Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz Maillage 2D et 3D Exemples de nuages de points: Interpolation d’un nuage de points: Triangulation: Différents types Diagrammes de Voronoï Triangulation de Delaunay Année 20009/2010

1) Exemples de nuages de points: Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 1) Exemples de nuages de points: Année 2010/2011

2) Interpolation d’un nuage de points: Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 2) Interpolation d’un nuage de points: On cherche à créer un modèle 3D correspondant au nuage de points : Année 2010/2011

2) Interpolation d’un nuage de points: Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 2) Interpolation d’un nuage de points: Les différentes étapes du processus : Année 2010/2011

2) Interpolation d’un nuage de points: Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 2) Interpolation d’un nuage de points: Les différentes étapes du processus : Année 2010/2011

3) Triangulation : a) Différents types: Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : a) Différents types: Approche naïve : Approche par triangulation: deux approches d’interpolation de la hauteur. Approche naïve : Pour chaque point, on définit une zone (milieu par rapport aux autres points) qui aura l’altitude du point. Reflète pas vraiment la courbure de la surface. Par triangulation : On projette la surface triangulée sur un plan, en gardant pour chaque pour la valeur Z de la hauteur ou on garde le maillage 3D de la surface. Année 20009/2010

3) Triangulation : a) Différents types: Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : a) Différents types: La triangulation permet de connaitre pour chaque point, ses coordonnées X,Y et Z. Suivant son utilisation elle peut donner différents résultats : Premier cas : Zq=(990+980)/2 = 985 Deuxième cas : Zq = (10+36)/2=23 Donc pour un point q ientique, on trouve de Z différents. Année 20009/2010

3) Triangulation : a) Différents types: Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : a) Différents types: Enveloppe convexe : L'enveloppe convexe d'un objet ou d'un regroupement d'objets géométriques est l'ensemble convexe le plus petit parmi ceux qui le contiennent. Un objet géométrique est dit convexe lorsque, chaque fois qu'on y prend deux points A et B, le segment [A,B] qui les joint y est entièrement contenu. Ainsi un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un objet creux ou bosselé ne l'est pas. Dans un plan, l'enveloppe convexe peut être comparée à la région limitée par un élastique qui englobe tous les points qu'on relâche jusqu'à ce qu'il se contracte au maximum. L'idée serait la même dans l'espace avec un ballon qui se dégonflerait jusqu'à être en contact avec tous les points qui sont à la surface de l'enveloppe convexe. Proposition — L'enveloppe convexe de A est l'ensemble des barycentres à coefficients positifs ou nuls de familles de points de A. Année 20009/2010

3) Triangulation : a) Différents types: Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : a) Différents types: Exemple de triangulation invalide, il est possible d’ajouter des segments entre deux points: Année 20009/2010

3) Triangulation : a) Différents types: Licence pro MQ métro : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : a) Différents types: Ajout de segments pour rendre la triangulation valide:

3) Triangulation : a) Différents types: Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : a) Différents types: Convexité des quadrilatères: Année 20009/2010

3) Triangulation : a) Différents types: Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : a) Différents types: Pour 4 points, deux types de triangulations possibles: Année 20009/2010

3) Triangulation : a) Différents types: Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : a) Différents types: Détermination du bon choix: Le segment est dit légal si et seulement s’il existe un cercle qui contient uniquement 3 points d’un triangle. Année 20009/2010

3) Triangulation : a) Différents types: Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : a) Différents types: Exemple de triangulation équivalente: Les quatre points sont sur le même cercle. Année 20009/2010

3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï Origine du diagramme de Voronoï: Une personne veut poster une lettre, il y a plusieurs bureaux de postes, lequel choisir? Chaque bureau correspond à un site. Il faut déterminer lequel est le plus proche Année 20009/2010

3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï Désignation des éléments du diagramme de Voronoï: Année 20009/2010

3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï Diagramme de Voronoï à deux sites: On appelle région de Voronoï ou cellule de Voronoï associée à un élément p de S l’ensemble des points qui sont plus proches de p que de tout autre point de S. Année 20009/2010

3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï Diagramme de Voronoï à trois sites: a) Les bissectrices : Année 20009/2010

3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï Diagramme de Voronoï à trois sites: b) Une cellule est l’intersection de plusieurs demi-plans: Année 20009/2010

3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï Diagramme de Voronoï à quatre sites: Une cellule est l’intersection de plusieurs demi-plans: Année 20009/2010

3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï Par cette méthode, on obtient le résultat suivant : Année 20009/2010

3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï Algorithme de Fortune : une ligne de plage : La ligne de plage est la ligne d’équidistance entre le point et la ligne de balayage, c’est une parabole. Année 20009/2010

3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï Algorithme de Fortune : la ligne balaye tout les points et chaque intersection de paraboles constitue un point des arêtes de Voronoï Année 20009/2010

3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï La ligne de balayage croise un nouveau site : Année 20009/2010

3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï Un arc de parabole disparait : Si un arc disparait cela signifie que l’arête de Voronoï est perpendiculaire à la ligne de balayage. Année 20009/2010

3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : b) Digramme de Voronoï Algorithme de Fortune : on obtient : Si un arc disparait cela signifie que l’arête de Voronoï est perpendiculaire à la ligne de balayage. Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Soit G, le graphe dual à Vor(P). En rouge, les arêtes de G Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Définition du Graphe dual :Le graphe dual d'un graphe planaire G est défini à partir d'un plongement de G sur une surface. A partir d'un tel plongement de G, on peut définir les faces de G (car en fait G est alors en bijection avec un polyèdre): Exemple : Le graphe dual d'un graphe planaire G est défini à partir d'un plongement de G sur une surface. A partir d'un tel plongement de G, on peut définir les faces de G (car en fait G est alors en bijection avec un polyèdre). Le graphe dual de G est alors le graphe dont les sommets correspondent aux faces de G et où deux sommets sont adjacents s'ils correspondent à deux faces adjacentes. Par-exemple, le graphe complet sur quatre sommets est isomorphe à son dual (on dit d'un tel graphe qu'il est auto-dual). Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Exemple de dual : Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Soit Gd(P), le graphe de Delaunay. En rouge, les arêtes de Gd(P) Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Gd(P) n’est pas toujours une triangulation: Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay La triangulation de Delaunay est obtenue à partir de Gd(P): Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Td(P) doit toujours être légal: Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Triangulation de Delaunay par la méthode incrémentale aléatoire : Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Année 20009/2010

3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay Licence pro MPCQ : Cours Lycée Jean Mermoz 3) Triangulation : c) Triangulation de Delaunay On obtient : Année 20009/2010