La théorie du monde est petit I. Simulation d’un réseau 1. Monde ordonné 2. Permutations de relations II. Théorie 1. Chemin le plus court 2. Effet de l’aléatoire III. Une autre manière de voir les choses 1. Nouvelle disposition 2. Proximité 3.Quelqus résultats

Introduction Expérience de Milgram Nombre d’Erdõs idée de « six degrés de séparations » Les premières expériences furent un échec Après d’autre réitérations le nombre 6 se dégagea Existence « d’entonnoirs » Nombre d’Erdõs Défini par récurrence Le nombre d’Erdõs du mathématicien Erdõs est 0 Une personne qui a cosigné un article de mathématiques avec un mathématicien ayant un nombre d’Erdõs (N) a un nombre (N+1)‏ Si une personne n'a cosigné aucun article avec ces mathématiciens, il a par définition un nombre d'Erdős égal à

I. Simulation d’un réseau 1. Monde ordonné On considèrera qu’un monde est ordonné lorsque positionné en cercle son graphe est symétrique par rapport à tous ses diamètres Il est possible de simuler un tel monde en Caml type gens = {nom : string ; mutable relation : string list};; type monde = {mutable reseau:gens list};; On donne au gens des numéros de 1 à n Chaque personne connaît les personnes ayant les k/2 numéros précédant le sien et les k/2 suivant le sien Un monde ordonné de 40 personnes ayant chacune 10 relations

personnes ayant chacune 2. Permutation de relation On peut créer un modèle plus proche de la réalité en introduisant un part d’aléatoire dans un monde ordonné Pour cela on modifie le monde en supprimant des relations aléatoirement et en recréant d’autres au hasard La fonction prend en argument un monde et un réel (p) entre 0 et 1 pour supprimer aléatoirement k relations et en créer k au hasard avec n le nombre de relations dans le monde et Un monde désordonné à 40 personnes ayant chacune 10 relations

II. Théorie 1. Chemin le plus court On définit le chemin le plus court entre deux personnes par le plus petit nombre d’intermédiaires entre ces deux personnes plus 1 Le chemin le plus court moyen est la moyenne des chemins les plus courts entre toutes les personnes du monde On peut le calculer le chemin le plus court entre une personne p1 et une personne p2 récursivement avec Les deux personnes sont en relation renvoie 1 Sinon renvoie 1 plus le chemin le plus court entre p1 et une personne imaginaire ayant le même nom que p2 et connaissant l’ensemble des connaissances des connaissances de p2 Si que le chemin est plus long que le nombre de gens dans le monde p1 et p2 ne sont pas en relation, la fonction renvoie un message d’erreur

2. les effets de l’aléatoire

les test montrent que dès que l’on rajoute un peu d’aléatoire le chemin le plus court diminue rapidement pour garder ensuite une valeur presque constante On observe également que plus le nombre de relation est grand plus l’influence de l’aléatoire est faible Comparaison entre un monde ordonné et un monde moins ordonné (60 personnes ayant chacune 15 relations)

III. Une autre manière de voir les choses 1. Nouvelle disposition On considère une nouvelle représentation: au lieu de considérer une disposition en cercle, on place les habitants sur une grille nxn. On a donc n² habitants. On propose en même temps un nouveau modèle du réseau social: chaque habitant (représenté comme un nœud sur la grille) a des connaissances locales et des connaissances à longue distance. Deux mondes à 121 personnes

Trois mondes de 121 personnes avec respectivement 2. Proximité On définit la distance d entre 2 nœuds (i,j) et(k,l) comme d= |k-i|+|l-j| On définit ainsi trois nombres: p tel que chaque nœud u connaisse tous les nœuds situés dans une distance inférieure ou égale à p q comme le nombre de connaissances à longue distance de chaque nœud r tel que P(u connaisse v) est proportionnelle à . Trois mondes de 121 personnes avec respectivement p=1 et q=0 p=1 et q=1 p=3 et q=0

3.Quelques résultats. On forme un algorithme pour transmettre un message d’un nœud t à un nœud s. Il y a certaines conditions, à chaque étape u on a connaissance de: la structure de la grille emplacement de t des gens qui ont déjà eu le message et de leurs contacts On appelle temps de livraison le nombre d’ étapes entre t et s. Lorsque r=0, la théorie des graphes permet de montrer qu il y a une très large probabilité.