La géométrie géo : la terre metrikos : mesure Thierry Dias janvier 2005

L’ère des principaux géomètres grecs Thalès - 625 Pythagore - 500 Platon - 427 Euclide - 300 Archimède - 287 XVIII siècle Si on représente par un segment de 20 cm la distance dans le temps entre Thalès et Archimède, quelle est, à la même échelle, la longueur du segment qui représente le temps écoulé entre Archimède et le XVIII° siècle ? La géométrie euclidienne présentait des savoirs stabilisés qui semblaient définitivement vrais… dans un domaine restreint quand même !! 1 mètre... pendant lequel il ne s’est quasiment rien passé ! Thierry Dias janvier 2005

Auguste Comte, XIX siècle « Nous devons regarder comme suffisamment constatée l’impossibilité de déterminer, en les mesurant directement, la plupart des grandeurs que nous désirons connaître. C’est ce fait général qui nécessite la formation de la science mathématique… Car, renonçant, dans presque tous les cas, à la mesure immédiate des grandeurs, l’esprit humain a dû chercher à les déterminer indirectement, et c’est ainsi qu’il a été conduit à la création des mathématiques. » Auguste Comte, XIX siècle Thierry Dias janvier 2005

Re-médiations et détours plan Constats La géométrie à l’école élémentaire La géométrie au collège Difficultés d’apprentissages Re-médiations et détours situations de recherche (des énigmes à résoudre à plusieurs) situations de communication (donner du sens aux propriétés et aux relations grâce au langage) utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique : de la perception à l'expérience. Thierry Dias janvier 2005

Avant de faire faire des mathématiques, intermède Ma devise habituelle : Avant de faire faire des mathématiques, commençons par faire des mathématiques ! Thierry Dias janvier 2005

intermède Une petite situation de recherche en géométrie... Le géoplan 3 x 3 Combien peut-on tracer (fabriquer) de triangles et de quadrilatères (non croisés) différents sur ce géoplan ? voici déjà deux triangles… comment trouver le maximum ? Thierry Dias janvier 2005

espace géométrie contenus des textes officiels repérage orientation L ’école élémentaire contenus des textes officiels espace géométrie repérage orientation relations et propriétés solides figures planes compétences et savoirs : pluri-disciplinaire compétences et savoirs : mathématiques Thierry Dias janvier 2005

L ’école élémentaire deux géométries : empirique et théorique référence aux travaux de Salin et Berthelot L'objectif principal est de permettre aux élèves de passer progressivement : d'une géométrie où les objets et leurs propriétés sont contrôlés par la perception à une géométrie où ils le sont par explicitation de propriétés et recours à des instruments. Thierry Dias janvier 2005

de l'objet au concept deux géométries : empirique et théorique L ’école élémentaire deux géométries : empirique et théorique de l'objet au concept Thierry Dias janvier 2005

Sensible et perceptive Liée aux figures Expérience L ’école élémentaire aider au passage d'une géométrie à l'autre : du type empirique au type théorique Géométrie Empirique (pratique) Théorique Intuition Sensible et perceptive Liée aux figures Expérience Liée à l’espace mesurable Schéma de la réalité Déduction Proche du réel et liée à l’expérience par la vue Démonstration basée sur des axiomes référence aux travaux de Houdement et Kuzniak Thierry Dias janvier 2005

intuition expérience liens entre intuition et expérience évidences L ’école élémentaire liens entre intuition et expérience évidences informations intuition nourrit expérience structure référence aux travaux de Coppe Thierry Dias janvier 2005

Comment résoudre ce paradoxe perceptif ?? L ’école élémentaire d'une géométrie à l'autre : du type empirique au type théorique Comment résoudre ce paradoxe perceptif ?? Nous sommes ici "victimes" de notre perception, d'une certaine intuition, l’ambiguïté ne sera levée que par le recours à l'expérience, bref à l ’utilisation de connaissances mathématiques géométriques. Thierry Dias janvier 2005

Les activités du domaine géométrique : L ’école élémentaire retour aux textes officiels Les activités du domaine géométrique : ne visent pas des connaissances formelles (définitions), mais des connaissances fonctionnelles, utiles pour résoudre des problèmes dans l'espace ordinaire, dans celui de la feuille de papier ou sur l'écran d'ordinateur. Thierry Dias janvier 2005

programmes : progression L ’école élémentaire programmes : progression Les apprentissages se déroulent de manière continue de la petite section de maternelle jusqu’au CM2. Un vocabulaire précis doit être progressivement mis en place. Le principe est de partir du réel (et donc d’objets matériels) puis d’abstraire peu à peu. La primauté est donnée à la géométrie dans l’espace. Il n’y a pas de démonstration bien entendu, mais un début d’apprentissage du raisonnement, notamment dans les activités de reproduction de figures. Thierry Dias janvier 2005

Structuration de l'ensemble des concepts : aspects notionnels L ’école élémentaire Structuration de l'ensemble des concepts : aspects notionnels Vergnaud Objets : point, droite, segment, angle, milieu carré, rectangle, losange, parallélogramme, triangles, cercle cube, tétraèdre, pavé, face, arête, sommet Relations : alignement, égalité de longueurs, perpendicularité, parallélisme, symétrie axiale Mesures : longueurs et aires : périmètre et aire du carré et du rectangle, longueur du cercle. Thierry Dias janvier 2005

quatre mots-clés (types de tâches) : L ’école élémentaire quatre mots-clés (types de tâches) : Reproduire : des figures, y compris la réalisation pratique de solides Décrire : des figures, pour les identifier ou les représenter Représenter : notamment des solides, avec les problèmes de faces visibles ou invisibles, les patrons Décrire : c’est utiliser un vocabulaire géométrique permettant à un interlocuteur d’identifier un objet, de le reproduire, de le construire ou de le localiser (situations de communication). Suivant le but de la description les compétences mobilisées ne sont pas les mêmes :Pour reconnaître une figure parmi d’autres. L’élève doit identifier les caractéristiques des figures, et maîtriser le vocabulaire ; Pour reproduire une figure .L’élève doit analyser la figure et communiquer les différentes étapes de la construction, ce qui nécessite de définir une chronologie, de choisir le vocabulaire adapté, de se décentrer pour contrôler que le message est recevable par un tiers . Reproduire: c’est faire une copie à l’identique à l’échelle 1 (ou autre) , on peut aussi demander de compléter une figure déjà commencée pour qu’elle soit la reproduction d’une autre. La validation peut se faire par superposition. Construire: C’est produire un objet à partir d’un texte descriptif ou prescriptif, à partir d’un schéma éclairé par un texte ou des codages; Suivant l’énoncé les compétences mobilisées ne sont pas les mêmes : A partir d’un programme de construction. L’élève doit maîtriser : le vocabulaire et sa signification, les propriétés des objets , la syntaxe spécifique de la géométrie, le code dans le cas d’un schéma A partir d’un schéma codé. L’élève doit  connaître les conventions de codage, analyser une figure, distinguer la figure du dessin. Représenter : c’est évoquer un objet ou une situation spatiale avec des procédés graphiques.( construction d’une maquette, d’un plan) Dans le cas d’un plan l’élève doit faire abstraction de certaines propriétés qu’il connaît (rabattre les murs par exemple) . Dans le cas de la représentation d’un solide en perspective il doit prendre conscience que certaines propriétés ne sont pas représentées que d’autres ne sont pas conservées (perpendicularité). Problèmes qui peuvent être finalisées dans des situations de communication. Construire : des figures, avec des matériaux et des outils multiples : règle, équerre, gabarit, calque, compas Thierry Dias janvier 2005

démarche La résolution de problème, Dans des situations finalisées : L ’école élémentaire démarche La résolution de problème, Dans des situations finalisées : Situations de référence complétées par des situations de réinvestissement. Thierry Dias janvier 2005

mise en oeuvre un temps de présentation un temps de recherche L ’école élémentaire mise en oeuvre un temps de présentation un temps de recherche un temps de confrontation un temps de synthèse si nécessaire. un temps de réinvestissement Thierry Dias janvier 2005

Quelques axes du programme en cycle 3… L ’école élémentaire Quelques axes du programme en cycle 3… Géométrie dynamique Géométrie expérimentale et place des logiciels de géométrie dynamique Un logiciel de géométrie dynamique peut permettre la constitution d’un milieu (au sens de Brousseau) « mathématisé » … laissant la place à des actions correspondant à des concepts mathématiques offrant des rétroactions fondées sur le modèle mathématique sous jacent au logiciel. Géométrie expérimentale Extrait du programme :   « Calculatrices, tableurs et logiciels … offrent l’occasion d’une approche plus expérimentale des mathématiques » Milieu Au sens de Brousseau Thierry Dias janvier 2005

Reproduction de figures simples Le collège Programmes En sixième : Reproduction de figures simples Mesures Parallélépipède rectangle (représentation, patron, volume) Symétrie axiale dans le plan (construction d ’images, conservation de propriétés, axes de symétrie d ’une figure) Abscisse d ’un point sur une droite. Coordonnées (entiers relatifs) de points du plan. En cinquième : Prismes droits, cylindres de révolution (représentation, patron) Symétrie centrale dans le plan, parallélogramme, caractérisation angulaire du parallélisme Triangle (somme des angles, inégalité triangulaire, construction de triangles, cercle circonscrit) Aires du triangle, du parallélogramme, du disque Repérage sur une droite graduée et dans le plan muni d’un repère orthogonal Thierry Dias janvier 2005

Pyramide et cône de révolution Le collège Programmes En quatrième : Pyramide et cône de révolution Translation (à partir du parallélogramme) Triangle (droite des milieux et théorème de Thalès dans le triangle, droites remarquables) Triangle rectangle et cercle (Pythagore et sa réciproque, tangente à un cercle, cosinus d’un angle aigu) En troisième : Sphère, sections planes d ’une sphère, d ’un cube. Sections d ’un cône et d ’une pyramide (par des plans parallèles à la base) Relations trigonométriques dans le triangle rectangle (sinus, cosinus, tangente) Théorème de Thalès et sa réciproque Vecteurs (écriture, égalité, somme à partir du parallélogramme). Lien avec la translation. Coordonnées d ’un vecteur. Distance de deux points exprimée à partir des coordonnées. Composée de deux symétries centrales. Rotations, polygones réguliers (triangle, carré, hexagone). Angle inscrit et angle au centre. Thierry Dias janvier 2005

de l’école au collège : une transition difficile ? Où se trouvent les principales difficultés des élèves... de l’école au collège : une transition difficile ? Deux modes de construction des connaissances qui peuvent s’opposer : 1. Un mode de type empirique basé sur l’intuition et l’expérimentation  géométrie science expérimentale 2. Un mode de type théorique s’appuyant sur la déduction et qui trouve son aboutissement dans la démonstration  géométrie platonicienne Thierry Dias janvier 2005

l’objet sensible (matériel) et l’objet mathématique sont confondus Où se trouvent les principales difficultés des élèves... De l’école au collège : une transition difficile ? Dans le mode de type empirique, l’expérience est constitutive d’une géométrie « naturelle » l’objet sensible (matériel) et l’objet mathématique sont confondus l’expérience en tant qu’action sur les objets peut constituer un mode de preuve ultime Dans le mode de type théorique, les axiomes et les définitions idéalisent l’espace réel on parle de figure et de raisonnement l’expérimentation n’est pas admise comme preuve, c’est le raisonnement hypothético-déductif qui prend sa place Thierry Dias janvier 2005

Dans le mode de type empirique Où se trouvent les principales difficultés des élèves... De l’école au collège : une transition difficile ? Dans le mode de type empirique Ceci est un carré… et un carré n’est pas un rectangle ! Dans le mode de type théorique Les propriétés de cette figure (4 angles droits, 4 côtés isométriques) définissent un carré… et un carré est aussi un rectangle !! Thierry Dias janvier 2005

Dans le mode de type empirique Où se trouvent les principales difficultés des élèves... De l’école au collège : une transition difficile ? Dans le mode de type empirique Les problèmes spatiaux relèvent d’une solution validée empiriquement. Dans le mode de type théorique Les problèmes de géométrie relèvent d’une solution prouvée mathématiquement. Thierry Dias janvier 2005

réalité spatiale modèle géométrique Où se trouvent les principales difficultés des élèves... De l’école au collège : une transition difficile ? Pour aider les élèves à franchir cette difficulté, il faut aménager des situations dans lesquelles on permet aux élèves de faire progressivement la différence entre : réalité spatiale et modèle géométrique Thierry Dias janvier 2005

monde réel - outils perceptifs : la vue, le toucher Où se trouvent les principales difficultés des élèves... De l’école au collège : une transition difficile ? En instaurant une transition entre ces deux modes de construction des connaissances : l’utilisation des instruments. monde réel - outils perceptifs : la vue, le toucher espace spatio-géométrique - outils d ’aide à la perception : les instruments espace géométrique - outil de validation : la théorie Thierry Dias janvier 2005

Quels outils de contrôle... Où se trouvent les principales difficultés des élèves... Quels outils de contrôle... …pour un contrôle perceptif instrumenté Il s'exerce sur des propriétés spatiales et/ou spatio-géométriques. Il utilise comme instruments certes encore la vue mais aussi d'autres instruments qui peuvent être : - calque, gabarit, papier quadrillé, règle graduée - ou règle, équerre, compas - ou commandes d'un logiciel de géométrie dynamique Il a pour finalité la production d'un dessin possédant certaines propriétés." Thierry Dias janvier 2005

Pour quoi enseigner la géométrie : donc... Pour quoi enseigner la géométrie : 1. Apprendre aux élèves à penser géométriquement 2. Apprendre aux élèves à voir dans l ’espace 3. Apprendre aux élèves à raisonner Comment enseigner la géométrie : 1. Mettre en œuvre des situations de recherche et de communication 2. Faire une place aux nouvelles technologies 3. Lier la géométrie aux autres disciplines Thierry Dias janvier 2005

Pour quoi enseigner la géométrie 1. Apprendre aux élèves à penser géométriquement : varier les registres de représentation développer la construction d’images mentales mettre en évidence des liens entre la géométrie et la numération Thierry Dias janvier 2005

Apprendre aux élèves à penser géométriquement Pourquoi enseigner la géométrie Apprendre aux élèves à penser géométriquement Identités remarquables… et remarquées !! Jean Jacques ROUSSEAU (1785) , Les confessions Thierry Dias janvier 2005

Une autre, une autre !!! Identités remarquables… et remarquées !! Pourquoi enseigner la géométrie Apprendre aux élèves à penser géométriquement Identités remarquables… et remarquées !! (a + b) (a + b) = (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 Une autre, une autre !!! Thierry Dias janvier 2005

Identités remarquables… et remarquées !! Pourquoi enseigner la géométrie Apprendre aux élèves à penser géométriquement Identités remarquables… et remarquées !! (a + b) (a - b) = a2 - b2 Une petite dernière pour la route... Thierry Dias janvier 2005

Animation Pythagore Cabri Pourquoi enseigner la géométrie Apprendre aux élèves à penser géométriquement Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit. Animation Pythagore Cabri Thierry Dias janvier 2005

Comment enseigner la géométrie 1. Mettre en œuvre des situations de recherche : pour faire vivre de vraies situations de construction de « nouveaux savoirs » pour traiter du passage de la problématique pratique à celle de modélisation pour faire plaisir à Vygotski et mettre en œuvre (enfin) la notion de constructivisme social  Thierry Dias janvier 2005

Mettre en œuvre des situations de recherche Comment enseigner la géométrie Mettre en œuvre des situations de recherche Thierry Dias janvier 2005

Les solutions de la croix Grecque... Comment enseigner la géométrie Mettre en œuvre des situations de recherche Les solutions de la croix Grecque... Thierry Dias janvier 2005

A la recherche des carrés de Mac Mahon Comment enseigner la géométrie Mettre en œuvre des situations de recherche A la recherche des carrés de Mac Mahon Combien peut-on trouver de façons de colorier complètement ce carré avec 3 couleurs différentes ? Attention, les carrés ne doivent pas être superposables. Thierry Dias janvier 2005

Mettre en œuvre des situations de communication Comment enseigner la géométrie Mettre en œuvre des situations de communication Donner du sens à la notion de programme de construction Analyser, reproduire et décrire une figure à vos crayons !! Thierry Dias janvier 2005

Solutions des belles constructions à réaliser… à faire réaliser Comment enseigner la géométrie Mettre en œuvre des situations de communication Solutions des belles constructions à réaliser… à faire réaliser A B C D E F G H J K L M Thierry Dias janvier 2005

Le logiciel Cabri-géomètre Comment enseigner la géométrie Faire une place aux nouvelles technologies Le logiciel Cabri-géomètre Cabri II Thierry Dias janvier 2005

Pourquoi l’environnement Cabri-géomètre ? Comment enseigner la géométrie Faire une place aux nouvelles technologies Pourquoi l’environnement Cabri-géomètre ? Permet la modélisation d’une situation problème Met en œuvre la médiation du théorique : «caractère » plus théorique des outils via la médiation du logiciel (et notamment langagière). Caractère dynamique de la géométrie (apparition des invariants et validation par le milieu a-didactique). Thierry Dias janvier 2005

Un premier axe de recherche… Comment enseigner la géométrie Faire une place aux nouvelles technologies Un premier axe de recherche… Limiter le nombre de relations pour faire émerger le concept visé Faire apparaître les relations et les objets comme invariants dans des configurations spatiales Thierry Dias janvier 2005

Exemple de scénario 1 Travailler le changement d’environnement Comment enseigner la géométrie Faire une place aux nouvelles technologies Exemple de scénario 1 Travailler le changement d’environnement L’élève passe du : papier-crayon : un seul dessin fixe; validation spatiale avec instruments au logiciel : ensemble de dessins, le déplacement faisant « apparaître » les propriétés Thierry Dias janvier 2005

Avec le fichier Cabri, le déplacement va montrer que ... Comment enseigner la géométrie Faire une place aux nouvelles technologies Exemple de scénario 1 : à propos des propriétés de la figure Les élèves disposent de trois figures ressemblant à des carrés, d’abord sous forme papier, puis sous forme de fichier Cabri. Il s’agit pour l’élève de décider si ce sont des carrés et de justifier ses réponses. Avec le document papier montrant un état de chacune des figures, l’élève va être amené à ..... Avec le fichier Cabri, le déplacement va montrer que ... - Une mise en commun vise à faire émerger ... Thierry Dias janvier 2005

Dans l’environnement papier-crayon, est-ce un carré ? Comment enseigner la géométrie Faire une place aux nouvelles technologies Exemple de scénario 1 : à propos des propriétés de la figure Dans l’environnement papier-crayon, est-ce un carré ? Dans l’environnement Cabri 2 , est-ce un carré ? situation 1 Thierry Dias janvier 2005

Explorer les trajectoires de points et reconnaître leur forme. Comment enseigner la géométrie Faire une place aux nouvelles technologies Exemple de scénario 2 : situation de communication sur droites et points Objectifs Mathématiques Ancrer les notions de droite et de segment. Les envisager comme supports de trajectoire de points. Utiliser le vocabulaire géométrique correspondant : “ la droite passe par … et … ”; “ le segment a pour extrémités … et … ” Géométrie dynamique Explorer les trajectoires de points et reconnaître leur forme. Déterminer ces objets-trajectoires en déterminant des liens de dépendance entre objets. Construire ces objets et invalider des constructions perceptives : droite ne passant pas explicitement par deux points donnés ; segment dont les extrémités ne sont pas explicitées. Thierry Dias janvier 2005

Les rôles de A et B sont ensuite échangés. Comment enseigner la géométrie Faire une place aux nouvelles technologies Exemple de scénario 2 : situation de communication sur droites et points On propose à deux élèves A et B de travailler directement sur Cabri, mais sur deux fichiers voisins. Celui pour B montre uniquement des points de référence alors que celui pour A montre, en plus des mêmes points, deux autres qui se déplacent sur une droite ou un segment définis à l’aide des points de référence. La tâche pour l’élève A est de déterminer les objets (il s’agit ici de droite ou de segment) sur lesquels se déplacent les points, de construire ces objets, de rédiger un message qui permettra à l’élève B de construire les mêmes objets. La validation se réalise par comparaison entre les constructions sur les fichiers de A et B. Les rôles de A et B sont ensuite échangés. Une institutionnalisation peut clore cette activité. élève A élève B Thierry Dias janvier 2005

Explorer les trajectoires de points et reconnaître leur forme. Comment enseigner la géométrie Faire une place aux nouvelles technologies Exemple de scénario 3 : situation de communication sur droites parallèles et droites perpendiculaires Objectifs Mathématiques Ancrer les notions de droites parallèles ou perpendiculaires. Les envisager comme supports de trajectoire de points. Utiliser le vocabulaire géométrique correspondant : “ la droite parallèle à la droite … passant par le point … ”; “ la droite perpendiculaire à la droite … passant par le point … ” Géométrie dynamique Explorer les trajectoires de points et reconnaître leur forme. Déterminer ces objets-trajectoires en déterminant des liens de dépendance entre objets. Construire ces objets et invalider des constructions perceptives : droite ne passant pas explicitement par un point donné ; direction parallèle ou perpendiculaire fixée perceptivement. Thierry Dias janvier 2005

Les rôles de A et B sont ensuite échangés. Comment enseigner la géométrie Faire une place aux nouvelles technologies Exemple de scénario 3 : situation de communication sur droites parallèles et droites perpendiculaires La tâche pour l’élève A est de déterminer les objets (il s’agit ici de droites parallèles ou perpendiculaires à une droite donnée, passant par des des points donnés) sur lesquels se déplacent les points, de construire ces objets, de rédiger un message qui permettra à l’élève B de construire les mêmes objets. La validation se réalise par comparaison entre les constructions sur les fichiers de A et B. Les rôles de A et B sont ensuite échangés. Une institutionnalisation peut clore cette activité. élève A élève B Thierry Dias janvier 2005

Exemple de scénario 4 Faire une place aux nouvelles technologies Comment enseigner la géométrie Faire une place aux nouvelles technologies Exemple de scénario 4 Situation 2 Thierry Dias janvier 2005

Concepts VERGNAUD G. (1990) La théorie des champs conceptuels Concepts VERGNAUD G. (1990) La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des Mathématiques vol 10 2/3 pp. 133-170 "Un concept est un triplet de trois ensembles C= (S, I, S) S : ensemble des situations qui donnent sens au concept (la référence) I : ensemble des invariants sur lesquels repose l’opérationalité des schèmes (le signifié) S : ensemble des formes langagières et non langagières qui permettent de représenter symboliquement le concept, ses propriétés, les situations et les procédures de traitement (le signifiant)" Thierry Dias janvier 2005

BERTHELOT R. & SALIN M.H.,L’enseignement de la géométrie à l’Ecole primaire, Grand N n°53 (p. 39-56), IREM de Grenoble, 1994 BERTHELOT R. & SALIN M.H.,Un enseignement des angles au cycle 3, Grand N n°56 (p. 69-116), IREM de Grenoble, 1995 BERTHELOT R. & SALIN M.H., L’enseignement de la géométrie au début du collège. Comment concevoir le passage de la géométrie du constat à la géométrie déductive ?, Petit x n° 56, IREM de Grenoble, 2001 IREM DE LILLE, Travaux géométriques : Apprendre à résoudre des problèmes, cycle 3, IREM de Lille, CDDP Nord - Pas de Calais, 2000 HOUDEMENT C., KUZNIAK A., Géométrie et paradigmes géométriques, Petit x n° 51, p. 5 à 21, IREM DE Grenoble, 1999 Thierry Dias janvier 2005