Sémantique « continuationnelle » un aperçu

Quest-ce quune continuation? Exemple : –calculer (n), puis ensuite f( (n)) f est « la continuation » de la suite de calculs au moment où on termine avec, on ne sait pas ce qui vient après faire de « ce qui vient après » largument dune fonction -barre(n, f) = f( (n))

Continuation et types : a b f : b c -barre : a ((b c) c) cas particulier: c = -barre(n) : (b ) logique classique : (b ) b

Ex: sémantique de Montague Quantificateur tout : (e t) ((e t) t) tout chat : (e t) t initialement : SN de type e SN quantifié : de type (e t) t cest le « continuisé » de [[SN]]

SNSV SNSV fonctionArgument fonctionArgument

YX1 X2 X4 X3 Contextes successifs

utilités En programmation : –En cas derreur, sauver le calcul intermédiaire et effectuer une opération (envoi dun message) –Cf. GOTO (aller directement à une instruction de programme, ici cest comme si on donnait comme argument la suite dinstructions à partir dune certaine étiquette)

Exemple (define (produit L) (if (null ? L) 1 (* (car L)(produit (cdr L)))) Pas efficace (produit (2, 3, 0, 1)) = 2 * (produit (3, 0, 1)) = 2 * (3 * (produit (0, 1))) = 2 * (3 * (0 * (produit (1)))) = 2 * (3 * (0 * (1 * (produit ())))) = 2 * (3 * (0 * (1 * 1))) = 2 * (3 * (0 * 1)) = 2 * (3 * 0)) = 2 * 0 = 0

Introduire une variable de continuation (define (produit-barre L k) (cond ((null ? L) (k 1)) ((zero ? (car L)) 0) (else (produit-barre (cdr L)(lambda (p) (k (* p (car L))))))) (produit-barre (2, 3, 0, 1) id) = (produit-barre (3, 0, 1)(lambda (p)(id (* p 2)))) = (produit-barre (0, 1)(lambda (p)((lambda (p)(id (* p 2)))(* p 3)))) = 0 commentaire : partons de k = id, si la liste L nest pas vide et si son premier élément nest pas 0, alors on applique la fonction au cdr, avec comme valeur de k : p. p (car L), puis si (cdr L) nest pas vide et son premier élément nest pas 0, on applique la fonction au cdr du cdr mais cette fois avec comme valeur de k : p. ( p. p (car L) p (car (cdr L))) = p. (p (car (cdr L))) (car L) etc.

Fonctions qui manipulent les contextes Soit E = (… (call/cc (lambda(k) corps) …) Lappel de call/cc lie k à la continuation qui suit (call/cc (lambda(k) corps) dans E

exemple (call/cc (lambda (k)(+ 2 (* 7 (k 3))))) contexte : identité résultat : 3 (* 4 (+ (call/cc (lambda (k) (* 5 8))) 2)) contexte : (lambda ([])(* 4 (+ [] 2))) résultat : (* 4 (+ (* 5 8) 2)), soit : 168 (* 4 (+ (call/cc (lambda (k) (* (k 5) 8))) 2)) même contexte résultat : ((lambda ([])(* 4 (+ [] 2))) 5) 28

( * 4 (+ (call/cc (lambda (k) (* 5 8))) 2)) ( * 4 (+ (call/cc (lambda (k) (* (k 5) 8))) 2))

( * 4 (+ (call/cc (lambda (k) (* 5 8))) 2)) ( * 4 (+ (call/cc (lambda (k) (* (k 5) 8))) 2)) E[call/cc(M)] E[M( z.E[z])] M M E

((lambda ([])(* 4 (+ [] 2))) 5) ( * 4 (+ (* 5 8))) 2)) E[call/cc(M)] E[M( z.E[z])]

-calcul M. Parigot (1990) continuations goto étiquettes dinstructions point de vue logique : –étiquettes dinstructions formules nommées variables « pour nommer » : les -variables Si une -variable « sapplique » à un terme : elle nomme ce terme : –( t) : t est nommé par -abstraction : les termes nommés par deviennent actifs –( M)(N) : N est passé aux sous-termes de M nommés par

exemple ((( y.. ( (y x.. ( x))) u) a) b) ((. ( (u x.. ( x))) a) b)

exemple ((( y.. ( (y x.. ( x))) u) a) b) ((. ( (u x.. ( x))) a) b) (. ( (u x.. ( (x a)))) b)

exemple ((( y.. ( (y x.. ( x))) u) a) b) ((. ( (u x.. ( x))) a) b) (. ( (u x.. ( (x a)))) b). ( (u x.. ( ((x a) b)))) NB: Le fait que létiquette soit conservée fait que lon peut appliquer un tel -terme à une suite quelconque de termes : on nest pas obligé comme dans le -calcul standard de prévoir exactement le nombre de termes auquel on veut appliquer lopérateur.

intuition « The intuition for this term calculus is that each -sequent has exactly one active, or principal, formula, A, on the right-hand side, i-e., the leftmost one, which is the formula upon which all introduction and elimination rules operate » de Paiva & Ritter, 2005

Extension de Curry-Howard |- t : A, |- t :, A, |- ( t) :, A, |-. t : A, 1 ère règle : distinguer une formule et lui donner un nom, en même temps on « gèle » la formule car elle nest plus la première en partie droite 2 ème règle : repérer une formule daprès son étiquette et la rendre active, en même temps, on « dégèle » la formule car elle apparaît maintenant en tête de la partie droite à gauche : que des x : A – x une variable et A un type – à droite : que des A - un nom et A un type –

Interprétation de la négation |- t : A, |- t :, A, |- ( t) :, A, |-. t : A, |- t : A, A, |- t :,, A |- ( t) :,, |-. t : A, |- t : A, |- t : A, |- ( t) : A, |-. t : A, geler une formule = appliquer la double négation dégeler une formule = appliquer lélimination de la double négation

Règle déchange |- t : B, A, |-. ( t) : A, B, Règle « déchange » : rendre active A en gelant B

Exemple de déduction A |- A en logique classique A |- A |- A|- A, A |- A

Obtention dun -terme t : A |- t : A t : A |- ( t) :, A |- M : A|- t. ( t) : A, A |- M( t. ( t)) :, A |-. M( t. ( t)) : A

variations 1..M dans un contexte ([] N) : : ((.M) N).M[( t) := ( (t N))] 2..M dans un contexte (N []) : : (N (.M)).M[( t) := ( (N t))] en ce cas, il ny a plus la propriété de Church-Rosser

de Groote, 2001 Toute personne aime un chat Expressionsémantiquetype toute personne. x. personne(x) ( x) e un chat. y. chat(y) ( y) e aime x. y. ((aime y) x)e (e t)

Pourquoi « toute personne » de type e? (supposer t = ) |- personne: e tx : e |- x : ex : e |- x : e x : e |- personne(x) : tx : e |- ( x) : t, e x : e |- personne(x) ( x) : t, e |- x personne(x) ( x) : t, e |-. x personne(x) ( x) : e supposé de type e (t t) supposé de type t t

Différentes lectures 1- (( x. y. ((aime y) x). y. chat(y) ( y)). x. personne(x) ( x))

Différentes lectures 1- ( y. ((aime y). y. chat(y) ( y)). x. personne(x) ( x))

Différentes lectures 1- ((aime. x. personne(x) ( x) ). y. chat(y) ( y))

Différentes lectures 1- ((aime. x. personne(x) ( x) ). y. chat(y) ( y)) contexte (N [] )

Règle 1- ((. x. personne(x) ( (aime x)) ). y. chat(y) ( y))

contexte ([] N)

Règle 1-. x. personne(x) ( ((aime x) (. y. chat(y) ( y)))) contexte ([] N)

simplification 1- x. personne(x) ((aime x) (. y. chat(y) ( y)))

nouvelle application de 1- x. personne(x). y. chat(y) ( ((aime x) y))

nouvelle simplification 1- x. personne(x) y. chat(y) ((aime x) y)

Différentes lectures 2- ((. x. personne(x) ( (aime x)) ). y. chat(y) ( y)) contexte (N [] )

Règle 2- (. y. chat(y) ( (. x. personne(x) ( (aime x))) y))

simplification 2- y. chat(y) (. x. personne(x) ( (aime x))) y)

Règle 2- y. chat(y) (. x. personne(x) ( (aime x))) y)

Règle 2- y. chat(y) (. x. personne(x) ( ((aime x) y )))

simplification 2- y. chat(y) x. personne(x) ((aime x) y ))

((aime. x. personne(x) ( x) ). y. chat(y) ( y) ) N [ ]

((aime. x. personne(x) ( (aime x)) ). y. chat(y) ( y) )

(. x. personne(x) ( (aime x)). y. chat(y) ( y) )

(. x. personne(x) ( ((aime x). y. chat(y) ( y) )))

(. x. personne(x) ( (. y. chat(y) ( ((aime x) y) )))

x. personne(x) y. chat(y) (aime x) y)

(. x. personne(x) ( (aime x)). y. chat(y) ( y) )

(. y. chat(y) ( (. x. personne(x) ( (aime x)) y) )

y. chat(y) x. personne(x) ((aime x) y)

intérêt Absence de Quantifier-Raising Lobjet quantifié et le sujet quantifié sont traités de la même façon

Grammaires continuisées (Chris Barker) Transformations CPS –c de type e : c = k. k(c) de type, t> – x. M de type : x. M = k. k( x. M) de type, b*>, b*> où b* type de M –(M N) = k. (M ( m. N( n. (k (m n))))) Exemple – x. dort(x) de type – x. dort(x) = k. k( x. dort(x)) de type, t>, t>

exemple Pierre dort old: pierre x. dort(x) dort(pierre) new : u.u(pierre) k.k( x. dort(x)) u.u x. dort(x) dort(pierre)

exemple Pierre dort old: pierre x. dort(x) dort(pierre) new : u.u(pierre) k.k( x. dort(x)) u.u x. dort(x) dort(pierre) Continuation 1

exemple Pierre dort old: pierre x. dort(x) dort(pierre) new : u.u(pierre) k.k( x. dort(x)) u.u x. dort(x) dort(pierre) Continuation 1 Continuation 2

Schèmes de continuation Lemme : étant donnée une règle C AB, avec c = m(a, b) (où nous avons noté a, b et c les représentations sémantiques respectives de A, B et C et où m est lopération qui relie a, b et c, ici lapplication, c = b(a)), il existe deux règles : C AB, avec c* = m 1 (a*,b*) et C AB, avec c* = m 2 (a*,b*) qui sont telles que pour i=1, 2, m i (a*,b*)( x.x) = m(a, b). Il suffit que m 1 et m 2 vérifient la contrainte suivante, appelée schème de continuation : m 1 (a*,b*) = u.(a*( x. (b* ( y u(m(x, y))))))) m 2 (a*,b*) = u. (b*( y. (a* ( x u(m(x, y)))))))

application S SN SV u. [[SV]]* ( P. [[SN]]* ( x. u (P x)))ou u. [[SN]]* ( x. [[SV]]* ( P. u (P x))) où [[X]]* est la continuisation de la sémantique de X Même résultat que de Groote, 2001

Continuisations et DRT daprès de Groote 2005 Problèmes avec DRT: –La fusion de deux DRS peut conduire à des assignations de valeurs qui détruisent les valeurs précédemment assignées –pour léviter: procéder à des renommages astucieux… dans ce qui suit, on ne recourt pas à des variables

Continuisations et DRT daprès de Groote 2005 Un énoncé sinterprète en contexte contexte gauche : g contexte droite : g t énoncé : g ((g t) t)

discours D D E But : trouver la bonne contrepartie sémantique de cette règle –soit e une variable de contexte gauche –soit une variable de contexte droite e.. ([[D]] e ( e.([[E]] e, ))) : Quel lien entre e et e ? D D E ee

DRS [[x 1, …, x n ] ; C 1, …, C m ] x 1, …, x n C 1 … C m Version continuisée: e.. x 1, …, x n C 1 … C m (, e) où e dépend (comment?) de e, x 1, …, x n et est une continuation (« droite ») qui sapplique au nouveau contexte gauche fourni par e x 1, …, x n C 1 … C m e e

exemple John 1 loves Mary 2. He 1 smiles at her 2 désormais: –[[np]] = g ((g (e t)) t) deux cas : –Nom propre : introduit un nouvel indice dans le contexte gauche qui sera utilisé par la continuation (push) –Pronom : sélectionne un indice dans le contexte gaucje (select) NPVP g g (e t) t

push prend pour argument un entier lui associe une fonction qui : –à un objet de type e associe –une fonction de changement de contexte Type : N (e (g g))

select prend en argument un entier lui associe la fonction qui –Au contexte gauche existant associe lobjet de type e qui correspond à cet entier Type : N (g e) select i ( push j a l) = a si i = j = select i l, sinon

Nom propre indicé [[John i ]] = e.. ( (push i john e) john) contexte gauche old continuation Rappel : –[[np]] = g ((g (e t)) t) contexte gauche new e

Pronom indicé [[he i ]] = e.. ( e ( select i e))

Verbe transitif [[np]] ([[np]] [[s]]) (g ((g (e t)) t)) ((g ((g (e t)) t)) (g ((g t) t)))) o. s. e.. (s e ( e. x. (o e ( e. y. (love x y) ( e)))))

dérivation (( o. s. e.. (s e ( e. x. (o e ( e. y. (love x y) ( e))))) [[Mary 2 ]]) [[John 1 ]]) e.. ([[John 1 ]] e ( e. x. ([[Mary 2 ]] e ( e. y. (love x y) ( e))))) = e.. ( e.. ( (push 1 john e) john) e ( e. x. ([[Mary 2 ]] e ( e. y. (love x y) ( e))))) e.. (( e. x. ([[Mary 2 ]] e ( e. y. (love x y) ( e))) (push 1 john e) john)) e.. (( x. ([[Mary 2 ]] (push 1 john e) ( e. y. (love x y) ( e))) john)) e.. (([[Mary 2 ]] (push 1 john e) ( e. y. (love john y) ( e))) = e.. (( e.. ( ( push 2 mary e) mary) (push 1 john e) ( e. y. (love john y) ( e))) e.. ((. ( ( push 2 mary (push 1 john e)) mary) ( e. y. (love john y) ( e))) e.. ((( e. y. (love john y) ( e) ( push 2 mary (push 1 john e)) mary)) e.. ((( y. (love john y) ( ( push 2 mary (push 1 john e))) mary)) e.. ((love john mary) ( ( push 2 mary (push 1 john e))))

… he smiles at her ! cf. e.. ([[D]] e ( e.([[S]] e, ))) pour composer les deux parties avec he smiles at her : e.. (smile (select 1 e)(select 2 e) ( e))

dérivation e.. ([[D]] e ( e.([[S]] e )) = e.. ([[D]] e ( e.( e.. (smile (select 1 e)(select 2 e)) ( e) e )))) e.. ([[D]] e ( e.. (smile (select 1 e)(select 2 e)) ( e) )) e.. ([[D]] e ( e. (smile (select 1 e)(select 2 e)) ( e)))) = e.. ( e.. ((love john mary) ( ( push 2 mary (push 1 john e)))) e ( e. (smile (select 1 e)(select 2 e)) ( e)))) e.. (. ((love john mary) ( ( push 2 mary (push 1 john e)))) ( e. (smile (select 1 e)(select 2 e)) ( e)))) e.. ((love john mary) (( e.(smile (select 1 e)(select 2 e)) ( e))) ( push 2 mary (push 1 john e)))) e.. (love john mary) (smile (select 1 ( push 2 mary (push 1 john e))) (select 2 ( push 2 mary (push 1 john e)))) ( ( push 2 mary (push 1 john e)))

prolongements Eviter: Every man loves a woman. *He smiles at her Pour cela : –Prendre à égalité de traitement contextes gauche et droit –Au lieu de [[Mary i ]] = e.. ( ( push i mary e) mary) [[Marie i ]]=. e.. ( marie e ( e. ( push i marie e))) individu contexte gauche contexte droit contexte gauche individu