Le système numérique Mathématique 10e – 1.1

Les nombres réels Irrationnels Rationnels =3,333333... Décimaux 4,2567 Entiers Relatifs Entiers Naturels * Nombres rationnels : Ils peuvent s’écrire sous la forme d ’une fraction d ’entiers - 2 3 * Nombres décimaux: ils incluent les nombres entiers *Nombres entiers naturels * Nombres entiers relatifs : entiers positifs et négatifs Notation des ensembles de nombres N : pour naturale. PEANO (Italien, 1858-1932) Z : pour zahl. DEDEKIND (allemand, 1831-1916) D : notation franco-française (1970) Q : pour quotiente. PEANO R : pour real. DEDEKIND * Nombres réels : nombres rationnels (entiers, décimaux et fractionnaires) et nombres irrationnels (tels que p ou 2)

Les sous-ensembles des nombres réels Fiche 9

Les nombres rationnels (Q) Ce sont toutes les fractions et tous les nombres fractionnaires qui sont des nombres rationnels. Exemple:

Les nombres rationnels (Q) Tous les nombres décimaux et tous les nombres à décimales périodiques sont des nombres rationnels. Exemple: Nombre décimal 0.5 = Nombre à décimale périodique 0.272 727 272… = Ici, les chiffres qui se répète se nomment la période et le nombre de chiffres qui se répètent constitue la longueur de la période. La période est donc 27 et la longueur est 2.

Changer un nombre périodique en fraction Exemple 1: 0.23232323…

Les nombres rationnels (Q) Les nombres entiers (Z) sont des nombres rationnels. Les nombres naturels (N) sont des nombres rationnels. Les nombres naturels non nuls (N*) sont des nombres rationnels.

Les nombres entiers (Z) Un nombre entier est un nombre qui n’appartient aucun reste fractionnaire (n’a pas de décimaux). Ceux-ci peuvent être négatifs ou positifs. Le 0 fait aussi partie des nombres entiers. Exemple: Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} Remarque: 1 peut aussi s’écrire comme ou … donc une fraction qui occupe le même nombre au numérateur et au dénominateur est un nombre entier.

Les nombres naturels non nuls (N*) Un nombre naturel non nul est un nombre entier supérieur à 0. Exemple: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …} Fiche 2

Les nombres naturels (N) Un nombre naturel est un nombre entier supérieur ou égal à 0. Exemple: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}

Les nombres irrationnels (Q’) Un nombre est irrationnels si celui-ci a une infinité de nombres décimaux sans répétition périodique. Exemple: = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 72…   = 1,7320508075 6887729352 7446341… π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510…

Les différentes représentations d’un sous-ensemble de R Il y a quatre différentes formes de représentation Extention Compréhension Intervalle Droite numérique

Représentation par Extension Les éléments sont énumérés entre des accolades et séparer par une virgule. La représentation par extension est utilisée pour représenté un sous-ensemble fini de R ou un sous-ensemble infinie qui représente une régularité.

Exemples Représentation par extension Ensemble Représenté

Représentation par Compréhension Entre accolades, on définit premièrement l’ensemble de référence et ensuite, on décrit les éléments de l’ensemble. Cette notation peut être utilisée pour représenter un sous-ensemble spécifique de R.

Exemples Représentation par compréhension Ensemble Représenté

Représentation par Intervalle On indique entre crochets et séparées par une virgule, les bornes de l’intervalle. Si la borne est incluse dans l’intervalle ( ) alors le crochet et tourné vers l’intérieur ( ). Si l’intervalle n’est pas incluse ( ), les crochets seront tournés vers l’extérieur ( ).

Représentation par Intervalle Représente tout les nombres de R compris entre les bornes de l’intervalle. Les bornes peuvent être comprises ou non.

Exemples Représentation par Intervalle Ensemble Représenté

Représentation par Droite numérique On représente le sous-ensemble par des points s’il s’agit de valeurs discrètes ou par un segment ou par un segment ou une demi-droite s’il s’agit d’un intervalle.

Représentation par Droite numérique Cette notation est utilisée plus fréquemment pour représenter un intervalle de R, mais on peut aussi l’utiliser pour représenter soit un petit nombre d’éléments ou un sous-ensemble de N, Z ou Q qui présente une régularité. Rappel: < ou >  (point vide) – nombre n’est pas inclu ou  (point noirci) – nombre est inclu

Exemples Représentation par droite numérique Ensemble Représenté

Exemple 1 Représentation par droite numérique Représente ces inéquations sur la droite numérique ( ): -3 -2 -1 1 2 3 4 ]-∞, 4[

Exemples 2 Représentation par droite numérique Représente ces inéquations sur la droite numérique : -3 -2 -1 1 2 3 4 [ -3, + ∞ [

Exemples 3 Représentation par droite numérique Représente ces inéquations sur la droite numérique ( ): -3 -2 -1 1 2 3 4 ] -4, 3 ]

Aide moi à compléter ce tableau

La notion du radical C’est une racine carrée où 2 est l’indice et x est le radicande. Rappel: Les nombres carrés sont: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …

La notion du radical C’est une racine carrée où 3 est l’indice et x est le radicande. Rappel: Les nombres cubiques sont: 1, 8, 27, 64, 125, 216, …

La notion du radical Exemples: calculatrice

La notion de valeur absolue La valeur absolue d’un nombre réel est sa distance par rapport à «0» (zéro) sur une droite numérique des nombres réels. Pour représenter la valeur absolue d’un nombre réel x, on écrit x, ce qui désigne la valeur positive de x.

La notion de valeur absolue Exemple c) | 3 | - | -2 | = 3 – 2 = 1

Exercice Place les nombres suivants sur la droite numérique: -3 -2 -1 1 2 3 4