Atelier Matrices et Suites en spécialité S Regroupement inter académique. Décembre 2011 – Montpellier Inspection régionale de Montpellier Frédéric Laroche

Matrices, Graphes et Suites Introduction des matrices et des graphes dans lenseignement de spécialité de terminale S, comment ? Des exemples de situations en lien avec les recommandations du programme

Doudou, un exemple commenté qui met en relation notions du programme et problème

Lien avec le programme Matrices et suites : Il sagit détudier des exemples de processus discrets, déterministes ou stochastiques, à laide de suites ou de matrices. On introduit le calcul matriciel sur des matrices d'ordre 2. Les calculs sur des matrices d'ordre 3 ou plus sont essentiellement effectués à l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel. Programme TS spé mathsActivités liées à Doudou Matrices carrées, matrices colonnes : opérations.Ok : attention au « problème » des vecteurs ligne/colonne. Matrice inverse dune matrice carrée.Ok : on cherche la distribution stationnaire (a,b,c) en rajoutant léquation a+b+c=1. Exemples de calcul de la puissance n-ième dune matrice carrée dordre 2 ou 3. Ok : calcul à la main (!) ou avec un logiciel (Geogebra par exemple) Écriture matricielle dun système linéaire.Ok : voir lutilisation du CAS GeoGebra Suite de matrices colonnes (U n ) vérifiant une relation de récurrence du type U n+1 = AU n + B. Non, quoique… Étude asymptotique dune marche aléatoire. Urnes dEhrenfest, modèle proie prédateur discrétisé, etc. Ok : on peut remplacer le graphe initial par le graphe associé à une marche sur les arètes dun tétraèdre par exemple (matrice 4*4).

Chaines de Markov homogènes On considère un espace détat E = {1, 2, … m} qui correspond aux issues possibles dune expérience aléatoire, à tout instant n, les variables aléatoires X n à valeurs dans E qui décrivent un système évolutif. Si la loi de X n+1 ne dépend pas de lhistoire du système mais seulement de X n : on dit que (X n ) n N est une chaine de Markov ; si elle ne dépend pas non plus de linstant n elle est homogène.

Ce qui compte finalement est la connaissance des probabilités de passage dun état i à un état j pour i et j variant de 1 à m : Doù lintérêt dune représentation sous forme dun graphe (pas toujours évident) dont les sommets sont les états, ce qui permet décrire la matrice de transition La probabilité de transition de passer en n étapes de létat i à létat j est le terme ij de la matrice P n.

Si on note sous forme de vecteur ligne la loi de probabilité de X n : alors on a Si on a une loi stationnaire, souvent limite des lois n, elle vérifie les équations Le temps de retour moyen de létat i à létat i est linverse de la probabilité p i.

Introduire les matrices Quel temps fait-il à Brest ? Aux mois de décembre, janvier et février, le temps à Brest est à peu près le suivant : il ny a que deux états : pluvieux ou beau. Sil pleut un jour alors il repleut le jour suivant avec la probabilité 2/3 ; sil fait beau, alors il refait beau avec la probabilité 3/4. 1. Quelle est la proportion de beaux jours en hiver ? 2. Aujourdhui il fait beau (resp. il pleut) ; combien de temps en moyenne attendrons nous un autre jour de beau temps ? (resp. mauvais temps.) Solution :

Introduire les matrices Matrices : Jeunes et vieux On distingue les jeunes et les vieux. Un « état » de la population est un point du plan (J, V). On observe la population : la période choisie est la moitié de la durée de vie moyenne, tous les jeunes sont devenus vieux avec un taux c ou sont morts (taux 1 - c) et tous les vieux sont morts ; mais chaque classe a « produit » une certaine quantité de jeunes avec les taux de natalité a (pour les jeunes) et b (pour les vieux). 1. Représenter la situation par un graphe. 2. (J n ) et ( V n ) sont les nombres de jeunes et de vieux lors du n-ième recensement. Ecrire les relations entre les vecteurs (J n, V n ) puis étudier les comportements des populations. On prendra par exemple a=0,1 ; b=0,8 ; c=0,9a=0,1 ; b=1 ; c=0,9a=1 ; b=1 ; c=0,9a=0,5 ; b=1 ; c=0,6

Modélisation avec un graphe Le problème du collectionneur Dans chaque paquet de café BlackSabbath on trouve une figurine de collection. La série complète comprend 4 figurines : on note T le nombre de paquets quil faut acheter pour obtenir la collection complète. 1. Représenter le processus par une chaine de Markov (graphe). 2. Établir la matrice de transition. Calculer le vecteur de distribution de probabilité à la troisième transition. 3. Calculer lespérance et la variance de T. Interpréter. Attention, T représente le nombre de figurines distinctes…

Solution 1. Graphe : 2. Matrice de transition 2. Matrice de transition 3. X i = nombre de paquets à acheter pour passer de létat i à létat i+1 : on a

Transfert de bits Un message codé de façon binaire est transmis à travers un réseau. Chaque bit est transmis avec une probabilité derreur égale à a pour un passage de 0 à 1, égale à b pour un passage de 1 à 0 (a et b différents de 0 et 1). Le résultat de la transmission au n e relais est à valeurs dans {0, 1} ; on suppose que les relais se comportent indépendamment les uns des autres et que les erreurs sur les bits sont indépendantes. On souhaite calculer la taille du réseau (la valeur de n) au delà de laquelle la probabilité de recevoir une erreur est supérieure à ε. On note L la longueur du message.

Solution L = 1 : Matrice de transition On pose davoir un 0 au n e relais : Point fixe : doù Pour répondre à la question, on a la même loi X k sur chaque bit doù : Un algorithme pour conclure… On envoie un Probabilité message pas erroné au n e relais 0 : p 0 = 1 1 : p 0 = 0

Échange de particules Un récipient creux est divisé en deux chambres A (ou 0) et B (ou 1) par une paroi percée d'un trou. n molécules se trouvent primitivement en A Le système évolue irréversiblement vers un état d'équilibre dans lequel chaque chambre contiendra finalement à peu près n molécules, ce qui est vérifié par l'expérience. Le système est un mot de trois bits ; les 8 états possibles sont représentés par les sommets d'une boîte. Les trois boules sont en 000 qui vont vers l'un des sommets voisins : à chaque instant, un des trois chiffres est inversé. Promenade symétrique sur un cube. On peut facilement écrire la matrice P de transition, à 8 lignes et 8 colonnes.

Comme P est bistochastique (somme des termes de chaque ligne et de chaque colonne égale à 1), on obtient la répartition stationnaire Après un temps très long tous les sommets auront reçu le même nombre de visites : l'intervalle moyen entre deux visites à un même sommet est 8, d'où l'irréversibilité parfaite (avec n particules le temps de retour à un sommet est 2 n ).

Modèle macroscopique Les boules ne sont plus discernables ; les sommets de la boîte ayant même somme de leurs trois chiffres sont regroupés, on utilise la promenade aléatoire (les états sont le nombre de boules dans B) : On a : avec p 0 =p 3, p 1 =p 2, p 0 +p 1 +p 2 +p 3 =1, soit : et les temps de retour : En général on aura une loi binomiale…

Séries de 1 Soit U n une suite de variables aléatoires valant 1 avec probabilité p et 0 avec probabilité 1 – p. Appelons N n le nombre de 1 consécutifs avant le n-ième tirage. Par convention N 0 = 0 et N m = 0 si le m-ième tirage est 0. Il est facile de vérifier que 1. Déterminer la matrice de transition de N n. 2. Combien de piles consécutifs voit-on dans 100 tirages ?

Solution Avec L coups : HistogrammeF. de répartition

Références Dartmouth College, Introduction to probability, AMS sd (+ programmes Mathematica, Maple V, Basic) Benaïm Michel, El Karoui Nicole, Promenade Aléatoire, Éd. de lÉcole Polytechnique, 2004 Engel Arthur, Lenseignement des probabilités et de la statistique, volumes 1 & 2, Cedic Nathan 1979 Engel Arthur, Mathématique élémentaire dun point de vue algorithmique, Cedic Nathan sd Foata Dominique, Fuchs Aimé, Processus Stochastiques, Dunod 2002 Frugier Gérard, Exercices ordinaires de probabilités, Ellipses 1992 Lefebvre Mario, Processus stochastiques appliqués, Hermann 2005 Rényi Alfred, Calcul des probabilités, Dunod 1966 FIN