Les groupes

Rappel Un amphi de 200 élèves : loi normale moyenne X et écart type s Un élève : on peut connaître la probabilité de sa note Exemple, X=10, s=2, l’élève à 14  Z= (14-10)/2  Top 2,5% L’élève à 11  Z= (11-10)/2  Top 31% Comment faire pour un groupe d’élèves ? Sur un groupe, les bonnes notes sont compensées par les mauvaises Extrêmement improbable qu’un groupe ait 14 de moyenne 8 ; 14 ; 16 ; 16 ; 18 Une moyenne de 12, c’est déjà beaucoup : 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16

Comment faire ? Individu Groupe de taille N On compare la note d’un individu à la distribution des notes On conclut grâce à la loi normale Groupe de taille N On compare un groupe de taille N à la distribution des groupes de taille N. Plus précisément, on compare la moyenne d’un groupe avec la distribution des moyennes des groupes de taille N On conclut grâce à la loi normale

Exemple VOS notes d’anglais de l’an dernier Notes d’anglais par groupe de 4

Distribution d’échantillonnage des moyennes On prend un groupe E au hasard de taille N On calcule sa moyenne E = 10,2 On recommence avec beaucoup de groupes 9,6 9,7 10,3 10,8 10,0 10,3 11,2 On obtient une distribution C’est la distribution d’échantillonnage des moyennes

Théorème central limite Soit X une variable suivant une loi normale de moyenne X écart type sx On note EX la distribution d’échantillonnage des moyennes. Alors EX suit une loi normale Cette loi normale a pour moyenne X Cette loi normale a pour écart type sx / N

Exemple des Notes d’anglais Les notes d’anglais suivent la loi normale (plus ou moins) de moyenne X=10,5 et d’écart type sX = 3 Sa distribution d’échantillonnage des moyennes (groupes de taille 4) suit une loi normale de moyenne EX=10,5 et d’écart type sEX =3/4 = 3/2=1,5

Exemple des notes Un amphi de 200 élèves suit la loi normale de moyenne X=10 et d’écart type sX = 2 Sa distribution d’échantillonnage des moyennes (groupes de taille 25) suit une loi normale de moyenne EX=10 et d’écart type sEX =2/25 = 2/5=0,4

Si c’est clair, tout le reste est facile ! Ne mélangeons pas tout ! X est la moyenne de la distribution X (moyenne de l’amphi) G est la moyenne du groupe G (moyenne des APA, taille 25) EX est la distribution d’échantillonnage des moyennes des groupes de taille 25. Comme toute distribution, EX a une moyenne. EX est la moyenne de la distribution EX Si c’est clair, tout le reste est facile !

Exemple

Problème Un amphi : moyenne X=10, écart type sX=2 Le groupe des APA (25 élèves) : moyenne G=11 Quelle la probabilité qu’une groupe de taille 25 ait 11 ou plus ?

1. H0 H0 : la différence n’est pas significative.

2. Données G=11, moyenne de l’amphi X=10, écart type sX=2 On va comparer la moyenne du groupe à la distribution d’échantillonnage des moyennes EX : EX=10 sEX =2/25 = 2/5=0,4

3. Test On utilise la loi normale : Avec un individu : Avec un groupe :

4. Probabilité Z=2,5 P=0,62% Un groupe de taille 25 a 0,62% de chances d’avoir une moyenne dans [11 ; +∞]

5. Conclusion P<5%, on rejette H0

Autre formulation de la solution

s et σ

Quand on ne connaît pas  Dans l’exemple précédent, on a comparé la moyenne d’un groupe G à la moyenne de la population X. Coup de chance, on connaissait l’écart type de la population. Problème : Si on ne connaît pas X, comment faire ? Solution : On fait une approximation, on remplace X par sG

Exemple des salaires Un groupe de 10 femmes comparent leur salaire à celui des employés : Salaire moyen des employés : moyenne=28 k$, Écart type=? Salaire des 10 femmes : 24, 27, 31, 21, 19, 26, 30, 22, 15, 36 Moyenne = 25,1 k$ Écart type = 5,9 Solution théorique :

Solution réelle On approxime l’écart type des salaires moyens des hommes par l’écart type des salaires moyens des femmes est remplacé par

T de student

Approximation : sG n’est pas X Si N est grand (N>30) : pas de problème, sG est presque égal à X Si N est petit (N<30 ) : sG est une sous estimation de X Donc le Z obtenue serait trop grand (par rapport à celui qu’on obtiendrait si on connaissait X ) Dans ce cas, on remplace Z par le T de Student

T de Student La table du T change selon la taille de l’échantillon Un échantillon de taille N a un degré de liberté (ddl) de N-1. On trouve la probabilité du T de Student grâce A Excel : Loi.Student A la table papier

Table du T

Exemple des salaires On calcule T : DDL 9  P=5,27% On ne peut pas rejeter H0

ATTENTION : DDL Pour le  2 Pour le T de Student DDL = (colonnes-1)x(lignes-1) Pour le T de Student DDL = effectifs - 1

Récapitulatif On connaît sX On conclut grâce à la table de la loi normale On ne connaît pas X N est grand (N>30) N est petit (N<30) On conclut grâce à la table du T de Student