’incidence de lumière. Le terme de Fresnel correspond au coefficient de réflexion que nous avions déjà évoqué :Le terme de Fresnel correspond au coefficient de réflexion que nous avions déjà évoqué : Il dépend :Il dépend : De l’indice de réfraction complexe (n-i  ), qui dépend lui même de la longueur d’onde.De l’indice de réfraction complexe (n-i  ), qui dépend lui même de la longueur d’onde. De l’angle d’incidence: on prend la bissectrice entre la direction d’observation et d’incidence de lumière.De l’angle d’incidence: on prend la bissectrice entre la direction d’observation et d’incidence de lumière.

Micro-facettes Déterminer la portion de facettes qui sont « bien » orientées:Déterminer la portion de facettes qui sont « bien » orientées:  m: mesure la rugosité (0.2 à 0.6) H N BECKMANN et SPIZZICHINO 

Masquage et Ombrage masquage ombrage Le terme géométrique prend en compte le masquage et l’ombrage:

- 80 -

Angle solide Le terme qui reste dans cette formule correspond à la quantité de micro-facettes visibles pour un angle solide entrant et sortant donné: BRDF de COOK et TORRANCE (Kd=0.4, Ks=0.3, m=0.2)

Exemple Plastique Cuivre

Limites… Malgré une formulation plus complète, le modèle de Cook-Torrance reste assez approximatif (voire physiquement incorrect):Malgré une formulation plus complète, le modèle de Cook-Torrance reste assez approximatif (voire physiquement incorrect): Les angles rasants posent des problèmes de conservation d’énergieLes angles rasants posent des problèmes de conservation d’énergie Les rebonds ne sont pas pris en compteLes rebonds ne sont pas pris en compte L’état vibratoire de la lumière non plus (polarisation, interférences, diffraction, etc.)L’état vibratoire de la lumière non plus (polarisation, interférences, diffraction, etc.) TransparenceTransparence … Malgré une formulation plus complète, le modèle de Cook-Torrance reste assez approximatif (voire physiquement incorrect):Malgré une formulation plus complète, le modèle de Cook-Torrance reste assez approximatif (voire physiquement incorrect): Les angles rasants posent des problèmes de conservation d’énergieLes angles rasants posent des problèmes de conservation d’énergie Les rebonds ne sont pas pris en compteLes rebonds ne sont pas pris en compte L’état vibratoire de la lumière non plus (polarisation, interférences, diffraction, etc.)L’état vibratoire de la lumière non plus (polarisation, interférences, diffraction, etc.) TransparenceTransparence …

Couches fines

- 85 -

Utilisation de la BRDF: Evaluation de la lumière réfléchie La BRDF est utilisée pour évaluer le comportement lumière-matière d’une surface réelle.La BRDF est utilisée pour évaluer le comportement lumière-matière d’une surface réelle. Elle permet de calculer la luminance réfléchie en fonction de l’éclairement incidentElle permet de calculer la luminance réfléchie en fonction de l’éclairement incident La BRDF est utilisée pour évaluer le comportement lumière-matière d’une surface réelle.La BRDF est utilisée pour évaluer le comportement lumière-matière d’une surface réelle. Elle permet de calculer la luminance réfléchie en fonction de l’éclairement incidentElle permet de calculer la luminance réfléchie en fonction de l’éclairement incident

Capteurs et restitution Vision humaine Affichage sur écran

- 88 -

Vision humaine Processus psycho-sensoriel complexe –Quantité (luminance) : clarté et éblouissement –Qualité (couleur) –Contrastes –Mouvements et rémanence –Ambiance lumineuse –Adaptation temporelle –Acuité (résolution spatiale) –Interprétation par le cerveau –Influences culturelles ?

L’œil humain: un photorécepteur La rétine de l’œil humain est tapissée de deux types de photo- récepteurs:La rétine de l’œil humain est tapissée de deux types de photo- récepteurs: cônes (6 millions)cônes (6 millions) bâtonnets (120 millions).bâtonnets (120 millions). La rétine de l’œil humain est tapissée de deux types de photo- récepteurs:La rétine de l’œil humain est tapissée de deux types de photo- récepteurs: cônes (6 millions)cônes (6 millions) bâtonnets (120 millions).bâtonnets (120 millions). Il existe 3 types de cônes, et un seul type de bâtonnets.

Sensibilité de l’œil Les cônes et les bâtonnets réagissent en fonction de deux éléments: 1) l’énergie du vecteur électrique: perçue comme l’intensité (visuelle) 2) la fréquence du vecteur électrique: perçue comme la chromaticité

Vision humaine La réaction des cônes et des bâtonnets est proportionnelle à la luminance reçue (donc au flux lumineux par unité de surface et par angle solide projeté). En effet, l’œil perçoit:La réaction des cônes et des bâtonnets est proportionnelle à la luminance reçue (donc au flux lumineux par unité de surface et par angle solide projeté). En effet, l’œil perçoit: La position de la lumière (variation spatiale), d’où la notion d’imageLa position de la lumière (variation spatiale), d’où la notion d’image La direction de provenance;La direction de provenance; La sensibilité à la radiance dépend aussi de la longueur d’onde: pour deux longueurs d’ondes différentes une même énergie ne produit pas une même sensation « d’intensité lumineuse ».La sensibilité à la radiance dépend aussi de la longueur d’onde: pour deux longueurs d’ondes différentes une même énergie ne produit pas une même sensation « d’intensité lumineuse ». En raison de cette sensibilité non constante sur le spectre une mesure énergétique parallèle s’est établie: la photométrie.En raison de cette sensibilité non constante sur le spectre une mesure énergétique parallèle s’est établie: la photométrie. La réaction des cônes et des bâtonnets est proportionnelle à la luminance reçue (donc au flux lumineux par unité de surface et par angle solide projeté). En effet, l’œil perçoit:La réaction des cônes et des bâtonnets est proportionnelle à la luminance reçue (donc au flux lumineux par unité de surface et par angle solide projeté). En effet, l’œil perçoit: La position de la lumière (variation spatiale), d’où la notion d’imageLa position de la lumière (variation spatiale), d’où la notion d’image La direction de provenance;La direction de provenance; La sensibilité à la radiance dépend aussi de la longueur d’onde: pour deux longueurs d’ondes différentes une même énergie ne produit pas une même sensation « d’intensité lumineuse ».La sensibilité à la radiance dépend aussi de la longueur d’onde: pour deux longueurs d’ondes différentes une même énergie ne produit pas une même sensation « d’intensité lumineuse ». En raison de cette sensibilité non constante sur le spectre une mesure énergétique parallèle s’est établie: la photométrie.En raison de cette sensibilité non constante sur le spectre une mesure énergétique parallèle s’est établie: la photométrie.

Photométrie La sensibilité est une fonction Gaussienne atteignant zéro aux extrémités 380 et 780nm et ayant un maximum autour de 555nm.La sensibilité est une fonction Gaussienne atteignant zéro aux extrémités 380 et 780nm et ayant un maximum autour de 555nm. La photométrie pondère l’énergie par cette fonction.La photométrie pondère l’énergie par cette fonction. L’unité de référence est historiquement la chandelle.L’unité de référence est historiquement la chandelle. La sensibilité est une fonction Gaussienne atteignant zéro aux extrémités 380 et 780nm et ayant un maximum autour de 555nm.La sensibilité est une fonction Gaussienne atteignant zéro aux extrémités 380 et 780nm et ayant un maximum autour de 555nm. La photométrie pondère l’énergie par cette fonction.La photométrie pondère l’énergie par cette fonction. L’unité de référence est historiquement la chandelle.L’unité de référence est historiquement la chandelle. Flux énergétique Flux lumineux (lumen) Eclairement Eclairement (lux) Intensité Intensité lumineuse (candela) Radiance Luminance (candela/m 2 ) Ex: =0,318W/m 2 /sr, =0,318x683=217 cd/m 2

Réaction des cônes et bâtonnets La réaction des cônes et bâtonnets dépend aussi de la quantité globale d’énergie reçue (en cd/m 2 ou en Watt/m 2 /sr)La réaction des cônes et bâtonnets dépend aussi de la quantité globale d’énergie reçue (en cd/m 2 ou en Watt/m 2 /sr) en dessous de cd/m 2 : ils ne réagissent pas. On ne voit rien.en dessous de cd/m 2 : ils ne réagissent pas. On ne voit rien. en dessous de cd/m 2 : seuls les bâtonnets réagissent. C’est la vision de nuit, aussi appelée vision scotopique.en dessous de cd/m 2 : seuls les bâtonnets réagissent. C’est la vision de nuit, aussi appelée vision scotopique. de cd/m 2 à 3 cd/m 2 : les bâtonnets et les cônes réagissent. C’est la vision du soir, aussi appelée vision mesopique.de cd/m 2 à 3 cd/m 2 : les bâtonnets et les cônes réagissent. C’est la vision du soir, aussi appelée vision mesopique. Au dessus de 3 cd/m 2 : seuls les 3 types de cônes réagissent. C’est la vision de jour, aussi appelée vision photopique.Au dessus de 3 cd/m 2 : seuls les 3 types de cônes réagissent. C’est la vision de jour, aussi appelée vision photopique. La réaction des cônes et bâtonnets dépend aussi de la quantité globale d’énergie reçue (en cd/m 2 ou en Watt/m 2 /sr)La réaction des cônes et bâtonnets dépend aussi de la quantité globale d’énergie reçue (en cd/m 2 ou en Watt/m 2 /sr) en dessous de cd/m 2 : ils ne réagissent pas. On ne voit rien.en dessous de cd/m 2 : ils ne réagissent pas. On ne voit rien. en dessous de cd/m 2 : seuls les bâtonnets réagissent. C’est la vision de nuit, aussi appelée vision scotopique.en dessous de cd/m 2 : seuls les bâtonnets réagissent. C’est la vision de nuit, aussi appelée vision scotopique. de cd/m 2 à 3 cd/m 2 : les bâtonnets et les cônes réagissent. C’est la vision du soir, aussi appelée vision mesopique.de cd/m 2 à 3 cd/m 2 : les bâtonnets et les cônes réagissent. C’est la vision du soir, aussi appelée vision mesopique. Au dessus de 3 cd/m 2 : seuls les 3 types de cônes réagissent. C’est la vision de jour, aussi appelée vision photopique.Au dessus de 3 cd/m 2 : seuls les 3 types de cônes réagissent. C’est la vision de jour, aussi appelée vision photopique.

Sensibilité à la luminance Lois de Weber et Bodmann

Exemples de valeurs Luminance en candela/m 2 Surface observée 10 9 = soleil 10 5 = Neige reflétant le soleil 10 4 = Sable reflétant le soleil 10 3 = Ciel nuageux 10 2 = 100 Lumière intérieure = 0,1 Surface blanche réfléchissant la lune = 0,001 Surface blanche éclairée par les étoiles = 0, Limite inférieure de vision humaine

Théorie trichromatique Les 3 types de cônes sont à l’origine de la théorie tri-chromatique de la couleur.Les 3 types de cônes sont à l’origine de la théorie tri-chromatique de la couleur. Chacun des trois types de cônes réagit à une longueur d’onde différente (trois courbes de sensibilité différentes). Le maximum des courbes est atteint pour :Chacun des trois types de cônes réagit à une longueur d’onde différente (trois courbes de sensibilité différentes). Le maximum des courbes est atteint pour : - 645nm: lumière monochromatique perçue comme rouge - 526nm: lumière monochromatique perçue comme vert - 444nm: lumière monochromatique perçue comme bleu En conséquence: deux spectres lumineux différents peuvent néanmoins conduire à la même réaction du nerf optique. Ce phénomène est appelé le métamérisme.En conséquence: deux spectres lumineux différents peuvent néanmoins conduire à la même réaction du nerf optique. Ce phénomène est appelé le métamérisme. Les 3 types de cônes sont à l’origine de la théorie tri-chromatique de la couleur.Les 3 types de cônes sont à l’origine de la théorie tri-chromatique de la couleur. Chacun des trois types de cônes réagit à une longueur d’onde différente (trois courbes de sensibilité différentes). Le maximum des courbes est atteint pour :Chacun des trois types de cônes réagit à une longueur d’onde différente (trois courbes de sensibilité différentes). Le maximum des courbes est atteint pour : - 645nm: lumière monochromatique perçue comme rouge - 526nm: lumière monochromatique perçue comme vert - 444nm: lumière monochromatique perçue comme bleu En conséquence: deux spectres lumineux différents peuvent néanmoins conduire à la même réaction du nerf optique. Ce phénomène est appelé le métamérisme.En conséquence: deux spectres lumineux différents peuvent néanmoins conduire à la même réaction du nerf optique. Ce phénomène est appelé le métamérisme.

- 98 -

Théorie trichromatique La couleur n’est qu’une interprétationLa couleur n’est qu’une interprétation du cerveau. du cerveau. Elle dépend de la proportion mutuelle desElle dépend de la proportion mutuelle des énergies électriques transmises par les trois énergies électriques transmises par les trois types de cônes à travers le nerf optique. types de cônes à travers le nerf optique. On peut donc reproduire une sensation deOn peut donc reproduire une sensation de couleur en n’utilisant que couleur en n’utilisant que trois composantes indépendantes. trois composantes indépendantes. Ceci revient à définir une baseCeci revient à définir une base de l’espace 3D des couleurs. de l’espace 3D des couleurs. La couleur n’est qu’une interprétationLa couleur n’est qu’une interprétation du cerveau. du cerveau. Elle dépend de la proportion mutuelle desElle dépend de la proportion mutuelle des énergies électriques transmises par les trois énergies électriques transmises par les trois types de cônes à travers le nerf optique. types de cônes à travers le nerf optique. On peut donc reproduire une sensation deOn peut donc reproduire une sensation de couleur en n’utilisant que couleur en n’utilisant que trois composantes indépendantes. trois composantes indépendantes. Ceci revient à définir une baseCeci revient à définir une base de l’espace 3D des couleurs. de l’espace 3D des couleurs. 

Réponse spatiale - Acuité

Orientation

Formation des images Echantillonnage

Formation des images Distorsion géométrique + autres effets (profondeur de champ, flous, …

Le HVS Œil + cerveau Œil : capteur adaptatif et en mouvement Observateur de référence Conditions d’observations normalisées

Une part de subjectivité Formation des images

Image « relief »

Image « stéréo »

Réponse spatiale - Bandes de Mach

Contraste(Col) = (max(Col)-min(Col))/(max(Col)+min(Col)) Contraste = Contraste(R)>0.4 ou Contraste (V)>0.3 ou Contraste(B)>0.6

Comportement temporel –Rémanence –Adaptation –« Balayage »

Colorimétrie : un calcul chiffré des couleurs

Le « Blanc »

Base de Couleurs RVB

Base de Couleur XYZ Note: dans cette base Y représente la luminance L perçue en cd/m 2

Traitement d’Images Colorimétrie Formation des images Transformation XYZ - RVB Pour un écran calibré Pour tout autre système, il existe une méthode pour recalculer les coefficients

Echantillonnage spectral Pré-intégration ? 3 pics des fonctions RVB, XYZ ? 4 échantillons ou plus (Meyer88) Échantillonnage régulier ex 5nm

Diagramme de chromaticité de la CIE x=X/(X+Y+Z) y=Y/(X+Y+Z) x+y+z=1 (Y,x,y) forme un système complet car: X=Yx/y Z=Y(1-x-y)/y

Linéarisation: CIE L*a*b* Le modèle de couleur CIELAB a été créé comme un modèle absolu, indépendant du matériel, utilisable comme référence théorique. CIE 1976 L*a*b* est directement basé sur le diagramme CIE XYZ et vise à uniformiser la perception des différences de couleurs. avec

Métrique des couleurs : Lu*v*

Teinte, Saturation, Valeur

Le repère HSL

Le repère HSL

Formation d’image  Spectre lumineux E B Un appareil photo fonctionne à peu près de la même façon

RVB du « display »

Correction des clartés

Correction gamma Et quantification … Yout = Y γ γ dépend du moniteur (env. 2.3) ==> faire Yin = Yin 1/γ I(R|V |B)moniteur = partie entière ((Ld(R|V |B) ∗ 255) + 0.5) Pb des valeurs négatives !

Autres capteurs ou systèmes Caméra solide CCD (transfert de charge)

Le film photographique Résolution >> 1000 dpi Sensibilité = réponse à l’exposition Opacité = f(Eclairement * temps) Problèmes : Visualisation des diapos (lampes, …) Photos (tirage, visualisation)

Restitution sur imprimante - -Halftoning (demi-teinte), Dithering (tramage), simili - -NB (aiguille, laser). - -Couleur (laser, jet d’encre, sublimation) CYMK - CMJN taille des taches - résolution mélange des couleurs calibrage du noir calibrage spatial C Y = M RVBRVB

Equation du rendu

Equation du rendu La luminance qui quitte une surface en un point P pour atteindre l’œil est fonction de l’éclairement incident et de la luminance propre en ce point si c’est une source, d’où la formule suivante:La luminance qui quitte une surface en un point P pour atteindre l’œil est fonction de l’éclairement incident et de la luminance propre en ce point si c’est une source, d’où la formule suivante: Il s’agit ici d’une équation dont l’inconnue est L, car L se retrouve des deux cotés de l’égalité…Il s’agit ici d’une équation dont l’inconnue est L, car L se retrouve des deux cotés de l’égalité… En mathématique on parle d’équation de Fredholm du 2ème ordre.En mathématique on parle d’équation de Fredholm du 2ème ordre. Ce type d’équation ne peut pas être résolu analytiquement, pas même pour des cas très simples.Ce type d’équation ne peut pas être résolu analytiquement, pas même pour des cas très simples. En informatique graphique on parle de l’équation du rendu.En informatique graphique on parle de l’équation du rendu. La luminance qui quitte une surface en un point P pour atteindre l’œil est fonction de l’éclairement incident et de la luminance propre en ce point si c’est une source, d’où la formule suivante:La luminance qui quitte une surface en un point P pour atteindre l’œil est fonction de l’éclairement incident et de la luminance propre en ce point si c’est une source, d’où la formule suivante: Il s’agit ici d’une équation dont l’inconnue est L, car L se retrouve des deux cotés de l’égalité…Il s’agit ici d’une équation dont l’inconnue est L, car L se retrouve des deux cotés de l’égalité… En mathématique on parle d’équation de Fredholm du 2ème ordre.En mathématique on parle d’équation de Fredholm du 2ème ordre. Ce type d’équation ne peut pas être résolu analytiquement, pas même pour des cas très simples.Ce type d’équation ne peut pas être résolu analytiquement, pas même pour des cas très simples. En informatique graphique on parle de l’équation du rendu.En informatique graphique on parle de l’équation du rendu.

Equation pour une scène Si la scène est composée d’un ensemble de N surfaces, alors l’équation précédente s’écrit également:Si la scène est composée d’un ensemble de N surfaces, alors l’équation précédente s’écrit également: On introduit ici un terme de visibilité V(X,P) qui vaut 0 si X n’est pas visible à partir de P et 1 sinon.On introduit ici un terme de visibilité V(X,P) qui vaut 0 si X n’est pas visible à partir de P et 1 sinon. Note: cette équation n’est évidemment valide que si les objets sont entourés de vide (l’air en l’occurrence n’est pas du vide…)Note: cette équation n’est évidemment valide que si les objets sont entourés de vide (l’air en l’occurrence n’est pas du vide…) Si la scène est composée d’un ensemble de N surfaces, alors l’équation précédente s’écrit également:Si la scène est composée d’un ensemble de N surfaces, alors l’équation précédente s’écrit également: On introduit ici un terme de visibilité V(X,P) qui vaut 0 si X n’est pas visible à partir de P et 1 sinon.On introduit ici un terme de visibilité V(X,P) qui vaut 0 si X n’est pas visible à partir de P et 1 sinon. Note: cette équation n’est évidemment valide que si les objets sont entourés de vide (l’air en l’occurrence n’est pas du vide…)Note: cette équation n’est évidemment valide que si les objets sont entourés de vide (l’air en l’occurrence n’est pas du vide…)

Eclairage Primaire / Secondaire En notant:En notant: l’équation précédente s’écrit plus simplement :l’équation précédente s’écrit plus simplement : En notant:En notant: l’équation précédente s’écrit plus simplement :l’équation précédente s’écrit plus simplement :

Eclairage Primaire / Secondaire En remplaçant sous la somme le terme L r (X,  i ) par :En remplaçant sous la somme le terme L r (X,  i ) par : alors l’équation s’écrit également:alors l’équation s’écrit également: Soit:Soit: En remplaçant sous la somme le terme L r (X,  i ) par :En remplaçant sous la somme le terme L r (X,  i ) par : alors l’équation s’écrit également:alors l’équation s’écrit également: Soit:Soit: propre direct indirect

Notions de rebonds En reprenant l’équation initiale :En reprenant l’équation initiale : Et en notant:Et en notant: On obtient:On obtient: En reprenant l’équation initiale :En reprenant l’équation initiale : Et en notant:Et en notant: On obtient:On obtient:

Milieux participatifs

Propagation dans un milieu Dans le vide la lumière se propage selon une trajectoire rectiligne sans perte d’énergie.Dans le vide la lumière se propage selon une trajectoire rectiligne sans perte d’énergie. Dans un milieu autre que le vide (air, eau, etc.) la lumière se propage selon la distance optique la plus courte (pas forcément rectiligne) en subissant des pertes.Dans un milieu autre que le vide (air, eau, etc.) la lumière se propage selon la distance optique la plus courte (pas forcément rectiligne) en subissant des pertes. Pour ce type de milieu, on parle de milieu participatif.Pour ce type de milieu, on parle de milieu participatif. La trajectoire peut être par exemple courbe selon les variations de l’indice de réfraction dans le milieu (cf. mirages).La trajectoire peut être par exemple courbe selon les variations de l’indice de réfraction dans le milieu (cf. mirages). Dans le vide la lumière se propage selon une trajectoire rectiligne sans perte d’énergie.Dans le vide la lumière se propage selon une trajectoire rectiligne sans perte d’énergie. Dans un milieu autre que le vide (air, eau, etc.) la lumière se propage selon la distance optique la plus courte (pas forcément rectiligne) en subissant des pertes.Dans un milieu autre que le vide (air, eau, etc.) la lumière se propage selon la distance optique la plus courte (pas forcément rectiligne) en subissant des pertes. Pour ce type de milieu, on parle de milieu participatif.Pour ce type de milieu, on parle de milieu participatif. La trajectoire peut être par exemple courbe selon les variations de l’indice de réfraction dans le milieu (cf. mirages).La trajectoire peut être par exemple courbe selon les variations de l’indice de réfraction dans le milieu (cf. mirages).

Propagation dans le milieu En présence d’un milieu participatif (semi-transparent), il faut une modélisation volumique de la propagation.En présence d’un milieu participatif (semi-transparent), il faut une modélisation volumique de la propagation. Un élément de volume participatif absorbe, diffuse et laisse passer la lumière le long de la trajectoire :Un élément de volume participatif absorbe, diffuse et laisse passer la lumière le long de la trajectoire : En présence d’un milieu participatif (semi-transparent), il faut une modélisation volumique de la propagation.En présence d’un milieu participatif (semi-transparent), il faut une modélisation volumique de la propagation. Un élément de volume participatif absorbe, diffuse et laisse passer la lumière le long de la trajectoire :Un élément de volume participatif absorbe, diffuse et laisse passer la lumière le long de la trajectoire : Ka: mesure l’absorption Ks: mesure la diffusion (scattering) Kt=Ka+Ks: coefficient d’extinction Ks/Kt: albedo

Fonction de phase La manière dont la lumière non absorbée et non directement transmise sera diffusée, est modélisée par la fonction de phase.La manière dont la lumière non absorbée et non directement transmise sera diffusée, est modélisée par la fonction de phase. On distingue deux catégories de fonctions de phase: isotrope ou anisotropeOn distingue deux catégories de fonctions de phase: isotrope ou anisotrope La manière dont la lumière non absorbée et non directement transmise sera diffusée, est modélisée par la fonction de phase.La manière dont la lumière non absorbée et non directement transmise sera diffusée, est modélisée par la fonction de phase. On distingue deux catégories de fonctions de phase: isotrope ou anisotropeOn distingue deux catégories de fonctions de phase: isotrope ou anisotrope Isotrope: p() est une constante ii rr Anisotrope: p() dépend de cos(  ) cos  i  r

Formulation de l’équation Dans un milieux homogène le différentiel de luminance le long d’un élément de trajectoire s’exprime par :Dans un milieux homogène le différentiel de luminance le long d’un élément de trajectoire s’exprime par : D’où l’équation théorique suivante :D’où l’équation théorique suivante : Dans un milieux homogène le différentiel de luminance le long d’un élément de trajectoire s’exprime par :Dans un milieux homogène le différentiel de luminance le long d’un élément de trajectoire s’exprime par : D’où l’équation théorique suivante :D’où l’équation théorique suivante :

Sans diffusion Si la diffusion du milieu est nulle (Ks=0) alors l’équation se réduit à ne considérer que l’absorption :Si la diffusion du milieu est nulle (Ks=0) alors l’équation se réduit à ne considérer que l’absorption : D’où le résultat suivant : la luminance traversant un milieu participatif non diffusant subit une perte exponentielle:D’où le résultat suivant : la luminance traversant un milieu participatif non diffusant subit une perte exponentielle: Si la diffusion du milieu est nulle (Ks=0) alors l’équation se réduit à ne considérer que l’absorption :Si la diffusion du milieu est nulle (Ks=0) alors l’équation se réduit à ne considérer que l’absorption : D’où le résultat suivant : la luminance traversant un milieu participatif non diffusant subit une perte exponentielle:D’où le résultat suivant : la luminance traversant un milieu participatif non diffusant subit une perte exponentielle: D E S

Avec diffusion Si la diffusion du milieu n’est pas nulle alors il faut utiliser la formulation complète.Si la diffusion du milieu n’est pas nulle alors il faut utiliser la formulation complète. D’où le résultat suivant : la luminance traversant un milieu participatif est le résultat de deux termes:D’où le résultat suivant : la luminance traversant un milieu participatif est le résultat de deux termes: Si la diffusion du milieu n’est pas nulle alors il faut utiliser la formulation complète.Si la diffusion du milieu n’est pas nulle alors il faut utiliser la formulation complète. D’où le résultat suivant : la luminance traversant un milieu participatif est le résultat de deux termes:D’où le résultat suivant : la luminance traversant un milieu participatif est le résultat de deux termes: D E S

Problèmes d’échelle Interférences « caustics » Milieu de propagation Matières non homogènes, textures Matières non isotropes Transparence

Conclusion La formulation de l’équation de rendu est très complexe.La formulation de l’équation de rendu est très complexe. Il faut à présent:Il faut à présent: Modéliser le comportement des matériaux constituant les objets;Modéliser le comportement des matériaux constituant les objets; Modéliser des sources de lumière;Modéliser des sources de lumière; Modéliser la lumière;Modéliser la lumière; Résoudre l’équation du rendu;Résoudre l’équation du rendu; Modéliser le comportement du capteur optique;Modéliser le comportement du capteur optique; De nombreuses techniques de simplification du problème d’illumination globale ont été proposées. La plupart se base sur la technique dite du lancé de rayons.De nombreuses techniques de simplification du problème d’illumination globale ont été proposées. La plupart se base sur la technique dite du lancé de rayons. D’autres consistent à faire du précalcul et à utiliser OpenGl pour faire des affichages temps réelD’autres consistent à faire du précalcul et à utiliser OpenGl pour faire des affichages temps réel La formulation de l’équation de rendu est très complexe.La formulation de l’équation de rendu est très complexe. Il faut à présent:Il faut à présent: Modéliser le comportement des matériaux constituant les objets;Modéliser le comportement des matériaux constituant les objets; Modéliser des sources de lumière;Modéliser des sources de lumière; Modéliser la lumière;Modéliser la lumière; Résoudre l’équation du rendu;Résoudre l’équation du rendu; Modéliser le comportement du capteur optique;Modéliser le comportement du capteur optique; De nombreuses techniques de simplification du problème d’illumination globale ont été proposées. La plupart se base sur la technique dite du lancé de rayons.De nombreuses techniques de simplification du problème d’illumination globale ont été proposées. La plupart se base sur la technique dite du lancé de rayons. D’autres consistent à faire du précalcul et à utiliser OpenGl pour faire des affichages temps réelD’autres consistent à faire du précalcul et à utiliser OpenGl pour faire des affichages temps réel

Résolution Tracé de rayon global Système d’équation