Un modèle bifluide pour les écoulements diphasiques à interface libre G. Chanteperdrix J.P. Vila P. Villedieu

Mouvements provoqués par les accélérations de la fusée CONTEXTE DE L ’ETUDE Comportement des fluides dans les réservoirs de véhicules spatiaux Phases accélérées : phénomènes inertiels dominants. Phases balistiques : phénomènes capillaires et thermiques dominants. LIQUIDE GAZ GAZ Chauffage par le rayonnement solaire Mouvements provoqués par les accélérations de la fusée Remontée du liquide le long des parois par capillarité LIQUIDE Phase accélérée Phase balistique

Plan de l’exposé 1. MODELISATION 2. PROPRIETES DU MODELE 3. DISCRETISATION 4. EXEMPLES D ’APPLICATION 5. PERSPECTIVES ET TRAVAUX EN COURS

Hypothèses de modélisation 1. MODELISATION Hypothèses de modélisation Echelle de longueur interface = échelle macroscopique => écoulement à phases séparées => utilisation d’un seul champ de vitesse. (notion de «glissement entre phases » non pertinente pour ce type d ’application) Modèle à deux fluides : présence supposée des deux fluides en tout point de l’espace => zone de mélange numérique => interface « diffuse » non repérée explicitement. Ecoulement quasi incompressible => faibles variations de température => couplage faible entre effets dynamiques et effets thermiques => possibilité d ’utiliser une loi de pression de la forme p(r) pour chaque fluide.

Equations de la dynamique 1. MODELISATION Equations de la dynamique Conservation masse fluide 1 Conservation masse fluide 2 Bilan quantité de mouvement viscosité gravité inertie capillaire Fractions volumiques

Modèle retenu : fermeture dite isobare 1. MODELISATION Loi de pression du « mélange » 2 contraintes doivent être vérifiées : Consistance : loi de pression du mélange = loi de pression du fluide i si la fraction massique du fluide i tend vers 1. Stabilité : il doit exister une entropie au sens de Lax pour le système du premier ordre associé au modèle (D). Modèle retenu : fermeture dite isobare [voir par exemple Abgrall-Saurel (JCP, 2000) ou Coquel et al (CRAS, 2002)]

Forces capillaires 1. MODELISATION Modèle à interface diffuse => nécessité d’une formulation volumique des forces de tension de surface <=> procédé de régularisation. Formulation exacte: Courbure Force tangentielle => effet Marangoni Formulation volumique : méthode CSF de Brackbill (JCP, 1992): (effet Marangoni non pris en compte) Forme conservative Or on montre facilement que :

Forces capillaires 1. MODELISATION On pose donc : Force normale à I « Tenseur capillaire » Force tangente à I Soit Force capillaire agissant sur un volume de contrôle V : Force tangentielle à l’interface Sur une paroi, on pose : Angle de contact Paroi / Interface Utilisation possible d’un modèle d’angle dynamique

Forces de viscosité 1. MODELISATION Ecoulement quasi incompressible <=> On peut donc poser : Il est nécessaire de définir une « viscosité dynamique de mélange ». Un choix consistant consiste à prendre : Un autre choix possible est : A notre connaissance, il n ’existe pas d ’argument clair en faveur d’un choix ou d’un autre.

(modèle de type Boussinesq) 1. MODELISATION Thermique (modèle de type Boussinesq) Terme de couplage Qté de mouvement Ecoulement à faible vitesse => On pose : T ’ = T - T0 Equation de bilan d’enthalpie pour une particule fluide Enthalpie Wf

Thermique 1. MODELISATION Il est nécessaire de se donner un modèle pour la chaleur spécifique du « mélange » diphasique. Nous avons retenu le modèle suivant : Remarque : les phénomènes de changement de phase (cavitation, évaporation) ne sont pas pris en compte dans ce modèle. (voir par exemple les travaux de P. Helluy et al).

Estimé par des formules 1. MODELISATION Loi d ’état des fluides Ecoulement quasi incompressible => inutile d’utiliser la loi d ’état exacte pour chacun des deux fluides pour obtenir des champs de vitesse et de pression corrects. Nous avons pris des lois affines de la forme : Avec Ci << vitesse réelle du son dans le fluide i Ta = L/ci << T Estimé par des formules approchées Critère de choix pour ci:

« Modèle augmenté » 1. MODELISATION (Technique de relaxation) Pour des raisons numériques (voir partie 3), il es préférable de remplacer le modèle (D) par le modèle (De) : (De) peut être vu comme une approximation du modèle (D). (Théorie des systèmes hyperboliques relaxés)

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2. PROPRIETES Cas du modèle augmenté Proposition 1 : Le modèle (De) est hyperbolique. Les valeurs propres associées ont pour expression avec : Proposition 2 : Le couple (S*, F*) défini par est un couple « entropie - flux » au sens de Lax pour le modèle (D). Energie libre du fluide i Remarque: Inégalité de Lax <=> <=> second principe

Cas du modèle à l ’équilibre 2. PROPRIETES Cas du modèle à l ’équilibre Proposition 3 : Le modèle (D) est hyperbolique. Les valeurs propres associées ont pour expression avec : Proposition 4 : Le couple (S*, F*) défini par est un couple « entropie - flux » au sens de Lax pour le modèle (De). Energie libre du fluide i

2. PROPRIETES Commentaires La condition dite subcaractéristique est satisfaite : c > c* L’entropie du modèle (D) vérifie : S*(W) = S(W*). On a la relation : => a* minimise S à fixés => justification a-posteriori du modèle (D). Possibilité d’étendre ces résultats au cas ou la tension de surface est prise en compte dans le bilan d ’énergie libre (collaboration avec D. Jamet, cf thèse de G. Chanteperdrix) => nouvelle expression de S et nouveau modèle d ’équilibre, prenant en compte les effets capillaires dans la définition de a* (défini dans ce cas par une edp elliptique non linéaire). Extension possible à N fluides, y compris effets capillaires (cf thèse de G. Chanteperdrix).

2. PROPRIETES Problème de Riemann (1) Proposition 5 : Le problème de Riemann associé au système possède une solution unique pour toute donnée initiale physiquement admissible.

2. PROPRIETES Problème de Riemann (2)

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3. DISCRETISATION principe général Méthode basée sur le principe des « schémas de relaxation » : la discrétisation est appliquée formellement au modèle augmenté avec e << 1. Discrétisation spatiale: méthode de volumes finis d’ordre 2 pour la discrétisation des termes de transport, avec un schéma de Godunov pour la partie hyperbolique du système. Les termes capillaires sont traités comme des termes source. Discrétisation temporelle: schéma explicite de type RK2 combiné avec une méthode de pas fractionnaires pour le traitement de la relaxation.

3. DISCRETISATION Forme générale du schéma Flux associé à la partie hyperbolique du système (schéma de Godunov + méthode MUSCL) Flux des contraintes visqueuses puis Termes source y compris effets capillaires Opérateur de « relaxation  » <=> projection

3. DISCRETISATION Schéma pour les termes capillaires On doit choisir une formulation discrète pour: On impose à la discrétisation choisie de respecter la contrainte : Un choix naturel est donc : Approximation de au centre de la face e = - cos(Qp) si paroi

3. DISCRETISATION Schéma pour les termes de viscosité On impose que le schéma soit exact pour certaines solutions stationnaires particulières, dans le cas d’un maillage cartésien, aligné avec la direction de l’interface entre les deux fluides : 1) Ecoulement de Couette plan (diphasique) 2) Ecoulement de Couette - Marangoni plan (diphasique) Viscosité moyenne sur la face e Condition 1) + discrétisation naturelle pour la dérivée normale de la vitesse => choix de la moyenne harmonique des viscosités au centre des cellules adjaçantes. Condition 2) => ajout d’un terme correctif supplémentaire (voir thèse de G. chanteperdrix). Remarque : on utilise un schéma analogue pour la discrétisation du flux de chaleur.

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4. EXEMPLES D’APPLICATIONS Test 1: Ballottement linéaire (résultats expérimentaux du ZARM)

Ballottement linéaire Maillage 40 X 80 h/L = 1/40

Ballottement linéaire (résultats expérimentaux du ZARM)

Ballottement linéaire (résultats expérimentaux du ZARM)

4. EXEMPLES D’APPLICATIONS Test 2 :Ballottement non linéaire (résultats expérimentaux du ZARM)

Ballottement non linéaire (résultats expérimentaux du ZARM) Maillage 75 X 150 h = L/75

Ballottement non linéaire (résultats expérimentaux du ZARM)

Ballottement non linéaire (résultats expérimentaux du ZARM) C1=3.4 m/s C2 = 18 m/s

Ballottement non linéaire (résultats expérimentaux du ZARM) C1=3.4 m/s C2 = 18 m/s

4. EXEMPLES D’APPLICATIONS Test 4 : Réorientation de l’interface après une réduction brutale de la gravité (résultats expérimentaux du ZARM) GAZ réservoir circulaire effets visqueux pris en compte pas d ’effet thermique Modèle d ’angle de contact dynamique LIQUIDE

Réorientation de l’interface après une réduction brutale de la gravité (Sous cas 1: grand angle de contact) Hysteresis non reproduite Maillage 20 X 60 non uniforme

Modèle d’angle dynamique Réorientation de l’interface après une réduction brutale de la gravité (Sous cas 1: grand angle de contact) Modèle d’angle dynamique avec Hysteresis

Réorientation de l’interface après une réduction brutale de la gravité (Sous cas 2: faible angle de contact) Maillage 30 X 62 non uniforme

Réorientation de l’interface après une réduction brutale de la gravité (Sous cas 2: faible angle de contact) Maillage 60 X 124 non uniforme

Test 5 : Oscillations linéaires d’une bulle au repos 4. EXEMPLES D’APPLICATIONS Test 5 : Oscillations linéaires d’une bulle au repos Champ de pression au repos Relation de Laplace vérifiée

Oscillations linéaires d’une bulle au repos 4. EXEMPLES D’APPLICATIONS Oscillations linéaires d’une bulle au repos Evolution du rayon de la bulle en fonction du temps (forme initiale de la bulle = ellipsoïde) Excellent accord sur la valeur de la fréquence fondamentale Maillage 40 X 80 uniforme

4. EXEMPLES D’APPLICATIONS Test 6 : Remontée d ’une bulle d’air dans une colonne d’eau initialement au repos. Calcul 2D axi-symétrique, avec prise en compte des forces capillaires. Maillage 60 X 180. Très bon accord avec les données expérimentales pour la vitesse de remontée et la forme de la bulle.

Test 7: Formation d’un Geyser (Résultat expérimentaux du LEGI) 4. EXEMPLES D’APPLICATIONS Test 7: Formation d’un Geyser (Résultat expérimentaux du LEGI)

Formation d’un Geyser (Résultats expérimentaux du LEGI) 4. EXEMPLES D’APPLICATIONS Formation d’un Geyser (Résultats expérimentaux du LEGI)

Formation d’un Geyser (Résultats expérimentaux du LEGI) 4. EXEMPLES D’APPLICATIONS Formation d’un Geyser (Résultats expérimentaux du LEGI)

Plan de l’exposé 1. MODELISATION 2. PROPRIETES DU MODELE 3. DISCRETISATION 4. EXEMPLES D ’APPLICATION 5. PERSPECTIVES ET TRAVAUX EN COURS

PERPECTIVES, TRAVAUX EN COURS développement d ’un code 3D sur maillage non structuré. couplage fluide / solide. Poursuite de la validation du couplage avec les effets thermiques (voir thèse de G. Chanteperdrix pour les premières applications : convection naturelle, écoulement de Couette - Marangoni) Perspectives : Application du modèle à la simulation directe d’interaction goutte / paroi (possibilité de comparer à des données expérimentales). Changement de phase (modèle de cavitation, d’évaporation) => application à la simulation directe d ’interaction goutte / paroi chaude.