Le modèle à générations imbriquées Etienne LEHMANN Amphithéâtre 3 Le modèle à générations imbriquées Etienne LEHMANN Professeurs des Universités CREST – Laboratoire de Macroéconomie etienne.lehmann@ensae.fr http://www.crest.fr/pageperso/lehmann/lehmann.htm

Dans le modèle de croissance néo-classique (séance 1) Les agents ont un horizon de vie infini Il n’y a pas d’imperfection de marché (externalités, concurrence imparfaite, … (contrairement aux modèles de croissance endogène) L’équilibre décentralisé de marché et l’optimum social coïncident La meilleure allocation possible des revenus entre consommation et épargne et obtenue en « laissant faire » les agents. Ici, remise en cause de l’hypothèse d’horizon de vie infini des agents A chaque date cohabitent des agents d’âge différents L’allocation consommation /épargne demeure-t-elle efficace ? Conserve-t-on l’équivalence Ricardienne ? Financement des retraites par répartition ou par capitalisation ?

Plan de la séance Le modèle à générations imbriquées (OLG) avec accumulation de capital (Peter Diamond American Economic Review 1965) Le modèle OLG avec altruisme intergénérationnel Retraite par répartition ou par capitalisation ? Le modèle de jeunesse perpétuelle

Le modèle de Diamond (1965) Modèle en temps discret (1 période = +/- 30 ans) Chaque agent vit deux périodes. Coexistence à chaque date de « jeunes » et de « vieux » (Overlapping Generations Model). Les jeunes travaillent, répartissent leur salaire wt entre consommation présente ct et épargne st avec ct + st = wt Les vieux reçoivent les intérêts de leur épargne et la consomment dt avec dt = (1+rt)st-1 Fonction d’utilité U(ct ; dt+1) avec U’i > 0 et U strictement concave Marché du travail concurrentiel, offre de travail inélastique égale au nombre de jeunes Lt = L0 (1+n)t Rendements constants Yt = F(Kt ; Lt) avec F’i > 0 > F’’ii Dépréciation totale du capital Kt+1 = st Lt

Le modèle de Diamond (1965) Programme des entreprises (1+rt) Kt = Max F(Kt ; Lt) – wt Lt d’où : wt = F’L(Kt ; Lt) Théorème d’Euler : F(Kt ; Lt) – wt Lt = F(Kt ; Lt) – F’L Lt = F’K Kt d’où : 1+rt = F’K(Kt ; Lt) Posons f(x)≡F(x,1), et kt = Kt / Lt Alors Yt / Lt = f(kt), 1+rt = f’(kt) et wt = f(kt) – kt f’(kt)

Le modèle de Diamond (1965) Equilibre : Firmes: F(Kt ; Lt) = wt Lt + (1+rt) Kt Contrainte budgétaire des jeunes : ct + st = wt et Kt+1 = Lt st => wt Lt = Lt ct + Kt+1 Contrainte budgétaire des vieux : (1+rt)st-1 = dt et Kt = Lt-1 st-1 => (1+rt) Kt = Lt-1 dt Equilibre sur le marché des biens F(Kt ; Lt) = Lt ct + Lt-1 dt + Kt+1 Comme Lt+1 = (1+n)Lt

Le modèle de Diamond (1965) : Programme des jeunes Maximisation d’une fonction continue strictement concave sur un espace compact convexe : Un maximum existe et est unique Les conditions nécessaires sont également suffisantes et déterminent entièrement l’optimum des agents Condition du premier ordre (Keynes-Ramsey intragénérationnel)

Le modèle de Diamond (1965) Définition : Etant donné k0, un équilibre est une séquence {ct , dt , kt+1}t=0,1,… vérifiant Equilibre emploi ressources Allocation intra-générationnelle des ressources Allocation inter-générationnelle des ressources

Le modèle de Diamond (1965) : Programme des jeunes La condition du premier ordre (Keynes-Ramsey intragénérationnel) Définit implicitement les fonctions de comportement

Le modèle de Diamond (1965) Equations d’équilibre La dynamique d’évolution du capital (kt+1 en fonction de kt) est entièrement décrite (implicitement) par kt+1 = (taux d’épargne des jeunes) × (part des salaires = revenus des jeunes dans la production) × production par tête / (1+n) Les deux premiers termes peuvent évoluer de manière ambigüe avec k

Le modèle de Diamond (1965) Pour étudier S , fonction d’utilité additivement séparable Avec u’(.) > 0 > u’’ et v’ > 0 > v’’ Le programme du consommateur donne : Qui détermine alors les propriétés de la fonction S[. ; . ]

Le modèle de Diamond (1965) (1+rt+1) v’(dt+1) u’(ct) st st = S[wt ; 1+rt+1] Quand w augmente, s augmente … S’w > 0 … et donc dt+1 augmente aussi avec wt … Mais effet ambigu de rt+1 …

Le modèle de Diamond (1965) De la même manière ct augmente avec wt u’(ct) (1+rt+1) v’(dt+1) ct = C[wt ; 1+rt+1] ct

Le modèle de Diamond (1965) ct dt+1 et st augmentent avec wt dès que ct et dt+1 sont des biens normaux Aussi 0 < S’w < 1 Effet de 1+rt+1 est en général ambigu. Hausse de rt+1 augmente le prix de la consommation présente par rapport à la consommation future (effet substitution) : baisse de ct, hausse de st et de dt+1 Hausse de rt+1 augmente la frontière des possibles (effet revenu) : hausse de ct, st et de dt+1 Effet ambigu sur ct et sur st. Hausse non ambiguë de dt+1

Le modèle de Diamond (1965) : Equilibre du marché du capital à la date t Tant que les effets revenus ne sont pas trop importants, l’épargne augmente ou ne « diminue pas trop » avec r et le marché du capital admet un équilibre temporaire unique Dans ce cas, une hausse de kt => augmente wt => st et kt+1 augmentent (1+n)kt+1 = S[wt ; 1+rt+1] kt+1 rt+1 f’(kt+1) = 1+rt+1

Le modèle de Diamond (1965) Si effets revenus sont très forts, l’équation … peut même admettre plusieurs solutions en kt+1 étant donné kt … Ou admettre une dynamique monotone, mais avec plusieurs états stationnaires, certains stables, d’autre non. kt+1 (1+n)kt+1 = kt kt

Le modèle de Diamond (1965) Cas particulier : si élasticité de substitution unitaire u(c)=Log(c), v(d)=b Log(d) Les conditions d’optimalité donnent : Taux d’épargne constant : effets revenu et effet substitution se compensent exactement Une hausse du taux d’escompte intragénérationnel b réduit le taux d’épargne

Le modèle de Diamond (1965) Cas particulier (référence) On a D’où : Unique état stationnaire non trivial, qui est stable …

Le modèle de Diamond (1965) Optimum social. Soit r le taux d’escompte social intergénérationnel Le cas utilitariste correspond à 1/(1+r) = 1+n, soit r < 0 Le cas utilitariste « par tête » correspond à r = 0 Pour que le problème soit bien posé, on pose dorénavant r > 0. (Utilitarisme par tête avec préférence pour les générations présentes) L’optimum social maximise W en ct, dt et kt+1 pour t = 0, 1, …, étant donnés c-1 et k0, sous la contrainte emploi-ressources

Le modèle de Diamond (1965) On utilise la contrainte emploi ressources pour éliminer ct D’où les cpos

Le modèle de Diamond (1965) A partir des cpo L’allocation intra-générationnelle des ressources est décrite par la même équation à l’optimum et à l’équilibre L’allocation inter-générationnelle des ressources est décrite par une « règle d’or modifiée » (Keynes-Ramsey intergénérationnel) dépendant du facteur d’escompte intergénérationnel dans l’objectif social r

Le modèle de Diamond (1965) A moins d’un « coup de chance » (condition sur r), l’équilibre concurrentiel et l’optimum diffèrent par la condition d’allocation intergénérationnelle des ressources : L’allocation d’équilibre peut très bien ne pas être Pareto- efficace Le problème vient de l’allocation des ressources entre les générations

Le modèle de Diamond (1965) Prenons une allocation d’équilibre. A quelles conditions redistribuer à chaque période la consommation des jeunes vers les vieux de la génération précédente, sans changer la dynamique du capital améliore le bien-être de toutes les générations ? i.e. pour t=0, 1, … Dct=Dc < 0 Ddt=-(1+n)Dc > 0 et Dkt = 0 Pour la génération née en -1, Dc0 < 0 est toujours bénéfique car elle a déjà consommée c-1 à la période précédente. Pour la génération née en t

Le modèle de Diamond (1965) Redistribuer la consommation des jeunes vers les vieux de la même période a un rendement social n Laisser les jeunes réallouer leur richesse d’une période à l’autre a un rendement rt+1 Si rt+1 < n il y a suraccumulation de capital. On améliore alors le bien-être de toutes les générations, y compris la première (née en -1) par Dct < 0 < Ddt L’allocation d’équilibre est alors dynamiquement (Pareto) inefficace En revanche, en cas de sousaccumulation de capital, il faudrait diminuer la consommation des vieux et augmenter la consommation des jeunes, mais alors, la génération née en -1 perdrait.

Le modèle de Diamond (1965) Exemple, f(k) = ka et U(ct;dt) = Log(ct) + b Log(dt+1) Aussi à l’état stationnaire,

Le modèle de Diamond (1965) Aussi à l’état stationnaire, le k optimal dépend de r mais pas de b. Si L’allocation d’équilibre se traduit par de la suraccumulation de capital. On peut alors augmenter le bien-être de toutes les générations en réallouant la consommation des jeunes vers les vieux de la même période (amélioration Paretienne).

Le modèle de Diamond (1965) L’équivalence Ricardienne : est-ce que la date à laquelle on effectue un prélèvement forfaitaire compte? Non dans le modèle à horizon infini, car seul compte la contrainte budgétaire intertemporelle des agents qui n’est pas affecté par le « timing » des prélèvements Oui dans le modèle à générations imbriqués car cela affecte la contrainte budgétaire d’agents de générations différentes Exemple : hausse de Tt+k et baisse de Tt+k+1 ne change pas la CBI du ménage de génération k mais augmente le revenu des jeunes en k+1 (et donc leur épargne) et diminue anticipée pour les jeunes en k-1

Le modèle de Diamond (1965) La remise en cause de la seule hypothèse d’agents vivant infiniment Peut potentiellement compliquer la dynamique d’équilibre (multiplicité et instabilité d’état stationnaires, voire indétermination si effets revenus sont très élevés). Laissez faire les agents peut conduire l’économie à un équilibre de suraccumulation du capital qui est Pareto inefficace. Les générations futures n’ont pas le moyen de compenser les « vieux » de la génération présente en cas de suraccumumation de capital Donne un rôle à l’état en terme de taxation du capital pour corriger cette inefficacité. Remet en cause l’équivalence Ricardienne La date de remboursement des emprunts est à présent déterminante.

Générations imbriquées et altruisme intergénérationnel On suppose dorénavant que les individus tiennent également compte du bien-être de leur descendants, en plus de leur utilité de cycle de vie. On suppose ainsi que la génération née en t maximise l’utilité dynastique Wt définie de manière récursive à partir de l’utilité intragénérationnel de cycle de vie U(ct , dt+1) et du taux d’altruisme intergénérationnel b  ]0,1[ selon : D’où On autorise un ménage de la génération t à un faire un don xt+1 (leg, héritage donation,…) aux jeunes de la génération suivante … mais « nul n’est tenu d’accepter un héritage », d’où la contrainte xt+1 ≥ 0

Générations imbriquées et altruisme intergénérationnel La génération t résout: Soit

Générations imbriquées et altruisme intergénérationnel Soit les cpos: Compte tenu de la cpo des firmes 1+rt+1 = f’(kt+1) et de la condition d’enveloppe

Générations imbriquées et altruisme intergénérationnel On retrouve l’allocation intragénérationnel optimale des ressources L’allocation intergénérationnel dépend si la contrainte de positivité xt+1 ≥ 0 du leg est ou non mordante. Si elle ne l’est pas, on retrouve la condition d’allocation intergénérationnelle optimale des ressources (avec b = 1/(1+r)) Sinon, on retrouve la condition d’allocation intergénérationnel des ressources d’équilibre du modèle de Diamond

Générations imbriquées et altruisme intergénérationnel En résumé, tant que la contrainte de positivité des legs n’est pas contraignante, l’économie réalise une allocation optimale On retrouve les propriétés habituelles (unicité d’un état stationnaire non trivial, qui est convergent. « Inutilité » de la politique économique, Equivalence Ricardienne, etc…) En revanche, dès que cette contrainte est mordante, on retrouve une dynamique analogue à celle de Diamond, avec les mêmes problèmes. Intuition : lorsque les agents sont suffisamment altruistes, ils adoptent le point de vue de la dynastie de leur descendants et se comportent comme un agent unique ayant un horizon de vie infini. Le fait de pouvoir léger à leur descendant leur donne un instrument supplémentaire pour réallouer les ressources entre les générations Mais en cas de suraccumulation du capital à l’équilibre sans leg, il faudrait des legs négatifs pour réallouer la consommation…

Retraite On considère l’introduction d’un système de retraite A la date t les jeunes payent un prélèvement tt et les vieux reçoivent une « pension » pt Il y a deux systèmes de financement Le système de retraite par répartition (qui prédomine en France) fait payer les retraites des « vieux » de la génération t par les « jeunes » de la génération t+1 (Pay as you Go), i.e. Lt-1 pt = Lt tt Intuitivement, ce système est d’autant plus « efficace » que la croissance démographique est élevée (que le ratio actifs/ inactifs est élevé

Retraite Le système de retraite par capitalisation fait payer les retraites des « vieux » de la génération t par un prélèvement quand ils sont jeunes que l’on place sur les marchés financiers et que l’on ressert avec taux d’intérêt (fonds de pension). Lt-1 pt = Lt-1 (1+rt) tt-1 Intuitivement, le système par répartition est d’autant plus productif que le rendement du capital est élevé. En cas de sous-accumulation du capital, on a n < rt+1 et on s’attend à ce que la capitalisation domine la répartition En cas de sur-accumulation du capital on a n > rt+1 et on s’attend à ce que la la répartition domine la capitalisation La répartition peut-elle restaurer l’efficacité dynamique en cas de sous-accumulation ? Quid de l’effet sur l’accumulation du capital et du taux d’intérêt ?

Retraite Le système de retraite par capitalisation : on a pt = (1+rt)tt-1 et Kt+1 = Lt(st+tt) Programme des jeunes Soit Compte tenu de l’équilibre du système pt+1 = (1+rt+1)tt

Retraite Le système de retraite par capitalisation …laisse inchangée l’épargne totale st + tt On a éviction parfaite de l’épargne choisie st par l’épargne forcée tt La dynamique du capital reste inchangée. L’allocation des ressources est donc inchangée par l’introduction d’un système de retraite par capitalisation. … du moins, tant que la retraite n’est pas trop élevée. pose des problèmes en pratique: hétérogénéité des préférences intragénérationnel, insécurité des rendements, création de monopsones (fonds de pensions) sur le marché du capital, …

Retraite Le système de retraite par répartition On a pt = (1+n)tt Programme des jeunes Soit Compte tenu de l’équilibre du système pt+1 = (1+n)t

Retraite La condition du premier ordre … Définit implicitement l’effet sur l’épargne de la retraite Si rt+1 = n (règle d’or) éviction unitaire. Si Ucd’’ = 0 et rt+1 > n (sous accumulation) 0 < - Ds < - Dt Si Ucd’’ = 0 et rt+1 < n (sur accumulation) 0 < - Dt < - Ds

Retraite Aussi, la dynamique d’accumulation du capital se trouve ralentie kt+1 (1+n)kt+1 = kt S[wt;rt+1] kt L’introduction d’un retraite par répartition réduit l’intensité capitalistique des états stationnaires stables => Baisse de w, hausse de r

Retraite L’introduction d’une retraite par répartition Réalloue la consommation des jeunes vers les vieux de la période courante Diminue l’intensité capitalistique => r augmente, w diminue Si suraccumulation du capital r < n (et si Ucd’’=0), on a alors une amélioration Parétienne. Sinon, les vieux de la génération présente y gagnent, tous les autres y perdent. A contrario, supprimer ou réduire un système PAYG est toujours néfaste pour au moins une génération…

Le modèle de jeunesse perpétuelle Le modèle OLG présuppose qu’une période = 30 ans. Utile pour parler retraite, mais « quid » de questions et de politiques conjoncturelles? D’où le modèle de jeunesse perpétuelle de Yaari (1965) et Blanchard (1985). Temps continu indexé par t. Chaque individu meurt selon un processus de Poisson (d’où « jeunesse perpétuelle) de paramètre p  ]0,+∞[ A chaque instant nait une nouvelle cohorte de taille p La cohorte des agents d’âge a a une taille égale à p Exp[- p a] La population totale a une taille constante unitaire

Le modèle de jeunesse perpétuelle Quid de la richesse d’un individu lors de sa mort? Blanchard introduit une assurance vie « à l’envers ». Les individus vivant peuvent recevoir un flux de z unités de biens contre la promesse de laisser une unité de bien à leur mort. Concurrence parfaite sur l’assurance => Profit nul => z = p Le caractère Poissonien du processus de décès implique que le comportement des individus est indépendant de leur âge. Ils résolvent (avec wt = wt – Tt)

Le modèle de jeunesse perpétuelle D’où la condition de Keynes-Ramsey En l’absence d’assurance, on aurait eu: Pour boucler simplement le modèle, on prend u(c) = Log(c), si bien que

Le modèle de jeunesse perpétuelle Aussi, pour un individu né en s, sa consommation en t vérifie En intégrant la contrainte budgétaire du ménage d’où:

Le modèle de jeunesse perpétuelle Or quand t tend vers + ∞, le terme de gauche doit tend vers zéro (condition de non-Ponzi). Aussi : Tous les consommateurs consomment la même fraction r + p de leur revenu permanent actualisés Celui-ci est égal à la somme de leur richesse financière at et des revenus actualisé de leur travail dans le futur Aussi, au niveau agrégé

Le modèle de jeunesse perpétuelle Impact de C : Keynes-Ramsey habituel… Impact de A : tous le monde consomme une même fraction de son patrimoine plus un terme constant. Les jeunes ont relativement moins de patrimoine, mais ils l’accumulent plus vite et leur consommation croît donc plus vite. A plus élevé  moins de jeunes  C croît moins vite

Le modèle de jeunesse perpétuelle On a At = Kt et, rt=f’(kt) et l’équilibre emploi-ressources Aussi, la dynamique de l’économie est-elle décrite par

Le modèle de jeunesse perpétuelle Kt Ct C cst K cst

Le modèle de jeunesse perpétuelle Aussi, l’économie converge-t-elle vers un état stationnaire unique On retrouve les propriétés de régularité du modèle de Ramsey… … Mais le taux d’intérêt converge vers une valeur supérieure au taux d’escompte psychologique r … et donc supérieur à 0 (sous-accumulation de capital, efficacité dynamique Un allongement de la durée de la vie (baisse de p) fait augmenter K et w et baisser r à l’état stationnaire

Le modèle de jeunesse perpétuelle : rôle de la dette Introduction de la dette B, des dépenses publiques G et des taxes forfaitaires t La dette de l’état capte à présent une partie de la richesse financière des ménages. On a à présent At = Kt + Bt La dynamique de l’économie est alors décrite par :

Le modèle de jeunesse perpétuelle Kt Ct C cst K cst DG > 0 DB > 0

Le modèle de jeunesse perpétuelle : rôle de la dette L’état stationnaire est donné par Le stock de capital de l’état stationnaire est implicitement défini par H(K, B, G, p) = 0 où H est définie par

Le modèle de jeunesse perpétuelle : rôle de la dette On a Si G et B sont suffisamment petits, comme F’ < F/K, on a par continuité H’K < 0 Un pays plus endetté voit à l’état stationnaire sont stock de capital diminuer et son taux d’intérêt augmenter Si p = 0 (Ramsey), r est indépendant de la dette à l’état stationnaire