Ch 2 Grandeurs sinusoïdales Généralités 1.1 Définitions On appelle grandeur alternative sinusoïdale, une grandeur périodique dont la valeur instantanée est une fonction sinusoïdale du temps. Exemple : Soit la grandeur tension u u( t ) = Ûsin( ωt + θu ) = Ûsinα u(t) :valeur instantanée de u ( en V ) Û : valeur maximale de u ( en V ) α = ωt + θu : phase instantanée de u ( en radian ) θu : phase initiale ( à l’instant t = 0 ) de u ( en radian ) ω : pulsation de u ( en radian par seconde ).

● valeur moyenne de u : < u > = 0 V 1.2 Propriétés ● valeur moyenne de u : < u > = 0 V ● valeur efficace : U = Û = U ● périodes : - temporelle : T. - angulaire : 2π radians. ωT = 2π et ω = 2πf ; f étant la fréquence de u. 1.3 Représentation de Fresnel Y OA = sinα A M α 0 X

2. Études des circuits linéaires Vecteur de Fresnel : A toute fonction sinusoïdale du temps, on peut associer un vecteur : le vecteur de Fresnel. Exemple : u = U sin ( ωt + θu ) A la tension sinusoïdale u, on associe un vecteur de Fresnel dont le module est la valeur efficace U, faisant un angle θu avec un axe de référence des phases. U et θu sont les coordonnées polaires de . 2. Études des circuits linéaires 2.1 Fréquence Les courants et les tensions du circuit ont la même fréquence f donc la même pulsation ω. Ils sont donc fixes les uns par rapport aux autres au niveau de leur image vectorielle.

2.2 Loi des nœuds; loi des mailles ; loi d’Ohm Ces lois s’appliquent pour : - les valeurs instantanées; - les vecteurs de Fresnel associés 2.3 Différence de phases Soient deux tensions sinusoïdales u1 et u2. On leur associe les vecteurs de Fresnel et . u1 = U1√2 sin ( ωt + θ1 ) ; u2 = U2√2 sin ( ωt + θ2 ) = ( U1 ;θ1 ) ; = ( U2 ; θ2) ; il existe une différence de phases φ entre u1 et u2. ( , ) = φ = θ2 – θ1 φ θ2 θ1 O X ( Axe de référence des phases )

Si φ > 0 : u2 est en avance sur u1; Si φ < 0 : u2 est en retard sur u1; Si φ = 0 :les deux tensions sont en phase; Si φ = π : opposition de phase entre u1 et u2 ; Si φ = ± π/2 : les deux tensions sont en quadrature de phase. 2.4 Dipoles élémentaires u 2.4.1 Dipole linéaire i u = U√2 sin ( ωt + θu ) i = I√2 sin ( ωt + θi ) ; φ = θu - θi φ = θu - θi O X Loi d’Ohm : u = Z i U = Z I Z = Z ( en Ohm ) est l’impédance du dipole linéaire.

2.1.2 Résistance linéaire R i θ u O X U = R I θ = θu = θi φ = θu – θi = 0 Z = = R 2.1.3 Bobine parfaite φ i L θu θi u O X u =

Si i = I sin ( ωt + θi ) = ω I cos ( ωt + θi ) = ω I sin ( ωt + θi + π/2 ) u = L ω I sin ( ωt + θi + π/2 ) et u est de la forme : u = U sin ( ωt + θu ) En comparant les deux formes de u, on trouve : U = L ω I ; θu = θi + π/2 φ = θu - θi = + π/2 rad ZL = = L ω 2.1.4 Condensateur parfait C i = C i u

Si u = U sin ( ωt + θu ) = ω I cos ( ωt + θi ) i = C ω U sin ( ωt + θu + π/2 ) i est de la forme : i = I sin ( ωt + θi ). En comparant les deux formes de i, on a: I = Cω U θi = θu + π/2 φ = θu – θi = - π / 2 rad ZC = = φ θi θu O X

3. Association série de dipôles en régime sinusoïdale 3.1 Association résistance et bobine R L i uR uL u = uR + uL Si i = I sin ( ωt ) On travaille avec θi = 0 Rad. uR = R i = R I sin ( ωt ) O X uL = L = L ω I sin(ωt + π/2 ) + π/2 rad O X

Si u = uR + uL = + θu = φ O X Z = = tan φ = 3.2 Association résistance et condensateur Si i = I sin ( ωt ) uR = R I sin (ωt ) et uC = sin (ωt - π/2 )

O X O X Construction de Fresnel O θu = φ X U2 = UR2 + UC2 U2 = ( R2 I2 + ) U2 = ( R2 + ) I2 U = Z = = tan φ = - = - = -

3.3 Association RLC R L C i uR uL uC u u = uR + uL + uC tan φ = = Si UL > UC, on a : UL – UC > 0 donc tan φ > 0 Si UL < UC, on a : UL – UC < 0 donc tan φ < 0 Si UL = UC, on a : UL – UC = 0 donc tan φ = 0 ; donc u et i sont en phase. On a une résonance série du circuit RLC. U2 = UR – ( UL – UC )2 = R2I2 + ( Lω – )2 I2

4. Puissance en régime sinusoïdale Zéq = = A la résonance, - = 0 et Zéq = R Comme Lω = , LCω02 = 1 et ω02 = ce qui donne: ω0 = f0 = = 4. Puissance en régime sinusoïdale 4.1 Définitions u i D La puissance instantanée consommée par le dipôle D est de la forme : p = u i

P est la puissance active consommée par le dipôle D. Si i = I sin (ωt ) et u = U sin ( ωt + φ ) p = u i = U sin ( ωt + φ ) x I sin (ωt ) = 2 U I sin ( ωt + φ ) sin ( ωt) p = U I cos ( ωt + φ - ωt ) - U I cos ( 2ωt + φ ) p = U I cos φ - U I cos ( 2ωt + φ ) P = < p > = < U I cos φ > - < U I cos ( 2ωt + φ ) > P = U I cos φ P en Watts( W ); U en V; I en A. P est la puissance active consommée par le dipôle D. i * W * u D

Puissance réactive : Q = U I sin φ Q en vars ( voltampères réactifs ). Si - π/2 ≤ φ ≤ +π/2 , P ≥ 0 : le dipole consomme de puissance active. Si + π/2 ≤ φ ≤ 3π/2 , P ≤ 0 : le dipole fournit de la puissance active au générateur. Puissance réactive : Q = U I sin φ Q en vars ( voltampères réactifs ). Puissance apparente : S = U I S en voltampère ( VA ). N.B. : une résistance n’absorbe que de la puissance active; une bobine n’absorbe que de la puissance réactive; un condensateur ne fournit que de la puissance réactive. 4.2 Théorème de BOUCHEROT Si on trois dipôles D1, D2, D3 consomment respectivement P1, P2, P3 et Q1, Q2 ,Q3, les puissances active et réactive totales consommées : P = P1 + P2 + P3 Q = Q1 + Q2 + Q3 Attention : S ≠ S1 + S2 + S3

4.2 Facteur de puissance fp =k = fp ( facteur de puissance ) ≤ 1 En régime sinusoïdale, P = S cos φ ce qui donne : fp = cos φ 4.3 relèvement du facteur de puissance En France, le facteur de puissance doit être supérieur ou égal à 0,93. Si fp < 0,93 , on doit le relever pour avoir au moins 0,93. On utilise un condensateur. Avant relèvement : φ; Après : φ’ i u C D C =