1 Spline de Catmull-Rom Rick Parent, Animatique Algorithmes et techniques. Vuibert, Paris, 2003, 530p. (Voir section B.4.6) Tomas Akenine-Möller, Eric Haines, Real-Time Rendering. A K Peters, 2002, 835p. (Voir section ) 1. 2.
2 Définition C’est une courbe de Hermite composée dans laquelle les tangentes aux points de contrôle intérieurs sont générés automatiquement selon une procédure géométrique simple. Soient P 0, P 1, P 2, …, P N-1, il s’agit de définir une courbe d’interpolation passant par ces points laquelle constitue N – 1 courbes de Hermite. Pour déterminer la courbe de Hermite C(u) passant par P i et P i+1, on fixe la tangente à P i à :(P i+1 – P i-1 ) / 2 et celle à P i+1 à :(P i+2 – P i ) / 2. C(u) = B C M U où 2 –3 0 1 B C = [ P i, P i+1, (P i+1 –P i-1 )/2, (P i+2 –P i )/2 ] et M = P i-1 P i+1 PiPi
3 Définition ce qui peut être réécrit comme suit : C(u) = [ P i, P i+1, (P i+1 –P i-1 )/2, (P i+2 –P i )/2 ] ½ 0 M U ½ 0 1 ½ ½ c’est-à-dire : C(u) = [ P i-1, P i, P i+1, P i+2 ] ½ U ½ ½ ½ C(u) = [ P i-1, P i, P i+1, P i+2 ] - ½ 1 - ½ 0 U 3/2 -5/ /2 2 ½ 0 ½ - ½ 0 0
4 Conditions aux extrémités i)l’utilisateur peut fournir des vecteurs tangents aux 2 extrémités. ii)le vecteur tangent à P 0 est : ½ (P 1 – P 0 + -(P 2 – P 1 )). P0P0 P1P1 P2P2 -(P 2 - P 1 ) Vecteur tangent P N-3 P N-2 P N-1 le vecteur tangent à P N-1 est : ½ (P N-1 – P N-2 + -(P N-2 – P N-3 )). Vecteur tangent
5 Inconvénient Un vecteur tangent interne ne dépend pas de la position du point interne ( P i ou R i dans l’exemple). P i-1 P i+1 PiPi RiRi Avantage Les calculs permettant d’obtenir les vecteurs tangents intérieurs sont très simples. FIN