PHY1501 – circuits linéaires Rikard Blunck – rikard. blunck@umontreal PHY1501 – circuits linéaires Rikard Blunck – rikard.blunck@umontreal.ca PHY1501

PHY1501 - Les circuits linéaires RLC Le but du cours: Circuit linéaire RLC Régime transitoire et alternatif Impédance complèxe ? PHY1501

Les boîtes noires Le filtre passe-bas PHY1501

Définitions charge élémentaire e = 1.6022 10-19 C charge q Coulomb 1 C courant i ampère 1 A = 1 C/s potentiel v, u volt 1V = 1 J/C tension v, u volt 1V charge élémentaire e = 1.6022 10-19 C PHY1501

Champ électrique de deux charges q et -q  = const E F = F = E qtest q1 q2 4   r2 PHY1501

Le circuit électrique ±V i i = dq/dt +V (1) -V (2) Les éléments lineaires: I(2*V) = 2*I(V) PHY1501

Définitions charge q Coulomb 1 C courant i ampère 1 A = 1 C/s potentiel v volt 1 V = 1 J/C tension v volt 1 V source de voltage e volt source de courant i ampère résistance R Ohm 1  = 1 V/A inductance L Henry 1 H = Vs/A condensateur C Farad 1 F = 1 C/V ±V PHY1501

Définitions charge q Coulomb 1 C courant i ampère 1 A = 1 C/s potentiel v volt 1 V = 1 J/C tension v volt 1 V source de voltage e volt source de courant i ampère ±V PHY1501

La résistance R =  l/A avec  : résistance spécifique 1. anneau facteur 2. anneau tolérance argent or R i ±V R =  l/A avec  : résistance spécifique l : longeur A : surface R = U / I (loi d’Ohm) Wel = U q = U ∫ I dt = U I t P = W/t = U I t/t = U I = U2/R = I2R PHY1501

La résistance R =  l/A avec  : résistance spécifique l : longeur A : surface R = U / I (loi d’Ohm) Wel = U q = U ∫ I dt = U I t P = W/t = U I t/t = U I = U2/R = I2R PHY1501

Le condensateur E = Q / ( A)  = 0 r 0 = 8.85 10-12 As/Vm Matériel r Vide 1.0000 Aire 1.0006 Verre 4..12 Plexiglas 3 Eau 81 Bariumtitanat >1000 + - E +Q -Q + - +Q -Q d V PHY1501

Le condensateur Fchamp = E q Wchamp = Fchamp d = E q d Welec = U q Welec = Wchamp U q = E q d U = E d (E=Q/A) U = Q d /  A E + - +Q -Q F d PHY1501

Le condensateur U = Q d /  A U  Q La capacité C C = Q / U Farad 1 F = 1 C/V Condensateur de plan C =  A/d E + - +Q -Q d PHY1501

Le condensateur C = Q/V i(t) = dq/dt = d(C v(t))/dt i(t) = C dv(t)/dt v(t) = 1/C ∫i(t) dt V PHY1501

L’inductance : la bobine µ q v 4  r2 B = µ = µ0µr (perméabilité magnétique) µ0= 1/0c2 = 1.26 10-6 Vs/Am PHY1501

L’inductance : la bobine Bobine de N tours: B = µ I N / 2 r (Loi de Biot-Savart) u(t) = d(AB)/dt N tours, A=const u(t) = N A dB/dt PHY1501

L’inductance uL(t) = N A dB/dt = N A d/dt(µ i(t) N / 2 r) = N2µA/2r di(t)/dt uL(t)  di(t)/dt uL(t) = L di(t)/dt L: inductance L = N2µA/2r V PHY1501

L’inductance : la bobine PHY1501

Définitions charge q Coulomb 1 C courant i ampère 1 A = 1 C/s potentiel v volt 1 V = 1 J/C tension v volt 1 V source de voltage e volt source de courant i ampère résistance R Ohm 1  = 1 V/A inductance L Henry 1 H = Vs/A condensateur C Farad 1 F = 1 C/V ±V PHY1501

∑ qk = ∑ik = 0 1. loi de Kirchhoff Les lois de Kirchhoff U = R I loi d’Ohm ∑ qk = ∑ik = 0 1. loi de Kirchhoff ∑ek - ∑uk = 0 2. loi de Kirchhoff d dt PHY1501

Deux résistances en série Diviseur du tension PHY1501

Extension d’échelles des mètres de voltage et courant PHY1501

Série et parallèle 1 Ctotal 1 Ck Rtotal = ∑Rk Ltotal = ∑Lk = ∑ 1 PHY1501

Courant dans une ampoule PHY1501

Circuit RRC i = i1 + i2 E = V + R1i V = R2i1 V i i1 i2 dv/dt + (1/R2C + 1/R1C) v –E/R1C = 0 e(t) t continue transitoire PHY1501

Circuit RRC v(t) = E {1-e } e(t) dv/dt + (1/R2C + 1/R1C) v –e/R1C = 0 continue transitoire dv/dt + (1/R2C + 1/R1C) v –e/R1C = 0 équation différentielle homogène: dv/dt + (1/R2C + 1/R1C) v = 0 v(t) = v0e-at + const a = (R1+R2)/R1R2C v(t=0) = 0  const = -v0 v(t=∞) = i R2 = E R2/(R1+R2) = const v(t) = E {1-e } (R1+R2) t R1R2C R2 R1+R2 PHY1501

Régime variable u(t) = E 0 t<0 u(t) = E t>0 u(t+T) = u(t) t=0 T PHY1501

Le circuit LRC en série de d2i di i dt dt2 dt C = L +R + i = iL = iR = iC e = vL + vR + vC = Ldi/dt + Ri + Q/C de d2i di i dt dt2 dt C = L +R + Solution: i(t) = e sin(0t) avec 0=(4L/C –R2)1/2 E 0L Rt/2L PHY1501

LRC régime transitoire PHY1501

Régime variable u(t) = E 0 t<0 u(t) = E t>0 u(t+T) = u(t) t=0 T PHY1501

Régime alternatif sinus triangle rectangle dents de scie =—∑sin(kt)/k 2 π PHY1501

Régime alternatif – génération u(t) = d(BA)/dt = B dA/dt = B r l cos(t) PHY1501

Régime alternatif - génération u(t) = d(BA)/dt = B dA/dt = B r l cos(t) PHY1501

Le courant alternatif u(t) û t T = 1/f = 2/ u(t) = û cos(t) = û cos(2f t) = û cos(2 t/T) B PHY1501

Le courant alternatif u(t)  = 2 - 1 1 û1 2 t u1(t) = û1 cos(t + 1) u2(t) = û2 cos(t + 2) B PHY1501

Le courant alternatif u(t)  = 2 - 1 1 û1 2 t u1(t) = û1 cos(t + 1) u2(t) = û2 cos(t + 2) B PHY1501

Le circuit LRC en série de d2i di i dt dt2 dt C = L +R + e(t) = Ê cos(t) i(t) = Î cos(t+φ) PHY1501

Impédance – déphasage résonance 0=1/(LC)1/2 1/C -L R Î = Ê/(R2+(1/C -L)2)½ tan (φ) = PHY1501

La phase PHY1501

Le condensateur en régime alternatif C = Q/U i(t) = C d/dt u(t) u(t) = e(t) = E cos(wt) i(t) = -wCE sin(wt) = wC E cos(wt + /2) u(t) = L d/dt i(t) i(t) = 1/L E cos(wt) dt i(t) = E/wL sin(wt) = 1/wL E cos(wt - /2) i(t) = 1/R u(t) = 1/R E cos(wt + 0) PHY1501

Le courant alternatif u(t)  = 2 - 1 1 û1 2 t u1(t) = û1 cos(t + 1) u2(t) = û2 cos(t + 2) B PHY1501

C, L et R en régime alternatif C = Q/U i(t) = C d/dt u(t) u(t) = e(t) = E cos(wt) i(t) = -wCE sin(wt) = wC E cos(wt + /2) u(t) = L d/dt i(t) i(t) = 1/L E cos(wt) dt i(t) = E/wL sin(wt) = 1/wL E cos(wt - /2) i(t) = 1/R u(t) = 1/R E cos(wt + 0) PHY1501

uc(t) = Ûejwt = Û cos(wt) + jÛ sin(wt) (Euler) Impédance complexe uc(t) = Ûejwt = Û cos(wt) + jÛ sin(wt) (Euler) Re(uC(t)) = Û cos(wt) = u(t) Im(uC(t)) = Û sin(wt) (aucun sens) PHY1501

uc = Ûej = Û cos() + jÛ sin() = Re(uc) + j Im(uc) Impédance complexe uc = Ûej = Û cos() + jÛ sin() = Re(uc) + j Im(uc) Û = Re(uc)2 + Im(uc)2 tan() = Im(uc) Re(uc) PHY1501

ej(+/2) = cos(+/2) + j sin(+/2) = -sin() + j cos() Impédance complexe Z ej(+/2) = cos(+/2) + j sin(+/2) = -sin() + j cos() = j (cos() + j sin()) = j ej() = d/d ej() ej(-/2) = cos(-/2) + j sin(-/2) = sin() - j cos() = -j (cos() + j sin()) = -j ej() = 1/j ej() = ∫ ej() d PHY1501

ej(+/2) = j ej() = d/d ej() Impédance complexe Z ej(+/2) = j ej() = d/d ej() ej(-/2) = -j ej() = 1/j ej() = ej() d Condensateur: u(t) = 1/C ∫ i(t) dt = 1/C ∫ Î ejt dt = 1/jC Î ejt = 1/jC i(t) Inductance: u(t) = L di(t)/dt = L d/dt Î ejt = jL Î ejt = jL i(t) PHY1501

u(t) = R i(t) = R Î ejt Z = R Impédance complexe Z Z = impédance complexe Condensateur: u(t) = 1/jC i(t) Z = 1/jC Inductance: u(t) = jL i(t) Z = jL Résistance u(t) = R i(t) = R Î ejt Z = R PHY1501

Ztotal = Z1 + Z2 1/Ztotal = 1/Z1 + 1/Z2 Impédance complexe Z série parallèle Ztotal = Z1 + Z2 1/Ztotal = 1/Z1 + 1/Z2 R R1+R2 = Rtotal 1/R1+1/R2= 1/Rtotal L jL1 + jL2 1/jL1 + 1/jL2 = j (L1 + L2) =1/j (1/L1 + 1/L2) = j Ltotal = 1/jLtotal C 1/jC1 + 1/jC2 jC1 + jC2 = 1/j (1/C1 + 1/C2) = j (C1 + C2) = 1/jCtotal = jCtotal PHY1501

Impédance complexe ZL d’une inductance réelle ZL = RL + j L |ZL| = RL2 + (L)2 tan ()= = ZL = |ZL| ej L Im(ZL) R Re(ZL) PHY1501

Le circuit LRC en série ic(t) = uc(t) / Z i(t) = Re{ic}= Re{uc(t)/Z} u(t) = E cos(t) uc(t) = E ejt Série: Ztotal = Zc+ZR+ZL = 1/jC + R + jL = R + j(L-1/C) = |Z| ej avec |Z| = (R2 + Z02)1/2 Z0 = L – 1/C  = arctan(Z0/R) ic(t) = uc(t)/Ztotal = E/|Z| ejt e-j = E/(R2+Z02)1/2 ej(t-) i(t) = Re{ic(t)} = E/(R2+Z02)1/2 cos(t-) PHY1501

Impédance – déphasage résonance 0=1/(LC)1/2 résonance 0=1/(LC)1/2 PHY1501

Puissance PHY1501

Puissance complèxe puissance réelle puissance imaginaire PHY1501

Puissance PHY1501

Puissance PHY1501

Les boîtes noires Le filtre passe-bas Ue=Ûe cos(t) = Ûe ejt Us=Ûs ej(t+) A=Us/Ue = ?  = ? PHY1501

Le filtre passe-bas PHY1501

Le filtre passe-haut Ue=Ûe cos(t) = Ûe ejt Us=Ûs ej(t+) A=Us/Ue = ?  = ? PHY1501

Le filtre passe-haut PHY1501

Voltages dans une circuit LRC PHY1501

LRC filtre PHY1501

LRC filtre PHY1501

Le filtre passe-bande Ue=Ûe cos(t) = Ûe ejt Us=Ûs ej(t+) A=Us/Ue = ?  = ? PHY1501

Le filtre passe-bande PHY1501