Produit Scalaire

qui se mesure par un nombre. 1. Vocabulaire et Notation On parle de produit scalaire de deux vecteurs. Loi de calcul qui se mesure par un nombre. Se lit « u scalaire v » ! est un nombre réel !

2. Définitions Il n’y a pas moins de 4 définitions pour le produit scalaire de deux vecteurs ! En voici déjà 2 ! La première, quoique générale est fort peu utile … La seconde est déjà plus concrète même si elle contient un cosinus !

! Si les vecteurs sont de même sens. La troisième définition se décompose en deux cas : Soient O , A et B trois points tels que : Soit H projeté orthogonal de B sur (OA). O A B H ! Si les vecteurs sont de même sens.

! Si les vecteurs sont de sens contraire. Voici l’autre cas de cette troisième définition : Soient O , A et B trois points tels que : Soit H projeté orthogonal de B sur (OA). O A B H ! Si les vecteurs sont de sens contraire.

On considère un repère orthonormé Enfin voici la quatrième est dernière définition du produit scalaire ! On considère un repère orthonormé Soit (x ; y) et (x ‘ ; y ‘) les coordonnées respectives des vecteurs Cette définition est sans doute la plus plaisante ; mais pour pouvoir l’utiliser, il faut obligatoirement se placer dans un repère orthonormé.

AB  AA = 0 AB  AB = 16 - IC  ID = -4 BJ  BA = 8 CD  CI = 8 Exercice. En utilisant la troisième définition (utilisation du projeté) I A B C D O AB  AA = 0 AB  AB = 16 - IC  ID = -4 BJ  BA = 8 CD  CI = 8 - OI  OJ = -4 4 J

3. Produit scalaire & colinéarité  Si les vecteurs sont colinéaires de même sens.  Si les vecteurs sont colinéaires de sens contraire.

On définit le carré scalaire d’un vecteur comme le produit scalaire de ce vecteur par lui-même. On a donc : Ainsi, le carré scalaire d’un vecteur est égal à la norme de ce vecteur au carré. En prenant des points A et B, on obtient :

Exercice. D B A C E 3 12 -15 16 -40 6 -3 -9

  4. Produit scalaire & orthogonalité Les vecteurs sont orthogonaux Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires 

5. Règles de calculs On trouve des règles de calculs caractéristiques d’un produit. Mais attention à ne pas généraliser toutes les règles du produit réel : FAUX !

Et on a même les très célèbres produits remarquables ! L’utilisation de ces différentes règles et de la relation de Chasles, permet, entre autres choses, de calculer plus simplement les produits scalaires.

A B C D E a F I Exercice. I milieu de [BC]

A B C D E a F I I milieu de [BC]