Signaux et Analyse de Fourier F.Bister Champs sur Marne UE2 - Culture Technologique et Développement Multimédia M21 - Culture Scientifique et Traitement de l’Information Matière: Représentation de l’information

1. Information ? s Variable temps :t 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 Information binaire T0 2T0 3T0 4T0 5T0 6T0 … horloge I.Définitions

2. Transmission Transmission analogique Commentateur radio Micro Câbles Signal électrique Signal sonore Transmission analogique Signal physique électromagnétique de transmission Signal électrique Câbles Antenne Antenne Haut-parleur Auditeur I. Définitions

Information Numérique Information Numérique 2. Transmission Transmission Numérique tension tension temps Signal de transmission - Analogique - Sinusoïdal par morceaux Signal de transmission - Analogique - Constant par morceaux, dit bande de base Information Numérique 00110110010100110100111 Information Numérique Modem I. Définitions

4. Signal Périodique s t T s t T Signal carré Signal sinusoïdal I. Définitions

1. Cosinus s T s = cos(2Ft) t s T s =A.cos(2Ft) t I. Définitions 1 -1 s T s =A.cos(2Ft) A t -A I. Définitions

II. Les signaux sinusoïdaux 1. Cosinus s T A+B s =A.cos(2Ft)+B B t -A+B notes 19 17 15 12 9 7 5 T s +3 moyenne moyenne B -3 t II. Les signaux sinusoïdaux

II. Les signaux sinusoïdaux 1. Cosinus s T A+B A s=A.cos(2Ft+)+B (A>0; B>0) Acos() B t -A+B B = moyenne F = fréquence en Hertz (Hz) t = variable temps en seconde (s) A = Amplitude (par rapport à la moyenne) 2Ft+  = phase  = phase initiale en radian (rad) II. Les signaux sinusoïdaux

II. Les signaux sinusoïdaux T s = sin(2Ft) 1 t -1 s T s =A.sin(2Ft) A t -A II. Les signaux sinusoïdaux

II. Les signaux sinusoïdaux T A+B A s=A.sin(2Ft+)+B (A>0; B>0) Asin() B t -A+B B = moyenne F = fréquence en Hertz (Hz) t = variable temps en seconde (s) A = Amplitude (par rapport à la moyenne) 2Ft = phase  = phase initiale en radian (rad) II. Les signaux sinusoïdaux

1. Représentation temporelle Pression acoustique temps III. Analyse de Fourier

2. Théorème de Fourier Au début du 19ème siècle un mathématicien de génie, le Baron Joseph Fourier né à Auxerre en 1768, découvrit une méthode mathématique d'analyse des phénomènes périodiques complexes, utilisée maintenant par les physiciens sous le nom de «décomposition en série de Fourier» ou «d ’analyse spectrale» ou «d’analyse de Fourier». Cette méthode a des applications si universelles qu'actuellement Joseph Fourier est l'auteur scientifique le plus cité au monde avant Einstein. En plus de ses activités scientifiques, Joseph Fourier joua un rôle dans la vie politique: en 1798, il accompagna le corps expéditionnaire français en Egypte et devint administrateur civil de l'Egypte en août 1799. De retour en France en 1802, il fut nommé par Napoléon préfet à Grenoble. III. Analyse de Fourier

2. Théorème de Fourier a  cos Indice n  nF b  sin pas de b0 g(t) est périodique de fréquence F g(t) = a0 +a1.cos(2Ft)+ a2.cos(22Ft)+ a3.cos(23Ft)+…+ an.cos(2nFt)+ … + b1.sin(2Ft)+ b2.sin(22Ft)+ b3.sin(23Ft)+…+ bn.sin(2nFt)+ … a  cos b  sin Indice n  nF pas de b0 III. Analyse de Fourier

4. Fabriquer g(t) Pour « fabriquer » g(t) avec un logiciel g(t) = a0 + a1.cos(2Ft) + a2.cos(22Ft) + … + an.cos(2nFt)+ … + b1.sin(2Ft) + b2.sin(22Ft) + … + bn.sin(2nFt)+ … Signaux connus Pour « fabriquer » g(t) avec un logiciel III. Analyse de Fourier

5. Calculer les coefficients Signal périodique connu par l’intermédiaire de sa représentation temporelle donc de son écriture mathématique Permet de calculer les coefficients de Fourier, donc permet de trouver l’expression de la somme de Fourier. Avec un ordinateur. g(t) = a0 + a1.cos(2Ft) + a2.cos(22Ft) + … + an.cos(2nFt)+… + b1.sin(2Ft) + b2.sin(22Ft) + … + bn.sin(2nFt)+ … III. Analyse de Fourier

5. Calculer les coefficients Comment fait l’ordinateur? g(t) T t III. Analyse de Fourier

6. Spectre g(t) = a0 + a1.cos(2Ft) + a2.cos(22Ft) + … + an.cos(2nFt)+ … + b1.sin(2Ft) + b2.sin(22Ft) + … + bn.sin(2nFt)+ … F a0 = a0 .1 = a0 cos(0) = a0 cos(20t). an bn a1 a2 b1 b2 a0 a3 a4 b4 a5 f f 0 F 2.F 3.F 4.F 5.F ... 0 F 2.F 3.F 4.F 5.F ... b3 Spectre an(f) III. Analyse de Fourier Spectre bn(f)

7. Exemple important f Spectre bn(f) Spectre an(f) f g(t) T=1/F t g(t) = ( 2 / ).sin(2Ft) + ( 2 /(3 ) ).sin(23Ft) + ( 2/(5 ) ).sin(25Ft) + ( 2/(7) ).sin(27Ft) … an=0 quelque soit n bn= 2 / (n) quelque soit n impair bn=0 quelque soit n pair non nul an b1 b2 b4 0 F 2.F 3.F 4.F 5.F 6F 7F b3 f b5 Spectre bn(f) bn 2/ 2/3 2/5 Spectre an(f) a0 a1 a2 a3 a4 a5 f 0 F 2.F 3.F 4.F 5.F 6F 7F g(t) T=1/F 0,5 -0,5 t III. Analyse de Fourier Représentation temporelle

8. Exemple: note de piano Pression acoustique t t III. Analyse de Fourier

9. Spectre d’un Signal non Périodique g(t) périodique T=1/F t h(t) non périodique T=1/F t T augmente F diminue III. Analyse de Fourier

9. Spectre d’un Signal non Périodique b1 b2 b4 0 F 2.F 3.F 4.F 5.F 6F 7F b3 f b5 bn 2/ 2/3 2/5 Spectre T augmente F diminue f III. Analyse de Fourier F

9. Spectre d’un Signal non Périodique f F diminue III. Analyse de Fourier

9. Spectre d’un Signal non Périodique f III. Analyse de Fourier

9. Spectre d’un Signal non Périodique - Spectre continu Somme continue de signaux sinusoïdaux f III. Analyse de Fourier

9. Spectre d’un Signal non Périodique - Spectre continu Somme continue de signaux sinusoïdaux f III. Analyse de Fourier

10. Bilan 0 F 2F 3F….nF Spectre discret Spectre continu Cn(f) 0 F 2F 3F 4F 0 fmax f F (f) Signal non périodique Signal périodique F F0 0 F 2F 3F….nF Intervalle continu de fréquence [0;fmax] Spectre discret Spectre continu Coefficients Cn(f) Transformée de Fourier F (f) = fonction mathématique continue Somme discrète de signaux sinusoïdaux Somme continue de signaux sinusoïdaux Bande de fréquences principale BFP f1 f2