Ensemble de règles pour énumérer les états 1 ) Bosons  statistique de Bose-Einstein  les particules sont indiscernables  aucune contrainte sur le nombre de particules par état 2 ) Fermions  statistique de Fermi-Dirac  les particules sont indiscernables  le nombre de particules par état est 0 ou 1 3 ) Classique  statistique de Maxwell-Boltzmann  les particules sont discernables  aucune contrainte sur le nombre de particules par état

(le nombre d’états disponibles pour le système diminue) Exemple 2 particules : A et B 3 états : 1, 2 et 3 9 états distincts discernables (A ≠ B) (le nombre d’états disponibles pour le système diminue) Plus restrictif 6 états distincts indiscernables (A = B) 3 états distincts

Probabilité que 2 particules soient… Exemple 2 particules : A et B 3 états : 1, 2 et 3 même état 3 1 = = état différent 6 2 FD < MB < BE 3 = = 1 répulsion statistique attraction statistique 3 =

Formulation statistique du problème N particules identiques (discernables ou non) V, T On néglige toujours les interactions (gaz idéal) nr : nombre de particules dans l’état quantique r d’énergie εr

Formulation statistique du problème Ex: 3 particules, 4 états r Nombre moyen de particules dans l’état quantique s (ensemble canonique) : état quantique du gaz dans son ensemble

Nous appelons également cette quantité le nombre d’occupation somme restreinte qui exclut l’état s 

Nous appelons également cette quantité le nombre d’occupation ne s’annulent pas ! ns = 0 dépend de l’état ‘s’ exclu de la sommation ns = 1

Statistique de photons (cas le plus simple) émet des photons N ≠ cte Paroi chauffée absorbe des photons Photon : boson de masse nulle (spin = 1) Aucune restriction sur le nombre de photons  Statistique de photons  cas particulier de la statistique de Bose-Einstein Bose (1920) Einstein (1925)  masse non-nulle

n1, n2, etc. prennent toutes les valeurs de nr = 0, 1, 2, … pour Nombre d’occupation (nombre moyen de particules dans l’état quantique s) Cette somme n’est plus restreinte à N  n1, n2, etc. prennent toutes les valeurs de nr = 0, 1, 2, … pour chaque valeur de r, peu importe le ns en dehors de la sommation Statistique de photons

Distribution de Planck On peut aussi récrire : suite géométrique Distribution de Planck Nombre moyen de photons dans l’état s d’énergie εs Max Planck - 1900 (empiriquement)

Fonction de partition (aucune restriction) 

Statistique de Fermi-Dirac ns = 0 ou 1 Différent des photons car le nombre de particules est fixé à N Énumération des états possibles (contrainte) n1 = pondération Revenons à la définition : ns = 0 ou 1 pour les fermions somme restreinte sur tous les autres états Énumération des états possibles ns = 0, 1, 2, 3

Statistique de Fermi-Dirac Différent des photons car le nombre de particules est fixé à N (contrainte) Revenons à la définition : N – 2 particules distribuées sur tous les états, excluant l’état s (impossible pour les fermions) N particules distribuées sur tous les états, excluant l’état s N – 1 particules distribuées sur tous les états, excluant l’état s

Fermions → Si (Taylor) Bosons → ns = 0 ou 1 on cherche à relier ces 2 qtés Si (Taylor) Bosons →

représente une somme sur plusieurs états, Comme représente une somme sur plusieurs états, ne dépendra pas beaucoup de quel état « s » est exclu de la sommation :   (i.e. somme non-restreinte) Paramètre de dégénérescence

 Donc… Distribution de Fermi-Dirac Nombre moyen de particules dans l’état s d’énergie εs 1) Si εs >>, ns → 0 2) 0 < exp < ∞   3) α est déterminé par

= Fonction de partition Beaucoup plus compliqué que dans le cas de la statistique de photons… Il faut passer ici par la fonction de grande partition (PHY 3214 et section 9.6 de Reif) : =

Statistique de Bose-Einstein Vu : Bosons → Avec → Statistique de photons Distribution de Planck

Nombre moyen de particules dans l’état s d’énergie εs Distribution de Bose-Einstein Nombre moyen de particules dans l’état s d’énergie εs Distribution de Fermi-Dirac Distribution de Planck (Photons: bosons avec α = 0) Paramètre de dégénérescence α déterminé par Fonction de partition + pour Fermi-Dirac

Statistique de Maxwell-Boltzmann Ici nous considérons le cas classique où les particules sont discernables Fonction de partition Illégal en mécanique quantique Ex : N = 4 particules (A, B, C, D) 3 états n1 n2 n3 -------------- 1 2 1 A BC D A BD C A CD B B . . . . . C . . D . . un état R en particulier 12 états distincts  permutations

Statistique de Maxwell-Boltzmann Ici nous considérons le cas classique où les particules sont discernables Fonction de partition Formule du binôme généralisé :

Statistique de Maxwell-Boltzmann Ici nous considérons le cas classique où les particules sont discernables Fonction de partition  Distribution de Maxwell-Boltzmann Nombre moyen de particules dans l’état s d’énergie εs ( distribution canonique ! )

Statistiques quantiques dans la limite classique Résumons … Nombre d’occupation + Fermi-Dirac – Bose-Einstein Fonction de partition

α est déterminé par la contrainte : Signification physique du paramètre de dégénérescence α α est déterminé par la contrainte : On peut aussi obtenir sa valeur en passant pas l’énergie libre de Helmholtz : Potentiel chimique Quiz : quel est le potentiel chimique des photons?

1) Soit N « (faible concentration) à une température T quelconque Grandeur de α ? 1) Densité faible 2) Température élevée Examinons 2 cas limites 1) Soit N « (faible concentration) à une température T quelconque il faut donc que nr « 1 pour tous les états r pour ne pas excéder N pour tous les états r

  « 2) Soit N quelconque quand T » Les termes qui contribuent à cette somme (avec α fixe) sont ceux pour lesquels εr « α … …car pour εr » α , → 0 Si  → 0 (i.e. T »), de plus en plus de termes contribuent à . Pour éviter que , α doit augmenter pour que chaque terme demeure petit : > pour tous les états r

En résumé… α » Concentration faible Température élevée pour tous les états r α » pour tous les états r  c’est la limite classique

On retrouve la distribution Dans la limite classique : X On retrouve la distribution de Maxwell-Boltzmann BE FD Limite classique : (α >>) MB

Nombre moyen de particules dans l’état s d’énergie εs Paramètre de dégénérescence

Pour α >> FD → MB (gaz non-dégénéré) Entre 0 et 1 (Pauli) Pour α << 0 ns → 1 (gaz dégénéré) Valeurs de α < 0 ou > 0

Pour α+βεs = 0, ns → ∞ (gaz dégénéré) Pour α >> BE → MB (gaz non-dégénéré) Valeurs de α > 0 (sinon ns < 0)

ns (BE) > ns (MB) (attraction statistique) Intermédiaire entre FD et BE MB commence à faire défaut ici... ns (FD) < ns (MB) (répulsion statistique) Valeurs de α < 0 ou > 0 comme pour FD

Limite classique

Z dans la limite classique ln (1 + x) ~ x – x2/2 + … « 1 (limite classique) nombre de permutations possibles (N particules identiques) Statistiques quantiques  aucun paradoxe

Note En mécanique quantique, on associe une longueur d’onde à tout objet : Longueur d’onde de de Broglie On peut montrer que si d >> λ  limite classique (problème 9.5) distance interparticule 1) Si α >> d d non-dégénéré λ 2) Si α << d ns → 1 (FD) dégénéré ns → ∞ (BE)

Condensation de Bose-Einstein Pour α+βεs = 0, ns → ∞ (gaz dégénéré)

Le condensat de Bose-Einstein 50 nK 200 nK Prix Nobel 2001 400 nK Refroidissement par évaporation