Oscillations libres d’un circuit RLC

Montage à revoir On abaisse l’interrupteur. Une décharge oscillante du condensateur se produit dans la bobine parfaite de résistance nulle.

Equation différentielle régissant la décharge D’après la loi d’additivité des tensions : uC + uL = 0 Expression de la tension uL en fonction de la tension uC :

Equation différentielle régissant la décharge D’après la loi d’additivité des tensions : uC + uL = 0 Expression de la tension uL en fonction de la tension uC :

Equation différentielle régissant la décharge D’après la loi d’additivité des tensions : uC + uL = 0 Expression de la tension uL en fonction de la tension uC :

Equation différentielle régissant la décharge D’après la loi d’additivité des tensions : uC + uL = 0 Expression de la tension uL en fonction de la tension uC : L’équation différentielle peut s’écrire :

Equation différentielle régissant la décharge D’après la loi d’additivité des tensions : uC + uL = 0 Expression de la tension uL en fonction de la tension uC : L’équation différentielle peut s’écrire :

Equation différentielle régissant la décharge D’après la loi d’additivité des tensions : uC + uL = 0 Expression de la tension uL en fonction de la tension uC : L’équation différentielle peut s’écrire : ou bien

Solution de l’équation différentielle

Solution de l’équation différentielle Elle est de la forme : uC = UCmax cos (0 t + ) Que représente UC max ? UCmax est la tension maximale aux bornes du condensateur (V) Que représente w0 ? w0 est la pulsation propre (rad/s) Que représente w0 t +  ? w0 t +  est phase à un instant t quelconque (rad) Que représente  ?  est la phase à l’origine des dates (rad)

Graphe : uC = UCmax cos (0 t + ) avec  = 0

Vérification de la solution de l’équation et expression de w0 : uC = UCmax cos (0 t + )

Vérification de la solution de l’équation et expression de w0 : uC = UCmax cos (0 t + )

Vérification de la solution de l’équation et expression de w0 : uC = UCmax cos (0 t + )

Vérification de la solution de l’équation et expression de w0 : uC = UCmax cos (0 t + ) D’où finalement :

Vérification de la solution de l’équation et expression de w0 : uC = UCmax cos (0 t + ) D’où finalement : L’équation différentielle est vérifiée si l’on pose :

La solution uC = UCmax cos (0 t +) est périodique de période T. cos (0 t + ) = cos [0 (t +T0) + ) (1) La fonction cosinus est périodique de période 2. cos (0 t + ) = cos [0 t +  + 2) (2) Les équations (1) et (2) permettent d’écrire : cos [0 (t +T0) + ) = cos [0 t +  + 2) 0 (t +T0) +  = 0 t +  + 2 0 t + 0 T0 +  = 0 t +  + 2 0 T0 = 2

La solution uC = UCmax cos (0 t +) est périodique de période T. cos (0 t + ) = cos [0 (t +T0) + ) (1) La fonction cosinus est périodique de période 2. cos (0 t + ) = cos [0 t +  + 2) (2) Les équations (1) et (2) permettent d’écrire : cos [0 (t +T0) + ) = cos [0 t +  + 2) 0 (t +T0) +  = 0 t +  + 2 0 t + 0 T0 +  = 0 t +  + 2 0 T0 = 2 La période s’écrit :

Expression de l’intensité du courant :

Expression de l’intensité du courant : uC = UCmax cos (0 t + )

Expression de l’intensité du courant : uC = UCmax cos (0 t + )

Expression de l’intensité du courant : uC = UCmax cos (0 t + )

Expression de l’intensité du courant : uC = UCmax cos (0 t + ) La tension uC et l’intensité i du courant sont déphasées de /2.