La géométrie histoire et épistémologie par Jean-Pierre Friedelmeyer Irem de Strasbourg Première Partie : L’élaboration de la géométrie comme science mathématique

Un extrait du papyrus Rhind (British Museum, London) Diapo 6 Un extrait du papyrus Rhind (British Museum, London) (environ 1700 avant JC) : largeur 33 cm ; longueur 5,25 m

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Le problème des six frères Diapo 10 Le problème des six frères (tablette babylonienne ; environ 1500 av. JC ; musée du Louvre)    Un trapèze. 2,15 le côté supérieur ; 1,21 le côté inférieur ; 3,33 le front supérieur ; 51 le front inférieur : l’aîné et le second sont égaux ; le troisième et le quatrième sont égaux ; le cinquième et le sixième sont égaux. Quelles sont les limites ? Début de solution : Toi, en opérant, additionne 3,33 le front supérieur et 51 le front inférieur : cela fera 4,24. D’autre part, sépare la partie de 2,15 le côté, cela fera (0 ; 0),26,40. Porte (0 ; 0),26,40 à 1,21 le côté inférieur, cela fera (0),36. Ajoute (0),36 à 4,24, cela fera 4,24 ; 36.

Diapo 11 Tablette babylonienne n° YBC 7289 (conservée à New Haven, USA) On y voit mesurée la diagonale d’un carré de côté 30 qui, multiplié par le nombre écrit en sexagésimal : 1, 24, 51, 10 (correspondant à notre racine carrée de 2) donne 42, 25, 35 comme longueur de la diagonale Question : si le côté du carré change, faut-il toujours multiplier par racine de 2 pour avoir la longueur de la diagonale ?

Du particulier à l’universel Diapo 12 Du particulier à l’universel

La propriété est vraie pour tous les triangles : comment le prouver ? Diapo 13 La propriété est vraie pour tous les triangles : comment le prouver ?

Théorème : la somme des angles d’un triangle est égale à deux droits Diapo 14 Théorème : la somme des angles d’un triangle est égale à deux droits Quelle est la validité d’une telle preuve ?

La figure de l’hypoténuse (Xian Tu ; env. 1230 av. JC) Diapo 15 La figure de l’hypoténuse (Xian Tu ; env. 1230 av. JC) a b c Le carré de l’hypoténuse contient 4 surfaces rouges et 1 surface jaune 25 = 4 x (4x3/2) + 1 ; en généralisant : c2 = 4(a.b/2) + (b – a)2

Diapo 16 Théorème de Pythagore d’après Liu Hui (vers 270 av. J.C.) extrait du Jiushang suanshu (Neuf chapitres sur l’art du calcul) bleu sort bleu entre rouge sort bleu sort bleu entre rouge entre

Lewis Carroll (1832 – 1898) Diversions and Disgressions Diapo 17 Lewis Carroll (1832 – 1898) Diversions and Disgressions

On découpe et on recompose autrement Diapo 18 On découpe et on recompose autrement

Diapo 19 Problème !

La découverte des grandeurs incommensurables Diapo 20 La découverte des grandeurs incommensurables Sur la tablette, la diagonale d’un carré de côté 30 est obtenue en multipliant 30 par le nombre écrit en sexagésimal : 1, 24, 51, 10 (correspondant à notre racine carrée de 2), ce qui donne 42, 25, 35 Mais ces calculs, bien que très précis, ne sont qu’approchés (1,414213 pour racine de 2, ce qui est tout à fait remarquable comme précision).

La soustraction réciproque Diapo 21 La soustraction réciproque Les mathématiciens grecs utilisent ce qu’ils appellent soustraction réciproque a = 2 b + a1 ; b = 3 a1 + a2 ; a1 = 2a2 ; Donc, en remontant : b = 7 a2 ; a = 9 a2 ; alors a2 est une mesure commune à a et b et définit le rapport a/b = 16/7

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L’algorithme d’Euclide par Euclide Diapo 24 L’algorithme d’Euclide par Euclide Euclide VII, 1 : Deux nombres inégaux étant proposés et le plus petit étant retranché du plus grand de façon réitérée et en alternance, si le reste ne mesure jamais [le reste] précédent jusqu'à ce qu’il reste une unité, les nombres initiaux seront premiers entre eux. Euclide X, 2 : Si, de deux grandeurs inégales {proposées} la plus petite étant retranchée de la plus grande de façon réitérée et en alternance, le dernier reste ne mesure jamais le [reste] précédent, les grandeurs seront incommensurables.

La théorie des proportions Diapo 25 La théorie des proportions Je ne peux pas exprimer par un nombre (rationnel) le rapport des côtés AB et OB, mais je peux exprimer le rapport des aires des deux carrés et celle des deux cercles. Dans les deux cas, ce rapport est exactement égal à 2.

Élaboration d’objets idéaux Diapo 26 Élaboration d’objets idéaux L’incommensurabilité oblige à penser la droite comme un objet abstrait qu’on ne peut confondre avec ses modèles physiques : trait graphique, arête d’un mur, faîte d’un toit, etc. Cet objet abstrait doit se soumettre à d’autres règles que celles fournies par la mesure ; celles imposées par les définitions et les propriétés déduites par raisonnement

Vers une théorie mathématique Diapo 27 Vers une théorie mathématique L’exigence de certitude conduit à élaborer des processus d’argumentation, des démonstrations La découverte de grandeurs incommensurables oblige à dépasser la considération d’objets sensibles au profit d’objets pensés et abstraits L’aspect arpentage  et mesure cède le pas à l’aspect conceptuel et déductif. L’outil de base est le rapport et la proportion.

Quelques définitions chez Euclide Diapo 28 Quelques définitions chez Euclide Un point est ce dont il n’y a aucune partie. Une ligne est une longueur sans largeur. Une ligne droite est celle qui est placée de manière égale par rapport aux points qui sont sur elle. Et quand une droite, ayant été élevée sur une droite, fait les angles adjacents égaux entre eux, chacun de ces angles égaux est droit, et la droite qui a été élevée est appelée perpendiculaire à celle sur laquelle elle a été élevée.

Organisation d’une démonstration en Éléments Diapo 29 Organisation d’une démonstration en Éléments Théorèmes Cas d’égalité des triangles Deux triangles qui ont même base et même hauteur ont même aire Une diagonale partage un parallélogramme en deux triangles égaux Notions communes (axiomes) 1. Les choses égales à une même chose sont égales entre elles. 2. Et si, à des choses égales, des choses égales sont ajoutées, les touts sont égaux. …………………………………. 6. Et les moitiés du même sont égales entre elles. 7. Et les choses qui s’ajustent les unes sur les autres sont égales entre elles.

Pythagore selon Euclide (I, 47) Diapo 30  

deux sens du mot « Élément » Diapo 31 Le théorème de Pythagore chez Euclide (Livre I, 47 des Éléments) ΣΤΟΙΧΕΙΑ  plantation d’arbres  principe d’un bon gouvernement  acte d’avancer en rang, comme une armée en ligne de bataille deux sens du mot « Élément » principe constituant d’une chose organisation de ces principes en un tout rangé et ordonné [PP]

Diapo 32 En résumé : la géométrie d’Euclide s’est constituée schématiquement en trois étapes : Longue pratique avec observation et accumulation des propriétés de figures géométriques, à partir de nombreuses mesures expérience

Diapo 33 Découverte du caractère universel de certaines propriétés  et de leur liaison logique ; mise en évidence du caractère nécessaire de cette liaison, au moyen des premières démonstrations intuition Ces démonstrations supposent une idéalisation de certains objets empiriques sous forme d’objets géométriques abstraits tels que le point, la droite, le plan …

Diapo 34 Intégration de la plupart des propriétés géométriques connues en un système déductif unique, le système d’ Euclide, en dégageant les propriétés de base (axiomes - en nombre minimal) desquelles découlent toutes les autres par simple déduction logique. Théorie

Diapo 35 Au final, l’axiomatisation est le résultat d’un long processus partant de l’expérience pour arriver à la théorie, en s’appuyant sur l’intuition.

La théorie de la connaissance chez Platon Diapo 36 La théorie de la connaissance chez Platon Platon : « nul n’entre ici s’il n’est géomètre » 1 « la recherche et le savoir ne sont au total que réminiscence ». (cf. le dialogue appelé Ménon : 81d) 2. « en outre ils font usage de figures visibles, et sur ces figures, ils construisent des raisonnements sans avoir à l’esprit ces figures elle-mêmes, mais les figures parfaites dont celles-ci sont des images » (cf. le dialogue appelé La République : 510)

Monde visible Perception Diapo 37 Monde visible Perception Monde intelligible Pensée, esprit Réalité illusoire concrète abstraite spirituelle Copies Reflets ombres Objets physiques nature Objets de la science géométrie Monde des Idées Opinion Vérité Figures géométriques Figures géométriques

Conclusion de la première partie Diapo 38 Conclusion de la première partie Durant 2000 ans, la représentation intuitive de l’espace s’explicite au contact de la géométrie au point que l’espace du géomètre et l’espace sensible ne semblent former que deux aspects inséparables d’une même réalité. C’est par notre intuition et les expériences sensibles que nous nous sommes construit une certaine représentation de l’espace dont l’organisation en un système déductif a donné la géométrie euclidienne.

Deuxième Partie Vers les géométries non euclidiennes et une autre conception de la géométrie - cliquer ici