TRANSFERT, LOCALISATION ENERGETIQUE ET NON REGULARITE (avec le support de l’ANR ADYNO) C.-H. Lamarque, O. Gendelman (Technion), Ture Savadkoohi, E. Etcheverria Université de Lyon ENTPE/CNRS DGCB FRE 3237 Rue Maurice Audin 69 518 Vaulx-en-Velin Cedex, France

Contexte et objectifs Absorber l’énergie de vibration d’une structure grâce à une structure auxiliaire et un couplage non linéaire, embarqué ou non Application en Génie Civil, en acoustique, en automobile… Phénoménologie et principe de conception à partir de l’étude de systèmes à petit nombre de ddl: par exemple 2 (1 ddl à contrôler par 1 ddl auxiliaire) En général, étude de systèmes initiaux linéaires ou à non linéarité régulière Extension: ou bien le système initial est non linéaire non régulier (cas 1) ou bien le couplage du système auxiliaire est non linéaire non régulier (cas 2)

Cas 1: système initial avec non linéarité non régulière Par exemple, des éléments de Saint-Venant (« frottement ») 3/45

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Efficacité sous impulsion Résumé: Design du NES en linéarisant le système initialement non linéaire autour de l’origine, par une méthode analytique : Efficacité sous impulsion Efficacité sous sollicitation transitoire brève Cas forcé: le même design pas toujours efficace F. Schmidt, C.-H. Lamarque, Energy pumping for mechanical systems involving non-smooth Saint-venant terms, International Journal of Non-Linear Mechanics, Volume 45, Issue 9, November 2010, 866-875.

Cas 2 Système initial linéaire Non linéarité « auxiliaire » non régulière (affine par morceaux)

Régime libre Système étudié ε<<1 F(z) raideur de couplage linéaire par morceaux.

Méthode de complexification de Manevitch Régime libre Méthode de complexification de Manevitch v=y1+εy2 w= y1-y2 2 masses en résonance 1 :1, oscillations rapides modulées par une enveloppe lente

Méthode de complexification de Manevitch Régime libre Méthode de complexification de Manevitch Moyenne en temps rapide φ1 et φ2 ainsi que leurs dérivées ont des variations lentes sur cette échelle de temps.

Méthode de complexification de Manevitch Régime libre Méthode de complexification de Manevitch f1, premier terme de la décomposition en série de Fourier de F(w)

Régime libre Ordre ε° On cherche les solutions bornées τ0→∞

Régime libre Ordre ε° φ1=N1eiδ1 et Φ=N2eiδ2 Etude des extremums locaux Etude de la stabilité

Régime libre Ordre ε° 1er cas : c≤1 Pas d’extremum. Tous les points fixes sont stables. 2ème cas : c>1 Amortissement critique à partir duquel il n’existe pas d’extremum et tous les points fixes sont stables. Pour λ<λc , il ya deux extremums et certains points fixes sont instables

Détermination des zones de stabilité et d'instabilité des points fixes Régime libre Ordre ε° c>1et λ<λc Détermination des zones de stabilité et d'instabilité des points fixes

Régime libre Ordre ε1 Equations singulières aux points extrémaux de la relation N1↔ N2

Description du phénomène Régime libre Description du phénomène c≤1 ou λ≥λc : pas de pompage possible Représentations graphiques des points fixes dans le cas où il n’y a pas de pompage possible

Régime libre Description du phénomène c>1 et λ<λc : pompage possible Différents scénarios selon l’énergie initiale

Vérification numérique des conditions de pompage Régime libre Vérification numérique des conditions de pompage Energie supérieure à l’énergie d’activation et λ<λc Simulation numérique de la relation N1⇔N2 comparée à la prédiction analytique

Régime libre Vérification numérique des conditions de pompage Energie supérieure à l’énergie d’activation et λ<λc Déplacements de la masse principale et de la masse auxiliaire

Régime libre Vérification numérique des conditions de pompage Energie supérieure à l’énergie d’activation et λ>λc Déplacement de la masse principale pour différents amortissements

Régime forcé

Régime forcé Système étudié Ordre ε° : Mêmes équations qu’en régime libre Ordre ε1 : Même dénominateur qu’en régime libre

Ordre ε1 : réponse fortement stationnaire Régime forcé Ordre ε1 : réponse fortement stationnaire Equation à l’ordre ε1 en régime permanent Etude des extremums locaux Etude de la stabilité des points fixes

Ordre ε1 : réponse fortement stationnaire Régime forcé Ordre ε1 : réponse fortement stationnaire 1er cas : Pas d’extremum. Tous les points fixes sont stables. 2ème cas : Il y a deux extremums et certains points fixes sont instables jusqu’à une certaine valeur de l’amortissement. Au-delà de cette valeur il n’existe pas d’extremums et tous les points fixes sont stables.

Ordre ε1 : réponse fortement stationnaire Régime forcé Ordre ε1 : réponse fortement stationnaire Pour un amortissement pas trop grand

Régime forcé Près de la pulsation propre Oscillations fortement modulées Près de la pulsation propre Battements des oscillations de la masse principale en régime permanent

Régime forcé Près de la pulsation propre Oscillations fortement modulées Près de la pulsation propre Courbe N1⇔ N2 entre t=40 000 et t=95 000

Régime forcé Près de la pulsation propre Oscillations fortement modulées Près de la pulsation propre Sections de Poincaré de la masse principale et de la masse auxiliaire

Régime forcé Avant stabilisation sur le point fixe Oscillations fortement modulées Avant stabilisation sur le point fixe Cycle d’oscillations de relaxations avant stabilisation

Etude de portraits de phase Régime forcé Etude de portraits de phase

Régime forcé Régime libre Etude de portraits de phase Portrait de phase pour le régime libre

Régime forcé Régime libre Etude de portraits de phase Diagramme N1 ⇔ N2 correspondant

Etude de portraits de phase Régime forcé Etude de portraits de phase Régime forcé : Apparition de bifurcations de type nœud-selle sur les lignes de singularité : certaines trajectoires de phase sont tangentes à l’une des lignes de singularité apparition de points d’équilibres de type « singularité pli »

Etude de portraits de phase Régime forcé Etude de portraits de phase fo<fo1crit : pas de bifurcation

Etude de portraits de phase Régime forcé Etude de portraits de phase fo>fo1crit : bifurcation de type nœud-selle sur la ligne de singularité inférieure

Etude de portraits de phase Régime forcé Etude de portraits de phase fo>fo2crit : bifurcation de type nœud-selle sur la ligne de singularité supérieure

Etude de portraits de phase Régime forcé Etude de portraits de phase fo>fo1crit : condition nécessaire mais non suffisante à l’apparition du régime quasi-périodique Influence de la pulsation et des conditions initiales

Etude de portraits de phase Régime forcé Etude de portraits de phase Régime permanent quasi-périodique

Etude de portraits de phase Régime forcé Etude de portraits de phase Régime permanent périodique après un régime transitoire d’oscillations de relaxation

Etude de portraits de phase Régime forcé Etude de portraits de phase Régime permanent périodique

Conclusions Pompage énergétique possible avec un couplage par raideur linéaire par morceaux (y compris en présence de « jeu »: pas montré ici) Résultats analytiques corroborés par des résultats numériques Mais : Il faut ajuster le design à la plage d’énergie à atténuer Le comportement d’oscillations de relaxation doit être étudié Perspectives : L’étude d’un système initial avec jeu à approfondir Coupler le design on régulier à un modèle « réaliste » de structure

Merci de votre attention

Système initial non linéaire non régulier Présence d’un « jeu »

Présence d’un « jeu » Système étudié

Présence d’un « jeu » Relation N1↔N2

Vérification numérique de la relation N1↔N2 Présence d’un « jeu » Vérification numérique de la relation N1↔N2 Courbe analytique N1⇔N2 (en bleu) pour ω=1 et courbes numériques (a=1, c=1.5,e=1, f=2,λ=0.2) en noir pour ε=0.01 et en rouge pour ε=0.001

Etude numérique des conditions de pompage Présence d’un « jeu » Etude numérique des conditions de pompage Cas n°1 Cas n°2 Cas n°3 Cas n°4 Cas n°5 e=1 e=0.1 e=10 g=2 g=0.2 g=20

Etude numérique des conditions de pompage Présence d’un « jeu » Etude numérique des conditions de pompage Cas n°1 Cas n°2 Cas n°3 Cas n°4 Cas n°5 e=1 e=0.1 e=10 g=2 g=0.2 g=20 Cas n°1 : Pompage énergétique moins efficace que lorsqu’il n’y a pas de jeu. Cas n°3 et cas n°4 triviaux Amortissement critique plus faible et énergie d’activation plus élevée quand on se rapproche des cas extrêmes 2 et 5