IFT Complexité et NP-complétude Chapitre 0 Rappels

Quelques définitions  Un alphabet est un ensemble fini non- vide. On appelle ses éléments des symboles. Exemples:  binaire = {0,1}  latin = {a,b, …, z}  ADN = {A,C,T,G}

 Un mot sur l’alphabet  est une séquence finie de symboles.  |w| dénote la longueur de w (nombre de symboles) et le mot vide (  ou  ) est le mot de longueur 0.  L’ensemble de tous les mots sur  est dénoté  *.  Un langage sur l’alphabet  est un ensemble de mots de  *.  On appelle problème de décision toute tâche de calcul qui consiste à déterminer si un mot w appartient à un langage L.

Quelques exemples de langages:  Mots de {a,b}* contenant plus de a que de b.  Les mots de {0,1}* qui sont l’encodage binaire d’un nombre premier.  Les mots de {0,1}* qui sont l’encodage d’un graphe qui contient un chemin de longueur 8.  De cette même façon, on effacera la distinction entre langage et problème de décision.

Machines de Turing  Le modèle de référence depuis Turing (années 30) … Contrôle fini À chaque étape, la machine peut en fonction de l’état du contrôle fini et du symbole lu: • Changer l’état du contrôle fini. • Réécrire sous la tête de lecture. • Déplacer la tête vers la gauche ou la droite d’une case. • S’arrêter.

Formellement, une machine de Turing est un quintuplet M = (Q, , ,q 0, ,Q’) avec  Q un ensemble fini d’états.  q 0  Q l’état initial.  Q’  Q des états d’arrêt.   un alphabet d’entrée.   un alphabet de ruban qui contient  et au moins un symbole blanc b.   : Q    Q    {-1,0,1} une fonction de transition.

Initialement, le ruban contient un mot d’entrée w   * suivi de symboles blancs. La tête de lecture est sur la première case du ruban et l’état est q 0. À chaque étape, si la machine se trouve dans l’état q  Q’, lit le symbole a   sur la case j tel que  (q,a) = (q’,a’,d) alors la machine remplace le symbole a de la case j par a’, passe à l’état q’ et déplace sa tête de lecture sur la case max{j+d,0}. Le calcul se poursuit jusqu’à ce qu’on atteigne un état d’arrêt.

Si la machine s’arrête, alors on appelle sortie le contenu du ruban jusqu’à la première case contenant un symbole blanc. La fonction calculée par une machine de Turing M est la fonction partielle f:  *   * telle que f(w) = sortie de M sur l’entrée w. Cette fonction est partielle car il se peut que M ne s’arrête jamais pour certains w.

Calculabilité  Une fonction f:  *   * est calculable si elle est calculée par une machine de Turing.  Pour  et  donnés, il existe un nombre dénombrable de m.t. mais un nombre indénombrable de fonctions de  * dans  * donc certaines fonctions sont incalculables.

Thèse de Church-Turing N’importe quel modèle raisonnable de calcul est de puissance équivalente aux machines de Turing. Malgré leur apparente simplicité, les m.t. sont donc aussi puissantes que n’importe lequel de nos ordinateurs. Pour montrer qu’une fonction est calculable, il suffit de décrire un algorithme dans la forme qui nous convient.

Soit M une m.t. qui s’arrête pour chaque entrée.  Le temps d’exécution de M sur l’entrée w est le nombre d’étapes nécessaires à M pour atteindre un état d’arrêt.  Le temps d’exécution de M est la fonction t M : N  N telle que f(n) = temps d’exécution maximal de M sur une entrée de longueur n.

Thèse étendue de Church-Turing  Soient R 1 et R 2 des modèles raisonnables de calcul et pour toutes notions raisonnables de temps d’exécution de ces modèles, il existe un polynôme p, tel que t étapes d’un calcul sur une entrée de longueur n dans le modèle R 1 peut être simulée par p(n,t) étapes dans le modèle R 2.

Une première classe de complexité  Pour toute fonction t: N  N, on dénote DTIME(t) la classe des problèmes de décision (ou des langages) calculables en temps O(t) et FDTIME(t) la classe des fonctions calculables en temps O(t).  À noter que ces classes ne sont pas très robustes. Si l’on change légèrement notre définition de machine de Turing, les classe DTIME(t) et FDTIME(t) ne sont peut-être plus les mêmes.

Définitions: La classe de complexité P est un ensemble de problèmes de décision défini par P =  k  N DTIME(n k ). De la même façon, on définit FP =  k  N FDTIME(n k ).  À cause de la thèse de Church-Turing étendue, cette classe est très robuste.

L’importance de P  En général, on considère que les problèmes dans P (ou FP) sont des problèmes pour lesquels il existe un algorithme efficace. (Mais on exagère…)  Certainement, si un problème n’est pas dans P (ou FP), alors il n’existe pas d’algorithme efficace pour le résoudre.

Que contient P?  Malheureusement, on ne sait pas précisément! Une liste partielle existe dans tous les livres d’algorithmique… Opérations sur les entiers, algèbre matricielle, problèmes de tri, problème de flot, construction d’un arbre de recouvrement etc.

Théorème de hiérarchie de temps Pour toute fonction f: N  N (temps- constructible), et pour toute fonction g = o(f / log f), il existe un langage L  DTIME(f) – DTIME(g).

Quel est le langage accepté par la machine de Turing suivante? D f = « entrée x; 1. Calculer f(|x|) et initialiser un compteur c de longueur f(|x|) / log f(|x|); 2. Vérifier si x = 0 k 1  M  et rejeter sinon; 3. Simuler M sur l’entrée x pendant au plus c étapes. Si M accepte x alors D_f rejette x. Si M rejette x alors D_f accepte x. »