Raisonnement et logique

« A l’issue de la seconde, l’élève devra avoir acquis une expérience lui permettant de commencer à distinguer les principes de la logique mathématique de ceux de la logique du langage courant »

Logique du langage courant et logique mathématique Valeur de vérité Causalité et temporalité Implication et équivalence Place de la logique dans l’enseignement Propositions d’activités

Raisonnement et logique Logique « naturelle » et logique mathématique

Raisonnement et logique Valeur de vérité

Raisonnement et logique Causalité et temporalité

tu vas rater le train de 9h15. Cause de la conclusion Si tu pars après 9h tu vas rater le train de 9h15. Effet de l’hypothèse

Si tu fais allemand LV2 alors tu as cours le jeudi à 16h. Si le triangle a un angle obtus l’orthocentre est à l’extérieur du triangle.

Raisonnement et logique Implication

Si tu manges ta soupe tu auras un dessert Condition nécessaire ou suffisante ? Si tu manges ta soupe tu auras un dessert

Exemple : le labyrinthe

Cette réponse s’explique par la pratique de la quantification implicite des énoncés conditionnels dans la classe de mathématiques, qui conduit à interpréter tout énoncé conditionnel comme un énoncé général.

Si X est passé par L alors X est passé par K X est passé par P X est passé par M X est passé par P Vrai ? Faux ? On ne peut pas savoir ?

g est une fonction définie sur IR

Logique et raisonnement Dans les programmes et les manuels

Dans Belin (1994) : Dans Indice (2000) : Implications et encadrements Objectif : repérer si une implication concernant les encadrements est vraie ou fausse. On pourra lier ces implications aux inclusions des intervalles correspondants aux encadrements. Le professeur pourra donner un sens au mot « implication ». Implication et fonction carré Objectif : repérer si une implication mettant en jeu la fonction carré est vrai ou fausse. Le professeur pourra donner le sens du mot « implication ». Dans Indice (2000) : La phrase « si A alors B » est une implication. On note AB et on lit « A implique B » ou « A donc B ».

Dans Hyperbole  (2009): La proposition « si P, alors Q » est appelée implication. On dit que P est l’hypothèse et que Q est la conclusion. Pour établir que la proposition « si P, alors Q » est vraie, on suppose que P est vraie et on démontre qu’alors Q est vraie. Dans Indice (2009) : Pour prouver qu’un énoncé de la forme « si P alors Q » est vrai, on peut chercher un raisonnement qui permet, à partir de l’hypothèse P, d’obtenir la conclusion Q. On dit que P implique Q et l’on note PQ. Pour prouver qu’un énoncé de la forme « si P alors Q » est faux, on peut chercher un contre-exemple pour lequel la propriété P est vraie et la propriété Q est fausse.

Logique et raisonnement Comment travailler avec les élèves ?

Une évaluation diagnostique Exercice 1-1 Un nombre est toujours inférieur ou égal à son carré. Cette phrase est-elle vraie ? Expliquez votre réponse. Exercice 1-2  ABC est un triangle et I milieu de [BC]. Quel est des triangles AIB ou AIC celui qui a la plus grande aire ? Expliquez votre réponse   Exercice 1-3 La somme de trois nombres entiers consécutifs est toujours multiple de 3. Cette phrase est-elle vraie ? Expliquez votre réponse

MODULE : EXERCICE 2-1 On demande à Pierre et à Paul de dire si cette phrase est vraie : « Un nombre est toujours inférieur ou égal à son carré ». - Pierre répond « cette phrase est vraie » car   Si je prends 3 : son carré est 9 et 3 < 9 Si je prends 1,3 : son carré est 1,69 et 1,3 < 1,69 Si je prends -2,1 : son carré est 4,41 qui est plus grand que -2,1 Si je prends 11,6, son carré est 134,56 plus grand que 11,6 Tu vois, le carré est toujours plus grand que le nombre choisi au départ, donc la phrase est vraie. - Paul répond « cette phrase est fausse » car Si je prends 0,7 : son carré est égal à 0,49 et 0,49 < 0,7 Cochez la case qui correspond à votre réponse Pierre a raison et Paul a tort  Pierre a tort et Paul a raison  Ni Pierre ni Paul n’ont raison  Pierre et Paul ont raison tous les deux   Expliquez votre réponse.

ABC est un triangle et I milieu de [BC].   EXERCICE 2-2 ABC est un triangle et I milieu de [BC]. On demande à Valérie et à Sonia de dire quel est celui des triangles AIB ou AIC celui qui a la plus grande aire. Valérie répond « ils ont la même aire car Pour le triangle AIB, j’ai mesuré le coté [AI] : 5cm et la hauteur [BH] : 1,3cm ; donc l’aire de AIB est (5×1,3) / 2 = 3,25cm². Pour le triangle AIC, j’ai mesuré le coté [AC] : 6,6cm et la hauteur [IK] : 1cm donc l’aire de AIC est (6,6×1) / 2 = 3,3cm². Ces deux résultats sont très proches, compte tenu de la précision des mesures permises par la règle, j’en conclus que les deux triangles ont la même aire. Sonia répond « ils ont la même aire car ces deux triangles ont la même hauteur issue de A ; les côtés [BI] et [IC] correspondants à cette hauteur ont même longueur. Donc, quand on multiplie cette longueur par celle de la hauteur, on trouve la même chose, et aussi quand je divise par 2. Parmi ces deux réponses, laquelle vous semble la plus convaincante ? Pourquoi ?

Donner un enjeu Les énoncés suivants sont ils vrais ou faux ? 1. Si ABCD est un carré et I le milieu de [CD], alors = 60°. 2. Quels que soient les nombres réels non nuls a et b, Si a  b alors 3.  Un quadrilatère qui a deux angles droits a deux côtés parallèles. 4. La somme de deux nombres entiers naturels impairs consécutifs est multiple de 4.

Avec un tableur : Chercher des multiples de 15 qui sont aussi multiples de 22. Peut-on les trouver tous jusqu’à 5000 ? Chercher des multiples de 15 qui sont aussi multiples de 99.

Les énoncés suivants sont ils vrais ou faux ? Il existe des nombres multiples à la fois de 15 et 99 qui ne sont pas des multiples de 1485. Si un nombre quelconque est multiple à la fois de 15 et de 22, et s’il est plus petit que 5000, alors il est un multiple de 330. Formuler des résultats Construire des phrases sur le modèle des précédentes et se prononcer sur leur valeur de vérité

le sens de variation des fonctions Progressivité des apprentissages Un exemple : le sens de variation des fonctions

  Etape 1 : Démonstration fondée sur l’utilisation de la situation que la fonction modélise. Lorsqu’on monte une côte à vélo, la vitesse est-elle une fonction croissante ou décroissante de la pente ?

Description des variations de g Etape 2 : Description des variations de g Considérons la fonction g définie sur IR par . Stade 1 : « courbe qui monte, qui descend » indices statiques et globaux

formalisation de la définition Etape 4 : formalisation de la définition Imaginer un point M(x ; f(x))variable savoir lire l’évolution de son ordonnée en fonction de celle de son abscisse

Utilisation de règles connues Voici une règle : Règle : Si un produit de deux facteurs est nul alors l’un ou l’autre de ces facteurs est nul. Dire si cette règle peut s’appliquer dans chacun des cas suivants. Si oui, expliquer pourquoi et dire ce que son utilisation permet d’affirmer Si non, expliquer pourquoi. (x + 3) (y – 2) = 0 (x + 3) + (y – 2) = 0 x (2x – 5) = 0 (x + 1) (x + 7) = 7 (5x + 1) (3x – 1) = (5x + 1) (x – 8) (7x – 3) (x + 1) = 0 (x – 3) (y + 2) (z + 6) = 0

Logique et algorithmique

Toujours vrai, toujours faux, parfois vrai, parfois faux ?

Vrai ou faux Aucun carré n'est un losange Tous les rectangles sont des carrés Certains losanges sont des rectangles Il y a des rectangles qui ne sont pas des carrés Parmi les losanges aucun n'est rectangle Tous les carrés sont des losanges Il y a des carrés qui ne sont pas des losanges Parmi les rectangles, aucun n'est losange Tous les carrés sont des rectangles Tout losange est un parallélogramme Tout parallélogramme est un losange Tout trapèze est un parallélogramme

Trouver un quadrilatère tel que...   Trouver un quadrilatère tel que... Construire un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et de même longueur et qui ne soit pas un trapèze.    2- Soit un cercle de centre O et une corde [AB] de ce cercle. Soit C le symétrique de O par rapport à la droite (AB) et D le symétrique de O par rapport au point A. - démontrer que AOBC est un losange. - démontrer que ABCD est un parallélogramme.

Démontrer qu’un quadrilatère est un... 1- Soit SAB un triangle isocèle en S, et soit I le milieu de [AB]. Le cercle de centre I et de rayon IS coupe la droite (IS) en T. Démontrer que SATB est un losange.

Démontrer qu’un quadrilatère est un... 2- Soit un cercle de centre O et une corde [AB] de ce cercle. Soit C le symétrique de O par rapport à la droite (AB) et D le symétrique de O par rapport au point A. - démontrer que AOBC est un losange. - démontrer que ABCD est un parallélogramme.

ABCD est un quadrilatère. On note I, J, K et L les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. Quelle est la nature du quadrilatère IJKL ?

A quelles conditions IJKL est-il un losange ? Si IJKL est un losange, peut-on affirmer que ABCD est un rectangle ?

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