Distances et Horizons cosmologiques Red-Shift et vitesses de récession Philippe Magne 2004 Distances et Horizons cosmologiques Red-Shift et vitesses de récession

INTRODUCTION On se propose d’évaluer les distances des galaxies et amas de galaxies par rapport à un observateur situé à l’origine du référentiel comobile. La principale caractéristique de ces distances est leur énormité. On montrera aussi l’existence d’horizons au delà desquels se situe l’inobservable. Le red – shift est un paramètre que l’on peut mesurer avec une bonne précision, il sera introduit dans les équations du modèle issu de la mission : WILKINSON MICROWAVE ANISOTROPY PROBE http://map.gsfc.nasa.gov/m_mm.html On évoquera aussi la variation du red – shift en fonction du temps cosmique, ce pourrait être une preuve supplémentaire de l’expansion de l’Univers, malheureusement l’ordre de grandeur est extrêmement faible. Il sera montré que la plupart des astres observés ont actuellement une vitesse de récession supérieure à celle de la lumière, paradoxal mais vrai ! ( La table des matière est à la fin du document )

RAPPELS CONCERNANT LE RED - SHIFT Cet anglicisme cher aux cosmologistes exprime que le spectre lumineux d’astres lointains est décalé vers le rouge. Grâce à ce phénomène surprenant Hubble put confirmer l’expansion de l’Univers et établir une loi selon laquelle la vitesse de récession des galaxies est proportionnelle à la distance. Cela implique un spectre de référence émis par des astres identiques observés à courtes distances, il s’agit aujourd’hui d’explosions de supernovae type Ia. Une spectroscopie comparative est sous – entendue. La figure 1 donne une idée de la façon dont le red – shift est perçu par les observateurs, il est en fait obtenu à partir du déplacement des raies d’absorption H et K. On notera que ce décalage spectral va dans le même sens que celui d’un effet Doppler – Fizeau d’éloignement dont on sait qu’il est un effet de vitesse. S’agissant de l’Univers en expansion, le phénomène est plus complexe, il s’apparente plutôt à un effet de distance concomitant de l’expansion de l’espace. « 

Venons en à la définition mathématique du red – shift. Pour cela il faut prendre en compte une seule composante du spectre de référence émise à la longueur et reçue à la longueur d’onde au temps présent ( en cosmologie, l’indice 0 signifie que le paramètre indicé 0 a la valeur prise au temps présent , âge de l’Univers par convention ) ( 1 ) est le facteur d’échelle à l’émission à l’époque et à l’époque

ORDRES DE GRANDEURS Exemple le rapport Quel en est la conséquence ? On sait que la lumière visible occupe la bande 400 à 700 nanomètres, le red – shift la transpose dans la bande 0.8 à 1.4 micromètres, dans l’infrarouge, invisible. L’observation doit faire usage d’une imagerie basée sur des détecteurs très sensibles à l’infrarouge, le résultat est montrée sur la figure 1

Figure1

AUTRES ASPECTS DU RED - SHIFT A la façon d’une « Toy Theory » Cet aspect permettra de mieux aborder une autre façon plus rigoureuse exposée ci – après. Nous allons considérer un flash, plus exactement une impulsion électromagnétique monochromatique émise à la longueur d’onde La figure 2 montre l’émission de cette impulsion et ce qu’il advient lors de son voyage. Les notations sont les suivantes: durée de l’impulsion période de l’oscillation longueur d’onde vitesse de la lumière ( locale ) nombre d’oscillations pendant l’impulsion Pour la lisibilité de la figure, on a dessiné que deux oscillations se produisant pendant cette impulsion, il eut été préférable d’en mettre plus mais cela n’a pas trop d’importance pour la démonstration.

Figure 2

La figure 2 montre donc comment s’étalent dans le temps et dans l’espace l’oscillation et l’enveloppe de l’impulsion. Dans le temps ( 2 ) Dans l’espace ( 3 ) Les invariants sont c, la vitesse de la lumière et N le nombre d’oscillations émises et reçues.

D’un point de vue relativiste à l’aide de la métrique Rappelons l’expression de la métrique à quatre dimensions ( les coordonnées spatiales sont polaires et sphériques ) ( 4 ) La lumière suit une géodésique de l’espace – temps et se propage à , , , Finalement la métrique se réduit à : ( 5 ) La coordonnée radiale d’une galaxie émettrice de lumière et celle de l’observateur sont constantes. En résumé, c’est l’espace qui augmente tandis que les galaxies y restent incrustées à des positions fixes.

Intégrons ( 5 ) en tenant compte de ces deux contraintes et de ce que la lumière a été émise à l’époque et reçue à l’époque ( 6 ) Sur la figure 3 le résultat de l’intégrale de gauche correspond à l’aire enserrée entre la courbe et l’axe temps , les bornes d’intégration et sont aussi les frontières de cette aire. D’après ( 6 ) cette aire est une constante du fait de l’immobilité de la source de lumière et de l’observateur dans le référentiel comobile. ( la figure 3 est à la page suivante )

Figure 3

Considérons maintenant les photons partis de la galaxie G de coordonnée à l’instant et reçus par l’observateur de coordonnée à l’instant On doit avoir: ( 7 ) La contrainte ( 7 ) oblige que les aires hachurées de la figure 3 soient égales Comme varie infiniment peu pendant et cette égalité peut s’écrire ( 8 ) On sait que ( expansion ) donc

(8) montre que la durée d’un phénomène se produisant en G à l’époque te de durée locale dte est perçu en O à l’époque t0 de durée dt0 > dte En vertu de l’invariance locale de la vitesse de la lumière, si dt est la période d’une oscillation, la longueur d’onde est accrue dans le rapport : ( 9 ) 14

DISTANCES COSMOLOGIQUES Il existe plusieurs définitions de ces distances qui sont plus ou moins liées au processus d’observation, par exemple la magnitude apparente ou le diamètre apparent . En ce qui nous concerne nous adopterons une définition un peu différente, nous ne définirons que deux distances ( instantanées ). Distance d’émission De C’est la distance à laquelle se trouvait dans le passé, à l’époque te, un astre dont la lumière nous parvient aujourd’hui et dont nous mesurons le red – shift z. Distance de réception DR C’est la distance à laquelle se trouve présentement (époque t0) cet astre. Nous commencerons par calculer DR, la distance d’émission De s’en déduit facilement par l’expression ci - dessous ( 10 )

Unités de longueur Implicitement il s’agit du mètre, plus précisément du mètre défini à partir de la seconde et de la vitesse de la lumière. La seconde est définie de façon atomique pour la raison que l’atome ne subit pas l’expansion ( voir l’annexe ). L’année lumière ( AL ) n’a pas grand sens dans un Univers en expansion, il faut plutôt considérer celle – ci comme un multiple du mètre: 1 X AL= 9.46 X 1015 m On utilise plutôt le Giga AL qui vaut 9.46 X 1024 m. Le parsec ( pc ) est référé au rayon de l’orbite terrestre qui ne subit pas l’expansion, il vaut 30.84 X 1015 m On utilise plutôt le Gigapc qui vaut 30.84 X 1024m Nota : 1 X pc = 3.26 AL

Calcul des distances cosmologiques Il associe d’une part le facteur d’échelle obtenu à partir de l’équation Friedmann ( actualisée en introduisant les trois omégas ) et, d’autre part la métrique. On tiendra compte des trois géométries souvent évoquées bien qu’il semble assez probable que l’Univers soit euclidien. WMAP donne pour : ( 11 ) Donc: L’équation relativiste ( 6 ) écrite à nouveau ci – dessous est maintenant affectée de la notation supplémentaire «  u   » ( 12 )

Rappel : l’astre émetteur de lumière et l’observateur sont immobiles dans le référentiel comobile, leurs coordonnées et restent constantes L’intégrale de droite de ( 12 ) a pour résultat: si k = 1 k = 0 ( 13 ) k = - 1 Calculons maintenant l’intégrale de gauche, n’est pas obtenu de façon explicite, par contre nous connaissons en fonction de

Par un petit subterfuge on peut obtenir un changement de variable qui permet d’intégrer la partie gauche de ( 12 ), formules ci – dessous ( 13 ) L’équation de Friedmann actualisée permet d’obtenir en fonction de incluant les paramètres et les trois omégas. ( 14 )

On peut connaître en écrivant ( 14 ) au temps où ( 15 ) On aura certainement reconnu que de sorte que: pour ( 16 )

Remplaçons tiré de ( 16 ) ( 17 ) Nous pouvons maintenant calculer « u » intervenant dans ( 12 ) et (13 ) Remplaçons tiré de ( 16 ) ( 17 )

Pour on obtient la formule ( 18 ) ci - dessous Pour on change par La distance de réception est égale au produit de la coordonnée de la galaxie G émettrice de lumière par le facteur d’échelle au temps présent Pour on obtient la formule ( 18 ) ci - dessous Pour on change par

Pour la distance de réception est la limite de ( 18 ) lorsque ( 19 ) Pour les trois valeurs de la distance d’émission est donnée par : ( 20 ) Dans ce qui suit nous adopterons la notation et nous nous placerons dans la condition vu la petitesse de

Une distance particulière : le rayon de la sphère de Hubble Rappel : la vitesse de récession des galaxies est proportionnelle à la distance, le coefficient de proportionnalité étant la constante de Hubble. L’isotropie de l’Univers implique que, pour un observateur comobile il existe une sphère de rayon qui partage l’espace en deux régions. A l’intérieur de la sphère et à l’extérieur est une constante dans tout l’espace à un instant donné, mais pas dans le temps, c’est aussi une fonction de « a  » le facteur d’échelle normalisé. On sait que ( voir ( 29 ) dans « Les trois Omégas de l’Univers)

D’où le rayon de la sphère de Hubble: ( 24 )

Application numérique Elle sera effectuée en introduisant les paramètres annoncés par la mission WMAP, à savoir : Il s’agit d’abord de remplir un tableau de 7 colonnes et 14 lignes qui permettra ensuite de tracer un diagramme d’espace-temps à deux dimensions ( figure 4 p32 ), l’axe vertical concerne le temps en GigaA, l’axe horizontal l’espace en GigaAL. Ce diagramme peut être étendu à 3 dimensions, puis à 4 dimensions par la pensée. Ci-après sont données les formules qui correspondent aux colonnes et comment les calculer avec le logiciel MAPLE

COLONNE : A Valeurs du facteur d’échelle au moment de l’émission COLONNE : B Temps coordonnée ( ou cosmique ) Avec le logiciel MAPLE saisir: evalf( 13.77*Int((0.27/a + 0.73*a^2+0.000082392/a^2)^(-1/2),a=0..ae));

COLONNE : C Distance de réception en Giga AL Avec le logiciel MAPLE saisir : evalf( 13.77*Int((0.27*a + 0.73*a^4 + 0.000082392)^(-1/2), a = ae . . 1));

COLONNE : D Distance d’émission C’est une simple multiplication COLONNE : E Rayon de la sphère de Hubble en Giga AL Avec le logiciel MAPLE saisir : R : = 13.77*((0.27/a^ 3 + 0.73 + 0.000082392/a^4)^(-1/2)); subs ( a = ae , R );

COLONNES F et G Exemples de lignes d’univers, il s’agit de la succession contiguë de points concernant la position, dans l’espace-temps, de matière qui perdure. La ligne F1 est choisie de façon que l’astre concerné se trouve, au temps présent, à une distance de 5 Giga AL de l’observateur dont la ligne d’univers est confondue avec l’axe temps. Les points intermédiaires sont obtenus en multipliant par le facteur d’échelle ces 5 Giga AL. La ligne F2 aboutit au point 30 Giga AL L’intérêt de ces choix apparaîtra plus clairement lorsque sera abordé le paradoxe de la réception de lumière provenant d’astre dont la vitesse de récession est supérieure à celle de la lumière. Voir page suivante le tableau des résultats de calcul.

Figure 4 ( voir page suivante ce qu’il faut saisir dans MAPLE ) Jeux de la lumière et de la matière dans l’espace en expansion Cônes de lumière infinitésimaux Figure 4 Figure 4 ( voir page suivante ce qu’il faut saisir dans MAPLE )

A saisir dans MAPLE pour obtenir la figure 4

Commentaires sur la figure 4 Elle est d’abord destinée à bien montrer ce que sont les distances d’émission et de réception. Seule une moitié du référentiel est représentée, sa partie droite, quant à sa partie gauche elle est son symétrique par rapport à l’axe temps. L’axe horizontal concerne les distances exprimées en Giga Années Lumière ( on rappelle que l’AL doit être considérée comme un multiple du mètre ). L’axe vertical concerne le temps « coordonnée »  ou temps propre de l’observateur comobile exprimé en Giga Années. On l’appelle aussi temps cosmique car tous les observateurs comobiles partagent le même temps par suite de l’immobilité des uns par rapport aux autres. Les lignes d’univers F1 et F2 sont des exemples qui concernent les astres émetteurs de lumière, à la fois dans le sens des D- et des D+ ( les D- ne sont pas représentés, ils sont à gauche de l’axe temps ). L’expansion de l’espace concerne aussi bien les D+ que les D-

La ligne rouge qui joint tous les points concernant la distance d’émission constitue le cône de lumière du passé de l’observateur déformé par la gravitation ( c’est le fuseau de lumière ) le seul chemin possible pour la lumière. Aux intersections avec F1 et F2 on notera la représentation de cônes de lumière infinitésimaux tangents au fuseau de lumière Dans ces régions très proches des lignes d’univers, la Relativité Restreinte s’applique parfaitement, cela fut remarqué en son temps par Enrico Fermi ( 1925 ). La symétrie de ces cônes de lumière infinitésimaux a pour conséquence que la lumière émise par les astres concernés va tous aussi bien de la droite vers la gauche, que de la gauche vers la droite. Voir page suivante : une excellente perspective d’un espace – temps à trois dimensions empruntée à Histoire et Géographie de l’Univers. Alain Blanchard Professeur d’astrophysique à l’université de Strasbourg. Ce n’est pas ce que révèlerait l’oculaire d’un télescope car la lumière des astres très lointains est décalée dans l’infrarouge, invisible à l’œil. Cette image a cependant le grand mérite de concrétiser l’image mentale de l’Univers, à retenir !

Figure 5

Distances et temps conforme Nous avons montré qu’un observateur comobile constate qu’un phénomène connu, de durée qui s’est produit dans le passé et à grande distance, lui apparaît durer ( 25 ) intervalles de temps propre de tous les observateurs comobiles Nous allons maintenant définir un autre temps, appelé temps conforme à partir de l’élément différentiel ( 26 )

On connaît l’expression de en fonction de ( voir page 25 ) ( 27 ) Pendant l’expansion, lorsque le facteur d’échelle s’accroît de à il s’écoule l’intervalle de temps conforme suivant : ( 28 )

En multipliant le temps conforme par la vitesse de la lumière on retrouve l’expression de la distance de réception ( 29 ) Ainsi, le temps conforme est – il le temps que mettrait la lumière pour parcourir la distance qui nous sépare, au temps présent, d’un astre dont la lumière nous parvient affectée d’un red – shift : Il va de soi que cette durée correspond à un espace statique. En fait, la distance de réception aussi bien que celle d’émission sont – elles des : distances instantanées

Ordre de grandeur de l’instantanéité des distances cosmologiques L’instantanéité va être abordée en évaluant de combien varie une distance cosmique pendant un intervalle de temps donné, par exemple un an. Pour fixer les idées, considérons la plus grande distance de réception qui nous sépare de la surface de dernière diffusion qui a émis, dans le passé, le rayonnement lumineux que nous recevons actuellement en ondes millimétriques, il s’agit du bruit cosmique encore appelé FDC . Le red – shift subit par ce rayonnement est connu, il est de z=1089, le facteur d’échelle à l’époque de l’émission était de : A l’aide des formules ( 19 ) ou ( 29 ) on trouve Chiffrons donc la variation de cette distance pendant qu’il s’écoule un an sur terre. Noter que cette variation est proportionnelle à la dérivée du facteur d’échelle au temps présent. ( haut de page 25 )

Comme d’après WMAP et que pour Voyons maintenant de combien varient les Soit un accroissement de : Cela correspond à une vitesse de récession égale à trois fois la vitesse de la lumière

Ordre de grandeur de la variation du red–shift en fonction du temps cosmique La constatation de cette variation serait une confirmation supplémentaire de l’expansion de l’Univers, encore faut – il qu’elle soit mesurable. Rappelons que le red – shift est étroitement lié au facteur d’échelle puisque: Cette variation est proportionnelle à que nous pouvons écrire : Comme nous nous plaçons au temps présent où la variation du red – shift est, comme la variation des distances, de l’ordre de grandeur de: par an La persévérance de nombreuses générations de cosmologistes sera peut être nécessaire !

HORIZONS COSMOLOGIQUES Ce sont les limites infranchissables de la curiosité humaine. Sont-elles prévisibles? La notion d’horizon resta confuse jusqu’à ce que Wolfgang Rindler ne l’éclaircisse en 1956. Cela nous amène à rappeler ce qu’il faut distinguer dans l’espace – temps. Les lignes d’univers Elles concernent les objets perdurables, leurs positions dans l’espace – temps, avec des coordonnées du genre espace et du genre temps. Les évènements Il sont caractérisés par un surgissement bref, par exemple un flash de lumière consécutif à l’explosion d’une étoile ( supernova ). Ces évènements occupent une position dans l’espace et dans le temps. Si l’événement est quasi instantané, c’est un point au sens géométrique. D’une certaine façon, on peut dire que les lignes d’univers sont des chapelets d’évènements contigus.

En résumé Les lignes d’univers les plus intéressantes sont celles des corps lumineux permanents comme les galaxies. Les évènements auxquels on porte intérêt sont ceux qui s’accompagnent d’une émission brève de lumière, ou radioélectrique, ou corpusculaire. Définitions des horizons Il y en a deux sortes: Horizons des particules C’est une surface sphérique dont le centre est occupé par l’observateur. Elle divise l’espace en deux régions. La région intérieure contient les galaxies observables, la région extérieure celles qui ne sont pas observables. Horizon des évènements Il en existe deux groupes, ceux observables à un instant ou à un autre, ceux que l’on observera jamais.

Les évènements observables sont répartis à l’intérieur du cône de lumière du passé de l’observateur, lequel balaie l’espace – temps comme le fait le sillage d’un bateau, en l’occurrence il s’agit du fuseau de lumière se reporter à la figure 4. Un autre aspect à prendre en compte est la durée de l’activité humaine en regard de l’âge de l’Univers. En définitive, les évènements observés se trouvent dans l’épaisseur du trait qui représente le faisceau de lumière. Calcul de l’horizon des particules De prime abord, il paraît nécessaire de prendre en compte la singularité initiale, elle correspond à l’annulation du facteur d’échelle. On peut alors calculer cet horizon à partir de l’expression de la distance de réception en choisissant les bornes d’intégration suivantes: et Bien remarquer que correspond à un

Il en résulte ceci : la longueur d’onde des photons se propageant vers l’observateur tend vers l’infini quand ils l’atteignent. L’énergie de ces photons devient nulle, ils ne peuvent apporter aucune information ! Ajoutons que cet horizon constitue une limite de la causalité dans un espace infini. En utilisant la formule ( 29 )et tenant compte des valeurs numériques WMAP : On obtient l’horizon des particules au temps présent: ( 30 )

Remarque: on notera que cet horizon est un peu plus distant que celui calculé pour qui correspond à l’époque 378000 ans, c’est à dire à la disparition de l’opacité du plasma originel Evolution des horizons dans le futur Il est intéressant de faire croître au delà de 1 et de calculer le temps cosmique et le temps conforme, les deux intégrales à calculer sont rappelée ci - dessous : ( 31 ) ( 32 )

La figure 6 montre comment et évoluent pour On peut conclure que n’a pas de limite, alors que plafonne à L’Univers n’a pas de limite temporel mais la propagation de la lumière semble en avoir une. On peut aussi interpréter cela comme un morcellement, les régions qui eurent jadis des relations causales et sont aujourd’hui séparées par une distance ( entre centre des sphères ) de Dans le futur cette distance augmentra encore, sans dépasser : La figure 7 montre la concordance entre la saturation du temps conforme et celle du rayon de la sphère de Hubble.

Red-Shift et vitesse de récession Il s’agit de galaxies lointaines observées avec un grand red – shift. Connaissant leur red – shift, peut – on en déduire leur vitesse de récession au temps présent ? Pour établir une relation entre le red – shift et la vitesse de récession on part de la loi de Hubble qui stipule que la vitesse de récession est proportionnelle à la distance, en l’occurrence il s’agit de la distance de réception telle que définie page 15: ( 33 ) : constante de Hubble au temps présent ( rappel, cette constante est effectivement constante dans tout l’espace mais pas dans le temps, la valeur adoptée ici est celle au temps présent ) On exprime en fonction de , si on dispose seulement de la formule en fonction de on fait le changement de variable: voir page 28 colonne C

D’où la vitesse de récession: ( 34 ) ( 35 ) Pour le résultat de l’intégrale ( 35 ) est égal à 1 Pour toutes valeurs de la vitesse de récession est supérieure à la vitesse de la lumière Lorsque ainsi, le modèle d’univers WMAP conduit-il à la constatation qu’aucune vitesse de récession ne dépasse 3.3 fois la vitesse de la lumière. Les figures 8 et 9 montrent comment varie la vitesse de récession en fonction du red – shift.

Unité de longueur adéquate Annexe 1 Unité de longueur adéquate La définition de l’unité de longueur qui paraît le mieux convenir pour l’Univers en expansion est la suivante. C’est la longueur du trajet parcouru dans le vide par les ondes électromagnétiques planes pendant une durée de: de seconde Depuis 1967 la seconde est définie de façon atomique comme la durée de 9192631770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre deux niveaux hyperfins de l’état fondamental du Césium 133. L’avantage est que l’atome ne subit pas l’expansion parce que le champ électrique en son sein est extrêmement élevé, à une distance égale au rayon de Bohr ( 0.58x10-10m ) il est de 5.14x1011volt / m. En somme cela revient à mesurer les distances à l’aide d’une horloge. Aujourd’hui les horloges atomiques sont d’une précision extraordinaire 10-16 par jour.

Annexe 2 Parsec ( pc ) Unité de longueur définie comme la distance à laquelle le rayon de l’orbite terrestre est vu sous un angle d’une seconde d’arc. Equivalence en mètres 1 seconde d’arc = Rayon moyen de l’orbite terrestre : Equivalence en Années Lumière : Distance parcourue par la lumière pendant 1 Année 1 Année = 1AL = 1pc =

Constante de Hubble H Elle a partout la même valeur dans l’espace, mais elle varie en fonction du temps. Dimension : Vitesse = H x Distance Pour H0 = 71 k m / s x Mpc on trouve

TABLE DES MATIERES Introduction Rappels sur Red-Shift 3 Ordres de grandeur 5 Autres aspect du RS 7 Point de vue relativiste 10 Distances cosmologiques 15 Unités de longueur 16 Calcul distances cosmo. 17 Distance de réception 22 Distance d’émission 23 Une distance particulière 24 Application numérique 26 Tableau de valeurs 31 Figure 4 Distance et temps conforme 37 Instantanéité 40 Variation du Red Shift avec le temps 42 Horizons cosmologiques 43 Définitions 44 Horizon des particules 44 Horizon des évènements 44 Calculs 45 Evolution des horizons dans le futur 47 Red-Shift et vitesse de récession 51 Annexe 1 55 Annexe 2 56